Elementi di calcolo delle probabilità

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1 lementi di calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine con i giochi d azzardo per valutare l alea (casualità) legata alle puntate sui dadi e sulle carte da gioco Attualmente il calcolo delle probabilità trova applicazioni in numerose discipline tecniche e scientifiche

2 Il concetto di probabilità trova rispondenza nel linguaggio comune senza necessità di definizioni: Prendi l ombrello, è probabile che oggi piova Tuttavia è necessario definire la probabilità in termini matematici ( numerici ) al fine di poter trattare questo concetto naturale anche in modo quantitativo

3 sistono diverse formulazioni del concetto di probabilità che nel corso del tempo sono state proposte, classificabili in due categorie: definizione con criteri oggettivi; definizione con criteri soggettivi, cioè basati sulla percezione individuale di una realtà fisica.

4 Definizione a priori della Definizione: probabilità (o classica) La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero s dei risultati favorevoli (cioè il numero dei risultati che determinano ) ed il numero n dei risultati possibili: P purché i risultati siano tutti ugualmente possibili e tra loro incompatibili s n

5 Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista) Definizione : Se si definisce come frequenza assoluta ne, o semplicemente frequenza, di un evento il numero di volte in cui si è presentato l evento favorevole, detto N il numero di volte in cui si è ripetuto l esperimento nelle medesime condizioni, il rapporto: f n e N viene chiamato frequenza relativa

6 Definizione a posteriori della probabilità (o frequentista) La definizione frequentista della probabilità è quella che assume come valore della probabilità di un evento il valore limite a cui tende la frequenza relativa di quell evento al tendere del numero delle prove ad infinito P lim N f P lim f P 1 N

7 Definizione di probabilità soggettiva La definizione di probabilità soggettiva verte sulla misura in cui un soggetto ritiene che si verifichi l evento in questione La definizione quantitativa è associata ad un tasso relativo ad un ipotetica scommessa sull evento stesso. P[] = tasso a cui si è disposti a giocare sull evento (non sapendo su cosa scommette un eventuale giocatore)

8 Definizione assiomatica di probabilità Le definizioni di probabilità fin qui presentate non sono in generale utilizzabili per vari motivi. Per ovviare a questa assenza di generalità delle definizioni presentate la scelta preferibile sul piano teorico (non operativo in generale) è quella di utilizzare una definizione assiomatica di probabilità.

9 Definizione: Si dice fenomeno casuale (o aleatorio) un fenomeno empirico il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzato cioè dalla proprietà che la sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati Definizione: L insieme costituito da tutte le osservazioni possibili, cioè tutti i risultati possibili a priori, viene detto spazio campione S (Sample Space)

10 Definizione: Definiamo un evento un sottoinsieme di S Definizione: Nella loro totalità gli eventi formano lo spazio degli eventi A S F S F Diagramma di Venn vento intersezione

11 Definizione: Due eventi ed F si dicono incompatibili o mutuamente escludentisi se gli insiemi delle loro descrizioni sono disgiunti, cioè se F F F S venti incompatibili

12 Assiomi di Kolmogoroff Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che ha come dominio lo spazio degli eventi, come codominio l intervallo [0,1] e che soddisfa i seguenti assiomi: P 0 PS 1 P i i con i eventi (di A) che si escludono a vicenda i P i A