Probabilità. Qual è la probabilità di ottenere il numero 5?

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1 Lancio un dado Probabilità Qual è la probabilità di ottenere il numero 5? Ho una prova ossia un esperimento = lancio dado Ho il risultato di tale prova = faccia contrassegnata dal numero 5 Il risultato della prova non è certo ma incerto grado di incertezza = probabilità Allora devo aggiungere ai termini precedenti di esperimento e risultato dell esperimento il termine casuale 1

2 L esperimento Lancio del dado L evento (A) Faccia contrassegnata dal numero 5 La prova è un esperimento che ha due o più possibili risultati Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova La probabilità P(A) Numero Lo spazio degli Eventi o spazio campionario (S) tutte le facce del dado La probabilità è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento L insieme dei possibili risultati dell esperimento casuale 2

3 In una data prova, l evento A si verifica con probabilità P(A) Esempio 1 : Se vi chiedo qual è la probabilità che lanciando un dado (ben bilanciato) esca la faccia contrassegnata dal numero 5 (A=5) Tutti rispondete 1/6 P(A) = 1/6 Perché? 3

4 State applicando la Definizione classica di probabilità La probabilità è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli all evento e il numero dei casi possibili purché essi siano tutti ugualmente possibili. P(A)= P(A=5) = 1/6 n.casi favorevoli n.casi possibili 4

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6 Come si legano questi concetti alla statistica? Quando facciamo un indagine campionaria la formazione del campione è un esperimento casuale in cui ogni individuo ha la stessa probabilità di essere estratto ossia di rientrare nel campione. Il campione che si forma è uno dei possibili eventi casuali Ad ogni individuo sottoponiamo un questionario dove ogni domanda può essere considerata come un esperimento casuale e le risposte sono gli eventi casuali 6

7 Il concetto di probabilità è un concetto primitivo e utilizza le Lanciamo un dado Sia A l evento il risultato è un numero pari ed E l evento il risultato è un numero maggiore o uguale a 4. Allora: A = {2, 4, 6}; E = {4, 5, 6} Insiemi COMPLEMENTARI: Ā = {1, 3, 5}; Ē = {1, 2, 3} Insiemi UNIONE: A E = {2, 4, 5, 6}; Ā E = {1, 3, 4, 5, 6} Insiemi INTERSEZIONE: A E = {4, 6}; Ā E = {5} Insiemi DISGIUNTI: A Ā = ; E Ē = Illustrazione grafica dell evento A E 7

8 Proprietà assiomatiche della probabilità 8

9 Probabilità: ulteriori proprietà si deducono dagli assiomi precedenti P( ) = 0, essendo l insieme vuoto, detto anche evento impossibile; P(A) 1, per ogni A; P(Ā ) = 1 - P(A), per ogni A (regola dell evento complementare); P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 A 2 ), dove A 1 e A 2 sono due eventi qualsiasi (regola della somma). Cap. 12-9

10 Se [A B = ø] P(A B) = P(A) + P(B) Se [A B ø] P(A B) = P(A) + P(B) - P (A B) Teorema della probabilità dell unione di eventi Per definire P (A B) dobbiamo prima definire la probabilità condizionata 10

11 Calcolo delle probabilità Riprendiamo l Esempio della slide n.7 e calcoliamo le probabilità degli eventi: A il risultato è un numero pari, E il risultato è un numero maggiore o uguale a 4, A B: il risultato è un numero pari o un numero maggiore o uguale a 4. È facile stabilire che: P(A) = 3/6 = 0,5 P(E) = 3/6 = 0,5 P(A B) = P(A) + P(E) - P(A E) = 3/6 + 3/6-2/6 = 4/6 N.B.: Per il calcolo della probabilità di A B, abbiamo applicato la regola della somma. 11

12 Diamo prima le altre definizioni di probabilità Frequentista Basata sul Postulato empirico del caso: In un gruppo di prove, ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con una frequenza quasi eguale alla sua probabilità; generalmente l approssimazione migliora quando il numero delle prove cresce. f(a) = n A n Soggettivista La probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un individuo (il soggetto) coerente attribuisce al verificarsi dell evento, in base alle informazioni in suo possesso 12

13 Riprendiamo la tabella bivariata: 500 persone distinte secondo l acquisto o meno di un prodotto e l aver visto o meno la pubblicità di quel prodotto Ha acquistato il prodotto Non ha acquistato il prodotto Ha visto la pubblicità Non ha visto la pubblicità Totale Totale Definiamo ad esempio due eventi Evento A acquisto del prodotto Evento B ha visto la pubblicità La loro probabilità può essere calcolata tramite la freq. relativa P(A)=220/500 = 0,44 P(B)=275/500 = 0,55 13

14 Sono interessata a sapere se la pubblicità è efficace o meno significa che mi interessa l evento A sapendo che si è verificato B Evento B Ha visto la pubblicità Non ha visto la pubblicità Evento A Ha acquistato il prodotto Non ha acquistato il prodotto Totale Totale Ossia A/B (si legge A condizionato a B) Per rispondere alla domanda devo trovare la probabilità di tale evento condizionato ossia P(A/B) Lo spazio campionario di riferimento (eventi possibili) non è composto da tutti i 500 soggetti ma solo dai 275 che hanno visto la pubblicità p(a/b)=175/275=63,6% 14

15 Probabilità condizionata P(A B)= n. dei casi favorevoli ad (A B) n. dei casi favorevoli a B ossia P(A B)= P(A B) P(B) Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dell evento (A B) e la probabilità dell evento B 15

16 Principio delle probabilità composte o congiunte Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 : P (A B) =P(A) P(B A)= P(B)P(A B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non muta (influenza) la probabilità di A e il verificarsi di A non muta la probabilità di B P (A B) =P(A) da cui si ricava P (A B) = P(A) P(B) P(B A) = P(B) 16

17 Principio della probabilita della congiunzione di due o più eventi Il concetto di indipendenza interviene sulla probabilità degli eventi ossia modifica la probabilità del verificarsi di A/B P(A/B)=P(A) se A e B sono indipendenti Principio della probabilità dell unione di due o più eventi Il concetto di eventi disgiunti non interviene sulla probabilità degli eventi ossia P(A B) = P(A) + P(B) - P (A B) sempre se A B = ø l ultimo addendo è nullo 17

18 Un altro esempio di tabella bivariata in ottica probabilistica Anno di iscrizione sesso maschi femmine totale matricola anno anno anno totale qual è la probabilità che estratto a caso uno studente Sia femmina? 48/100=0,48 Iscritto al III anno 29/100=0,29 Iscritto al II anno e maschio 7/100=0,07 Matricola o femmina 21/100+48/100-11/100=0,58 Iscritto al II anno sapendo che è maschio 7/52=0,13 18

19 Risposta 0,48 è una frequenza relativa? Allora Cosa c è di diverso tra Calcolo delle probabilità e Statistica descrittiva? E la prova, l esperimento che è legato all incertezza, al caso, che trasforma una distribuzione di frequenze relative in una distribuzione di probabilità su eventi discreti 19

20 La Statistica descrittiva esamina i risultati di esperimenti reali, già avvenuti e definitivi, di cui studia a posteriori la distribuzione del carattere X tra le singole modalità Il Calcolo delle probabilità elenca i risultati di esperimenti ipotetici, che non necessariamente si realizzano, di cui esamina a priori le differenti probabilità dei singoli eventi 20

21 Genere Rispetto a 5 anni fa i reati sono. Rimasti Aumentati invariati Diminuiti Non so Totale Maschio Femmina Totale ) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso abbia affermato che i reati sono aumentati? 284/601=0,47 2) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso sia donna e abbia risposto che i reati sono diminuiti?13/601=0,02 3) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso abbia risposto che i reati sono rimasti invariati o che sono diminuiti 239/601+39/601=0,46 4) Qual è la prob. che un soggetto scelto a caso sia uomo o che abbia risposto che i reati sono aumentati? 300/ / /601=0,76 21