STATISTICA MEDICA (III)

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1 Laurea triennale in EDUCATORE PROFESSIONALE a.a STATISTICA MEDICA (III) Flavia Carle Centro di Epidemiologia, Biostatistica e Informatica Medica Università Politecnica delle Marche Facoltà di Medicina e Chirurgia via Tronto 10/a, Torrette di Ancona Tel , fax f.carle@univpm.it Una precisazione importante. Tutti gli argomenti trattati in questa terza parte (III) sono oggetto dei capitoli 6, 7, 15 del testo consigliato: «STATISTICA MEDICA» di Martin Bland, edizioni APOGEO Per la preparazione, gli studenti devono utilizzare soprattutto il testo consigliato (o un testo di statistica medica di base analogo, di loro scelta): le diapositive devono rappresentare solo una guida agli argomenti svolti durante le lezioni 1

2 La misura di una condizione può avvenire in uno stato di incertezza PRECISIONE / RIPRODUCIBILITA buona scarsa buona VALIDITA scarsa La misura di una condizione può avvenire in uno stato di incertezza Il risultato è accettato fino a prova contraria Variabilità tra e intra soggetti? Variabilità tra e intra osservatori Errori nell acquisizione dei dati 2

3 Decidere in condizioni di incertezza 1. analizzare tutti i possibili esiti (spazio campionario) esito 1 = presenza di gravidanza esito 2 = assenza di gravidanza 2. definire gli eventi nel caso in cui i possibili esiti da considerare siano solo 2 si parla di EVENTO. un EVENTO è una proposizione che può essere vera o falsa e di cui non è noto il valore logico al momento di assumere la decisione. Decidere in condizioni di incertezza 2. definire gli eventi EVENTO CERTO [Ω (omega)] = con riferimento ad un certo stato di informazione, cioè all'insieme dei fatti che si suppongono noti (dati), un evento è certo quando si ritiene che, come conseguenza necessaria dei fatti, sia VERO EVENTO IMPOSSIBILE [ ] = con riferimento ad un certo stato di informazione, cioè all'insieme dei fatti che si suppongono noti (dati), un evento è impossibile quando ritiene, come conseguenza necessaria dei fatti, che sia FALSO EVENTO POSSIBILE [E] = Un evento in generale è possibile quando nessuno dei due esiti può essere stabilito a priori (e quindi nessuno può essere escluso) 3

4 Decidere in condizioni di incertezza 2. definire gli eventi La distinzione in CERTO, IMPOSSIBILE e POSSIBILE ha carattere temporaneo e soggettivo. Evento (E) = MC è in gravidanza : IMPOSSIBILE: MC ha 4 anni MC ha subito la legatura delle tube POSSIBILE: amenorrea Test di gravidanza positivo CERTO: parto ecografia Decidere in condizioni di incertezza 2. definire gli eventi La distinzione in CERTO, IMPOSSIBILE e POSSIBILE ha carattere soggettivo e temporaneo. 3. quantificare l incertezza Agli eventi si attribuisce una misura di PROBABILITA = espressione quantitativa dell incertezza di un evento La probabilità è una misura delle aspettative nel verificarsi di un evento 4

5 Supponiamo di considerare il seguente evento: E = MC è in gravidanza. Scala dei giudizi relativi alle aspettative nel verificarsi di un evento: Impossibile poco verosimile scarse possibilità buone possibilità molto probabile certo il valore della probabilità è la misura (un numero) che esprime l'opinione del soggetto (decisore) in merito al verificarsi di un ben determinato evento A, ovvero esprime il suo grado di fiducia nel verificarsi dell'evento. dato un evento E la sua probabilità si indica con P(E): probabilità dell evento impossibile = P( ) = 0 probabilità di un evento E = 0 P(E) 1 P(E) =? probabilità dell evento certo = P(Ω ) = 1 5

6 P(E) =? 1. Modello dell EQUIPROBABILITA Se i risultati elementari (incompatibili ed esaustivi) di uno spazio campione sono giudicati da un individuo ugualmente possibili, la valutazione della probabilità di ciascuno è P=1/n, e un risultato (evento E) che sia costituito di k degli n eventi equiprobabili ha probabilità P=k/n La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli all evento e il numero dei casi ugualmente possibili P.S. Laplace, 1750 P(E) =? 1. Modello dell EQUIPROBABILITA Evento = nascere di genere femminile (F) Informazioni: padre (XY); madre (XX) ogni nuovo concepito eredita a caso in modo simmetrico un cromosoma della coppia del padre e uno della madre Casi ugualmente possibili = tutti con probabilità P = 1/4 Casi favorevoli all evento = 4 2 (XX) (XY) (XX) (YX) Probabilità dell evento F = P(F) = 2/4 = 0.5 x 100 = 50% 6

7 P(E) =? 2. Modello FREQUENTISTA Evento = nascere di genere femminile (F) Informazioni: dalle statistiche ufficiali calcolo della frequenza di nascite femminili e maschili sul totale delle nascite = = numero di volte in cui compare l evento F su un certo numero di prove (nascite) Probabilità dell evento F = P(F) = n di nascite femminili (m) totale delle nascite = x 100 = 48.5% P(E) =? 2. Modello FREQUENTISTA Considerando un fenomeno ripetibile e osservando un numero (m) di casi favorevoli in un numero di prove ripetute nelle stesse condizioni Probabilità di un evento (futuro) = = frequenza relativa sugli eventi passati = = m/n 7

8 P(E) =? Evento: gravidanza (G) Numero di prove (n soggetti) = Numero di casi favorevoli (g gravide) = Probabilità di gravidanza = P(G)= 6000/10000 = 0.60 Informazione: soggetto risultato positivo al test di gravidanza Probabilità di essere in gravidanza conoscendo il risultato del test (+) a cui si è sottoposto il soggetto = 0.90 P(E) =? 2. Modello SOGGETTIVISTA La probabilità di un evento è il grado di fiducia che si assegna al presentarsi di eventi futuri ed incerti 8

9 1. analizzare tutti i possibili esiti (spazio campionario S) 2. definire gli eventi S ={ G; G ; T+; T-; (G, T+); (G, T-); (G, T+); (G, T-)} gravidanza risultati del test gravidanza G; G; T+; T-; coppie di eventi incompatibili o mutuamente esclusivi risultati del test G; T G; T- G; T+ coppie di eventi compatibili G; T- 9

10 3. quantificare l incertezza gravidanza risultati del test sensibilità dello strumento di misura specificità dello strumento di misura gravidanza sensibilità specificità risultati del test ?? misure degli errori dello strumento di misura 10

11 Gli assiomi del calcolo delle probabilità: probabilità condizionata probabilità congiunta probabilità semplice Gli assiomi del calcolo delle probabilità: gravidanza risultati del test

12 3. quantificare l incertezza gravidanza sensibilità = SE =0.75 specificità = SP = 0.85 risultati del test Che si può anche calcolare come 12

13 CAPACITA PREDITTIVA DI UN RISULTATO DEL TEST DI GRAVIDANZA Valore predittivo di un risultato positivo Valore predittivo di un risultato negativo?? misure degli errori dello strumento di misura TEOREMA DI BAYES PER LE PROBABILITA CONDIZIONATE Consente, dato un effetto, di calcolare la probabilità delle cause che lo avrebbero potuto produrre PROCESSO DIAGNOSTICO: Dai sintomi alla condizione 13

14 TEOREMA DI BAYES PROBABILITA A POSTERIORI PROBABILITA CHE ABBIA AGITO LA CAUSA G (A DATO CHE SI E PRESENTATO L EVENTO T+(B PROBABILITA PROBATIVA PROBABILITA CHE, QUANDO AGISCE LA CAUSA G (A, POSSA VERIFICARSI L EVENTO T+(B PROBABILITA PRIORI PROBABILITA CHE LA CAUSA G (A POSSA PRESENTARSI A PRESCINDERE DAL FATTO CHE SI SIA VERIFICATO L EVENTO T+(B Esempio 1 Un ginecologo sottopone 200 donne a un nuovo test di gravidanza. La probabilità che una donna gravida risulti positiva al test è del 80% mentre la probabilità che una donna non gravida risulti positiva è del 25%. 1. quali sono i valori di sensibilità e specificità del test di gravidanza? DEFINIZIONE DEGLI EVENTI G = essere in gravidanza NG = non essere in gravidanza T+ = essere positiva al test T- = essere negativa al test PROBABILITA NOTE P(T+ G) = 0.80 P(T+ NG) = 0.25 SE= SP= P(T+ G ) = 0.80 P(T- NG ) = 1 P(T+ NG) = =

15 Esempio 1 Un ginecologo sottopone 200 donne a un nuovo test di gravidanza. La probabilità che una donna gravida risulti positiva al test è del 80% mentre la probabilità che una donna non gravida risulti positiva è del 25%. DEFINIZIONE DEGLI EVENTI G = essere in gravidanza NG = non essere in gravidanza T+ = essere positiva al test T- = essere negativa al test 2. se la probabilità che una donna sia gravida e risulti negativa al test è pari al 10%, quante sono le donne in gravidanza nel gruppo esaminato? P(T- G) = 0.10 P(T- G) = P(G)*P(T- G) P(T- G) = 1 - P(T+ G ) = 0.20 P(G) = P(T- G) /P(T- G) = 0.10 / 0.20 = 0.50 PROBABILITA NOTE P(T+ G) = 0.80 P(T+ NG) = 0.25 N G = P(G) N = = 100 Esempio 1 Un ginecologo sottopone 200 donne a un nuovo test di gravidanza. La probabilità che una donna gravida risulti positiva al test è del 80% mentre la probabilità che una donna non gravida risulti positiva è del 25%. DEFINIZIONE DEGLI EVENTI G = essere in gravidanza NG = non essere in gravidanza T+ = essere positiva al test T- = essere negativa al test PROBABILITA NOTE P(T+ G) = 0.80 P(T+ NG) = qual è la probabilità che una donna, risultata positiva al test, non sia in gravidanza? P(NG T+) = P(NG) P(T+ NG) P(NG) P(T+ NG) + P(G) P(T+ G) = = =

16 P(E) =? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che non hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure con il vaccino C? Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure con il vaccino C? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale analizzare tutti i possibili esiti (spazio campionario S) 2. definire gli eventi essere vaccinato con il tipo A = A essere vaccinato con il tipo B = B essere vaccinato con il tipo C = C aver contratto l influenza = I 16

17 Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure con il vaccino C? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale quantificare l incertezza Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che non hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure non abbia contratto l influenza?? 17

18 P(E) =? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che non hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure con il vaccino C? eventi incompatibili P(E) =? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che non hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale Quale è la probabilità che un soggetto sia vaccinato con il vaccino A oppure non abbia contratto l influenza? eventi compatibili 18

19 P(E) =? Insorgenza dell influenza in 800 vaccinati Tipo di vaccino Soggetti che hanno avuto l'influenza Soggetti che non hanno avuto l'influenza Soggetti vaccinati A B C totale G; T+ Eventi DIPENDENTI E; F Eventi INDIPENDENTI Dati due eventi, E e F, Il verificarsi di un evento modifica la probabilità che si verifichi l altro l evento Dati due eventi, E e F, Il verificarsi di un evento non modifica la probabilità che si verifichi l altro l evento 19

20 E; F Eventi DIPENDENTI E; F Eventi INDIPENDENTI oppure Esempio 2 La frequenza di malattia in una certa Regione è pari all 1%. Il test di laboratorio utilizzato per la diagnosi precoce (in assenza di sintomi) risulta positivo nel 99% dei soggetti malati e nel 3% dei soggetti sani. 1. la probabilità che un soggetto residente nella regione risulti positivo al test DEFINIZIONE DEGLI EVENTI PROBABILITA NOTE M = malattia T+ = positivo al test NM= non malattia P(M) = 0.01 P(T+ M) = 0.99 P(T+ NM) = 0.03 P(T+) = P(T+ M) + P(T+ NM) = = P(M) P(T+ M) + P(NM) P(T+ NM) = =

21 Esempio 2 La frequenza di malattia in una certa Regione è pari all 1%. Il test di laboratorio utilizzato per la diagnosi precoce (in assenza di sintomi) risulta positivo nel 99% dei soggetti malati e nel 3% dei soggetti sani. DEFINIZIONE DEGLI EVENTI M = malattia T+ = positivo al test NM= non malattia PROBABILITA NOTE P(M) = 0.01 P(T+ M) = 0.99 P(T+ NM) = Calcolare la probabilità che un soggetto positivo al test sia veramente malato. P(M T+) = P(M) P(T+ M) P(M) P(T+ M)+ P(NM) P(T+ NM) = = = Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione Esempio: stima della probabilità che un soggetto abbia un valore di colesterolo superiore a 250 mg/dl 21

22 Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione Eventi semplici S ={valori di colesterolo} valori di colesterolo (mg/dl) in N individui Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione quante volte si presenta un certo valore di colesterolo in una popolazione Eventi semplici S ={valori di colesterolo} come si distribuisce la probabilità dei valori di colesterolo? valori di colesterolo (mg/dl) in N individui Distribuzione di frequenza del colesterolo 22

23 Distribuzione di frequenza del colesterolo Colesterolo (mg/dl) N soggetti % ,012 1, ,172 17, ,399 39, ,270 27, ,104 10, ,031 3, ,008 0, ,005 0,5 Totale , ,0 Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale % Distribuzione di frequenza % del colesterolo in 1107 soggetti Colesterolo (mg/dl) Tipo di grafico = istogramma 23

24 DALL ISTOGRAMMA f% ALLA CURVA DI FREQUENZA Ampiezza di classe unitaria x Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione X = valori di colesterolo. distribuzione di frequenza f% distribuzione di probabilità % 140 Colesterolo (mg/100ml 140 Colesterolo (mg/100ml % di soggetti con colesterolo <=140 mg/100ml densità di frequenza P(colesterolo<=140 mg/10ml densità di probabilità 24

25 Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione X = valori di colesterolo. X = variabile casuale (o aleatoria) continua funzione dello spazio campionario S che definisce un insieme non numerabile di tutti i possibili numeri reali contenuti in un intervallo ciascuno con una probabilità calcolabile di realizzazione DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS DENSITA DI PROBABILITA µ x - < x < + + µ = media della distribuzione di x = σ = scarto quadratico medio = 25

26 DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS DENSITA DI PROBABILITA 68.27% µ -σ µ µ+σ x µ = media della distribuzione di x σ = scarto quadratico medio π = e = <x<+ <x<+ DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS DENSITA DI PROBABILITA 95.45% µ -2σ µ x µ = media della distribuzione di x µ+2 +2σ σ = scarto quadratico medio π = e = <x<+ <x<+ 26

27 DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS DENSITA DI PROBABILITA 99.73% µ -3σ µ x µ = media della distribuzione di x σ = scarto quadratico medio µ+3 +3σ π = e = <x<+ <x<+ Esperimento Prova = misura del colesterolo in una popolazione X = valori di colesterolo = variabile aleatoria normale % X N(µ, σ 2 ) Colesterolo (mg/100ml 27

28 DISTRIBUZIONE NORMALE DENSITA DI PROBABILITA µ -σ µ µ+σ x µ = media della distribuzione di x σ = scarto quadratico medio π = e = DISTRIBUZIONE NORMALE DENSITA DI PROBABILITA µ a b x µ = media della distribuzione di x σ = scarto quadratico medio π = e =

29 Data una DISTRIBUZIONE NORMALE di una variabile x. Questa può essere TRASFORMATA IN UNA DISTRIBUZIONE NORMALE NOTA DENSITA DI PROBABILITA µ -σ µ µ+σ x f(z µ = 0 σ = z DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA f(z µ = 0 σ = z 29

30 Tabella A.1 Aree in una coda della curva normale standardizzata z z

31 Un esempio: Indagine sui valori di glicemia nella popolazione della Regione Marche nel 2000 Risultati La distribuzione di frequenza della glicemia approssima la distribuzione normale con media = 90 mg/dl e scarto quadratico medio = 30 mg/dl Qual è la probabilità che un soggetto abbia un valore di glicemia compreso tra 110 e 126 mg/dl? Un esempio: Indagine sui valori di glicemia nella popolazione della Regione Marche nel 2000 µ = 90 mg/dl e σ = 30 mg/dl Qual è la probabilità che un soggetto abbia un valore di glicemia compreso tra 110 e 126 mg/dl? DENSITA DI PROBABILITA Glicemia (mg/dl 31

32 A) Standardizzazione della variabile glicemia f(z µ = 0 σ = 1 0 z 1 z 2 z Tabella A.1 Aree in una coda della curva normale standardizzata z f(z z

33 Tabella A.1 Aree in una coda della curva normale standardizzata z f(z z Tabella A.1 Aree in una coda della curva normale standardizzata z f(z z