Università del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica

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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità La distribuzione Normale (o di Gauss) La distribuzione t di Student CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1 Riprendiamo alcune definizioni: Qualsiasi caratteristica che può essere misurata categorizzata: variabile o Variabile che può assumere diversi valori per effetto del caso: variabile casuale o variabile aleatoria Le variabili possono essere categoriche (binarie, nominali, ordinali) o numeriche (discrete, continue). CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2

2 Possiamo costruire in modo empirico la distribuzione di frequenza di una variabile in un gruppo di soggetti. es. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3 Potremmo compiere un passo successivo identificando una curva matematica che descriva l'andamento del grafico. In tal modo potremmo: - descrivere la distribuzione dei dati senza bisogno di mostrare la distribuzione di frequenza ma solo in base ai parametri della curva matematica. - confrontare gruppi di soggetti diversi in base ai parametri delle rispettive curve. - costruire una distribuzione di frequenza attesa, sulla base dei valori dei parametri. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4

3 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità ETA CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6

4 L'uso di modelli matematici è comune alla maggior parte delle discipline: ad esempio, la curva esponenziale può essere usata per descrivere la crescita del numero di batteri in laboratorio, in assenza di condizioni limitanti y = ae bt I parametri sono a (numero iniziale) e b (velocità di crescita). Stimati questi parametri possiamo stimare il numero di batteri a determinati intervalli (t) dall'inizio dell'esperimento. - il parametro b corrisponde alla velocità di accrescimento, che possiamo confrontare per ceppi diversi CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7 curve di crescita esponenziale b=0,4 b=0, n t CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8

5 - La funzione matematica che descrive un fenomeno (biologico, statistico ecc ) è definita 'MODELLO'. In questo caso possiamo parlare di Modello Esponenziale della crescita batterica. - Un modello adeguato descrive gli aspetti importanti del fenomeno che vogliamo studiare, senza entrare in dettagli inutili. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 9 In questo caso la curva a campana è un modello soddisfacente. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 10

6 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 11 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 12

7 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 13 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 14

8 Distribuzione delle differenze tra glicemia misurata al polpastrello ed all avambraccio CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 15 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 16

9 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 17 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 18

10 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 19 La distribuzione gaussiana come modello di una distribuzione di probabilità empirica Es. istogramma che descrive la distribuzione di frequenza di una variabile numerica in un gruppo di 400 soggetti CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 20

11 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 21 Aumento progressivamente la suddivisione dell istogramma CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 22

12 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 23 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 24

13 Distribuzione di probabilità (teorica) Distribuzione di frequenza (empirica) CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 25 La forma della distribuzione di probabilità normale flesso - + CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 26

14 La formula della distribuzione normale. E definita da Media (µ) e Deviazione Standard (σ) f ( x) = 1 * exp σ 2π ( x µ ) 2 2σ 2 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 27 La distribuzione gaussiana o normale comprende una famiglia di curve, i cui parametri sono Media (µ) e Deviazione Standard (σ) CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 28

15 Media (µ): posizione centrale Deviazione Standard (σ): 'ampiezza' della curva CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 29 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (c.rossa). Entrambe hanno media=0. y x0 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 30

16 Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente a determinati intervalli di valori CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 31 0,95 0,50 0,50 P=0,025 x = 1,960 P=0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 32

17 0,975 X=1,960 0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 33 0,95 P=0,05 X = 1,645 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 34

18 0,95 P=0,025 x = 1,960 P=0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 35 Applicazione delle regole della distribuzione gaussiana Data una variabile con distribuzione gaussiana (es. la statura), sono interessato a calcolare la probabilità di osservare un soggetto con valore x (o superiore). Conosco i parametri che descrivono la distribuzione di probabilità (media: µ e Deviazione Standard: σ). Come procedo? CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 36

19 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 37 Calcolo il valore della statistica U, che mi consente di conoscere il valore di probabilità con l ausilio delle tavole della Distribuzione Normale Standardizzata Il calcolo della statistica U corrisponde ad una operazione di Normalizzazione. La statistica U indica la distanza tra x e la media, esprimendo la distanza in multipli della deviazione standard U dove: x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione = x µ σ U: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, σ, µ). CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 38

20 Il calcolo di U corrisponde ad un operazione di standardizzazione. La curva iniziale viene dapprima centrata sullo 0 e quindi il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 39 La curva iniziale CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 40

21 U = x µ σ La curva viene centrata sul valore 0 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 41 U = x µ σ il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 42

22 Data una distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ, il valore U, calcolato partendo dai valori dati per x, σ, µ e riportato sulle apposite tabelle indica la probabilità di osservare un valore compreso tra U e CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 43 da U a U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 44

23 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,00001 CdL Infermieristica 4,2 Pediatrica 0, ,00001 ed Ostetricia 0, Statistica 0, ,00001 Medica 0, Le distribuzioni 0, ,00001 teoriche 0,00001 di probabilità. 0, Viene sempre mantenuta la corrispondenza tra la distribuzione normale standard e la distribuzione normale di partenza CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 46

24 da U a U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 47 da U a da X a U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 48 X

25 Attenzione A volte le tabelle forniscono la probabilità calcolata secondo altri riferimenti, ad esempio tra - e U, oppure tra 0 ed U. prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole. Si può comunque sempre passare da un sistema all altro sfruttando la regola delle probabilità complementari. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 49 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 50

26 da - a U da U a + U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 51 da - a U da U a + U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 52

27 Alcuni valori utili da ricordare U = + 1,96 coda dx, 2,5% tra U = - 1,96 e U = 1,96 area centrale 95% U = - 1,96 coda sx, 2,5% CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 53 0,950 P=0,025 U = -1,960 U = 1,960 P=0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 54

28 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,8672 data una popolazione con distribuzione gaussiana definita da altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 55 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 56

29 p=0,975 p = 0,025 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 57 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura superiore a m 1,8672 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 posso riferiremi alla tabella da U a oppure a quella da - a U, usando la regola delle probabilità di eventi complementari. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 58

30 p=0,975 p = 0,025 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 59 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 60

31 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 61 Attenzione Nelle tabelle spesso si fa riferimento al valore della distribuzione normale standard indicandolo come Z invece che come U. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 62

32 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 63 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 64

33 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 65 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 66

34 Se U < 0 ho due possibilità: 1. Se dispongo della tabella con la distribuzione di z da - a + oppure da - a 0, ricavo direttamente il valore di probabilità. 2. altrimenti calcolo U = -1 * U e ricavo p quindi p = 1- p CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 67 U = -1 * -1,96 = 1,96 p = 0,975 p= 1-p = 1 0,975 = 0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 68

35 Posso infine calcolare la probabilità di estrarre casualmente dalla popolazione un soggetto che ha un valore compreso entro un certo scostamento dalla media della popolazione, in entrambe le direzioni. p(x > µ+x oppure x < µ-x norm(µ,σ)) CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 69 Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto la cui statura si scosta dalla media della popolazione di almeno m 0,1372?(data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07) Equivale al calcolo della probabilità di osservare: un soggetto con [altezza < (1,730-0,1372)] O un soggetto con [altezza > (1, ,1372)] CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 70

36 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 71?? CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 72

37 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672 U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 73 0,950 P=0,025 U = -1,960 U = 1,960 P=0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 74

38 0, ,025 x = 1,5928 x = 1,8672 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 75 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? U = ( ,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p= 0,00256 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 76

39 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 170? Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 170? CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 77 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 9 (p 225) es 4 Cap 9 (p 225) es 7 Cap 9 (p 225) es 10 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 78

40 Università del Piemonte Orientale Corsi di laurea triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica La distribuzione t - student CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 79 Abbiamo visto nelle lezioni precedenti come il calcolo del valore Z, riferito alla distribuzione normale standard consente di misurare la probabilità di estrarre un campione con il valore dato (o valori più lontani dalla media della popolazione), conoscendo media e deviazione standard della popolazione. Z = ( X - µ)/ (σ/ n). Z = (149,14-145) / (2,53/ 15) = 6,34 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 80

41 Conclusione: la probabilità di estrarre un campione di 15 valori con media 149,14 da una popolazione con media 145 e deviazione standard 2,53 è inferiore a 0,0005. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 81 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 82

42 Spesso non abbiamo informazioni sul parametro (il valore della deviazione standard nella popolazione). Come possiamo procedere? Usiamo la deviazione standard campionaria, che è una stima non distorta della deviazione standard nella popolazione. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 83 In questo caso la soluzione adottata è quella di stimare la varianza della popolazione in base alla varianza del campione. Si ricorda infatti che l atteso della varianza campionaria calcolata con il denominatore (n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione. stima non distorta : stima non affetta da errore sistematico. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 84

43 La varianza del campione (s 2 ) però è affetta da variabilità casuale rispetto alla varianza della popolazione (σ 2 ), a causa del campionamento. Pertanto non potremo usare statistiche basate sulla distribuzione normale standardizzata, che risulterebbe troppo poco conservativa. Gosset (che pubblicava con lo pseudonimo di Student) propose di utilizzare una famiglia di distribuzioni, con forma simmetrica e con ampiezza dipendente dal numero di osservazioni del campione: le funzioni di distribuzione t (o t di Student). CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 85 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 86

44 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità g.l CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 88

45 Il valore di t dipende dall ampiezza campionaria (n) e viene determinato dai gradi di libertà della distribuzione (pari a n-1) Per campioni molto numerosi i valori di t sono molto vicini ai valori di z Così come per la distribuzione normale, è possibile trasformare un osservazione in un valore di t quando sono note la media e la deviazione standard del campione: t = ( x x) s CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 89 La probabilità corrispondente all intervallo tra un dato t e si legge su apposite tabelle, come la seguente. Si noti che i valori di probabilità cumulativa esterni ad un dato valore di t sono maggiori man mano che si riduce il numero di gradi di libertà. La distribuzione t per 30 gradi di libertà è praticamente una distribuzione normale standardizzata. CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 90

46 Probabilità corrispondente al valore t (a due code) g.l. 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0, ,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63, , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, ,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3, ,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, ,678 0,847 1,044 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3, ,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3, ,677 0,846 1,042 1,291 1,662 1,987 2,368 2,632 3, ,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3, ,677 0,845 1,041 1,289 1,659 1,982 2,361 2,621 3,381 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 91 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 9 (p 225) es 11 Cap 9 (p 225) es 12 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 92