Esercizi di Probabilità - Matematica Applicata a. a aprile 2014

Transcript

1 Esercizi di Probabilità - Matematica Applicata a. a db 1 aprile 2014

2 1 Funzione di ripartizione Si dice funzione di ripartizione o funzione cumulativa delle frequenze di una variabile casuale X, indicata da F x ( ), quella funzione che ha per dominio la retta reale e per codominio l intervallo [0, 1] e che soddisfa F x (x) = P [X x] = P [ω : X (ω) x] per ogni numero reale x. Esempio Consideriamo il lancio di una moneta, assumendo che la moneta sia regolare. Indichiamo con X il numero di teste. La funzione di ripartizione sarà quindi: 0 se x < 0 F x (x) = 1 2 se 0 x 1 1 se 1 x Proprietà 1. F x ( ) = lim F x (x) = 0, e F x (+ ) = lim F x (x) = 1; x x + 2. F x ( ) è una funzione monotona non decrescente, cioè per a < b, F x (a) F x (b); 3. F x ( ) è continua a destra, cioè lim 0<h 0 F x (x + h) = F (x). Esercizio 1 Un esperimento consiste nel lancio di due palle in quattro scatole, in modo tale che ogni palla abbia la stessa probabilità di cadere in una qualsiasi delle scatole. Sia X il numero di palle nella prima scatola. 1. Qual è la funzione di ripartizione di X? 2. Qual è la funzione di densità di X?

3 2 X 2. f x (x) 1. F x (x) 0 9/1 9/1 1 /1 15/1 2 1/1 1 Esercizio 2 Si lancia quattro volte una moneta. Sia X il numero di volte che a testa segue immeiatamente croce. Trovare la funzione di ripartizione e la funzione di densità di X. X 2. f x (x) 1. F x (x) 0 5/1 5/1 1 10/1 15/1 2 1/1 1 Esercizio 3 Si lanciano 5 monete contemporaneamente. Sia X il numero di teste che escono. Trovare la funzione di ripartizione e la funzione di densità di X. X 2. f x (x) 1. F x (x) 0 1/32 1/32 1 5/32 / /32 1/ /32 2/32 4 5/32 31/32 5 1/32 1

4 3 Esercizio 4 Continuando l esercizio precedente, si lancia un dado tante volte quante sono le teste uscite nell esperimento precedente. Sia Y il numero di volte che esce 1. Calcolare: 1. la probabilità che la faccia 1 esca almeno 1 volta, sapendo che sono uscite 3 teste ; 2. la probabilità che la faccia 1 non esca; 1. Dato l uscita di 3 teste, tiriamo 3 volte il dado. La probabilità di ogni singola faccia, se il dado è regolare, è descritta dalla distribuzione uniforme discreta. La probabilità che esca 1 è quindi di 1/. Per trovare la probabilità che esca almeno 1 volta, conviene sottrarre a 1 la probabilità che la faccia 1 non esca mai. P Y 1 3T = 1 P [Y = 0] = = Consideriamo tutti i casi in cui la faccia 1 non esce mai: (a) Non esce T: P [ 1 0T] = 1; (b) Esce 1 T: P [ 1 1T] = 5 ; (c) Escono 2 T: P [ 1 2T] = 5 2; (d) Escono 3 T: P [ 1 3T] = 5 3; (e) Escono 4 T: P [ 1 4T] = 5 4; (f) Escono 5 T: P [ 1 5T] = 5 5; Quindi P [ 1] = P [ 1 0T] P [0T] + P [ 1 10T] P [1T] P [ 1 5T] P [5T], cioè P [ 1] = =

5 4 Esercizio 5 In una regione del Nord-Italia, nel mese di marzo, la probabilità che in un giorno piova è pari a p = 0.4. Calcolare: 1. la probabilità che piova dopo 5 giorni di sole (non pioggia); 2. la probabilità che non piova per almeno 2 giorni; 3. la probabilità che non piova per almeno 3 giorni, sapendo che non ha piovuto il primo. Applichiamo lo schema della distribuzione geometrica: 1. P [X = 5] = p (1 p) x = 0.4 (0.) 5 = P [X 2] = 1 P [X = 0] P [X=1] = 1 p p (1 p). Quindi possiamo inserire i calcoli. P [X 2] = (0.) = P [X 3 X > 1] = P[X 3] P[X>1]. Calcoliamo P [X = 2] = p (1 p)2 = Ora P [X 3] = 1 (P [X = 0] + P [X=1] + P [X = 2]), quindi P [X 3] = 1 p 1 + (1 p) + (1 p) 2 = Per rispondere al quesito iniziale dividiamo quest ultimo risultato per P [X > 1] e otterremo: P [X 3 X > 1] = P[X 3] = 0.21 P[X>1] 0. = 0.3 = P [X 2]. Quanto abbiamo ottenuto va sotto il nome di PRO- PRIETÀ DI ASSENZA DI MOMORIA, e di tale proprietà - tra le distribuzioni discrete - la geometrica è l unica che ne gode. Nel caso specifico ci fa notare che la probabilità che i giorni di sole siano almeno 3 prima di piovere, essendo il primo di sole, non viene influenzata dal fatto che il primo è stato soleggiato, rimanendo questa uguale alla probabilità che ci siano almeno 2 giorni di sole prima di uno piovoso. In generale per la proprietà di assenza di memoria abbiamo P [X i + j X i] = = P [X j]. P[X i+j] P[X i]

6 5 Esercizio Una centralina telefonica smista - in un ora di punta chiamate, avendo una capacità massima di 4 collegamenti al minuto. Ipotizzate che il numero di chiamate che arriva alla centralina possa essere descritto da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson che ha funzione di densità discreta pari a e λ λ x f (x; λ) = x! per x = 0, 1, 2, 3,... 0 altrimenti con λ > 0. Calcolare: 1. la probabilità di non ricevere nessuna chiamata in un minuto; 2. la probabilità di sovraccarico in un dato minuto; 3. la probabilità di avere - in un ora - esattamente 3 minuti anche non contigui, senza nessuna chiamata. Iniziamo col trovare quante chiamate avvengono in media in un minuto visto che in 0 minuti ne abbiamo 120. Sarà quindi λ = = P [X = 0] = e ! = 1 e 2 = Per calcolare tale probabilità, dobbiamo prima ricavarci le seguenti: P [X = 1] = e ! = 2 e 2 = ; P [X = 2] = e ! = 2 e 2 = ; P [X = 3] = e ! = 4 3 e 2 = ; P [X = 4] = e ! = 2 3 e 2 = Ora possiamo trovare P [X > 4] = 1 4 P [X = x], quindi e otterremo x=0 P [X > 4 =] = = 5.27%

7 3. Se indichiamo con Y la v. c. che indica numero di intervalli di 1 minuto senza chiamate, e sapendo che la probabilità di avere 1 minuti è semplicemente p = P [X = 0] = 1 = = 13, 53%, allora e la probabilità di avere 3 intervall1 di 2 un minuto in un ora è 0 P [Y = 3] = p 3 (1 p) 57 = = 2, 13% 3 che è lo schema binomiale (numero x di successi su n prove). Quindi la v. c. Y ha una distribuzione binomiale.