Probabilità: teoremi e distribuzioni

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1 Probabilità: teoremi e distribuzioni OBIETTIVO DIDATTICO DELLA LEZIONE Illustrare le più importanti distribuzioni di probabilità che vengono utilizzate in statistica

2 Distribuzioni di probabilità 1. La distribuzione binomiale; 2. La distribuzione normale; 3. La distribuzione chi 2 ; 4. La distribuzione F; 5. La distribuzione t.

3 Distribuzioni di probabilità Quando si conoscono le probabilità teoriche degli esiti di un evento è possibile identificare una distribuzione di probabilità che descrive, in linea teorica, tutte le manifestazioni di natura casuale associate all evento stesso.

4 Distribuzione binomiale Si tratta di un modello matematico che si adatta allo studio di fenomeni che possono assumere solo 2 diversi valori, osservati un numero N di volte Esempio: lancio di una moneta, dove 2 sono i risultati possibili: T (testa) C (croce) I risultati (successo e insuccesso) sono mutualmente escludentisi (testa o croce).

5 ESEMPIO: Qual è la probabilità di ottenere testa lanciando una moneta 1 volta? Successo: uscita TESTA Insuccesso: uscita CROCE N = 1 La probabilità di ottenere T lanciando 1 moneta è P(T) =½. La probabilità di ottenere C lanciando 1 moneta è P(C) = ½.

6 Se una moneta viene lanciata 2 volte, TESTA può uscire 0, 1, 2 volte. Se consideriamo tutti i possibili esiti: CC TC CT TT vediamo che 0 TESTA capita una volta; 1 TESTA due volte; 2 TESTA una volta. Qual è la probabilità associata ad ognuno di questi esiti?

7 Se eseguiamo N prove la distribuzione teorica di probabilità assume una forma precisa detta BINOMIALE: f(x)= n C x p x q n-x Considerando: F(x) = la probabilità di ottenere esattamente x successi in n prove; N = prove; con p e q si indica rispettivamente la probabilità che si verifichi l evento desiderato (p) e che esso non si verifichi (q=1-p).

8 La formula generale per calcolare in quanti modi diversi si possono combinare x successi in N prove (e N-x insuccessi) è: N x C N x N! x!n x! detto COEFFICIENTE "BINOMIALE" nc x = è il numero dei modi in cui si possono combinare x successi e (n-x) insuccessi in n prove; combinazioni di n oggetti presi x a x.

9 ESEMPIO: Qual è la probabilità di ottenere 1 volta testa lanciando una moneta 2 volte? Successo: uscita TESTA Insuccesso: uscita CROCE N = 2 Abbiamo un numero fissato di n osservazioni INDIPENDENTI (esempio n = 2) p= la probabilità che si verifichi l evento desiderato (La stessa per ogni osservazione); q= 1-p = la probabilità che esso non si verifichi.

10 Lanciamo 2 volte una moneta N = 2 Possiamo calcolare la probabilità di ottenere x = 1 successo in N = 2 lanci, cioè 1 T in 2 lanci. Numero di casi favorevoli: x=1 Numero di casi totali: n=2 p = P(T) = 1/2 q = P(C) = 1/2 (successo in 1 lancio) (insuccesso in 1 lancio) f(x)= n C x p x q n-x

11 Nell'esempio con N = 2, x = 1 e (N-x) = 1 N x NC x N! x!n x! 2! C 1!( 2 1 )! 2 x x 1 f(x)= n C x p x q n-x P(1) = 2 p 1 q 1 = 2 x (1/2) 1 (1/2) 1 = 2 x 0.5 x 0.5 = 0.50 p = P(T) = 1/2 q = P(C) = 1/2 CC TC CT TT La funzione binomiale consente di calcolare un valore teorico di probabilità per ciascun valore associato ai parametri n, x, p e q.

12 Qual è la probabilità di ottenere 0 volta testa lanciando una moneta 2 volte di seguito? Nell'esempio con N = 2, x = 0 e (N-x) = 2 2! C 0!( 2 0 )! 2 x x 2 x 1 f(x)= n C x p x q n-x CC TC CT TT P(0) = 1 p 0 q 2 = 1 x (1/2) 0 (1/2) 2 = 1 x 1 x 0.25 = 0.25

13 Qual è la probabilità di ottenere 2 volta testa lanciando una moneta 2 volte di seguito? Nell'esempio con N = 2, x = 2 e (N-x) = 0 2! C 2!( 2 2 )! 2 x x 1x1 f(x)= n C x p x q n-x CC TC CT TT P(2) = 1 p 2 q 0 = 1 x (1/2) 2 (1/2) 0 = 1 x 0.25 x 1 = 0.25

14 La SOMMA di tutte le probabilità associate a tutti i possibili successi da 0 a n, è uguale a 1. Se una moneta viene lanciata 2 volte, TESTA può uscire 0, 1, 2 volte. P (0) =.25 P (1) =.50 P (2) = = 1 Se calcoliamo la probabilità associata a tutti i possibili esiti testa associati ai 2 lanci di una moneta si ottiene la distribuzione teorica di probabilità.

15 PROPRIETA 1. E' una distribuzione discreta (x assume solo valori interi) 2. E' una distribuzione simmetrica Con i valori centrali più probabili e quelli estremi meno probabili a) se p = q = 1/2 la distribuzione è simmetrica b) se invece p = q la distribuzione è asimmetrica, ma per N molto grande tende verso la simmetria

16 SIMMETRICA ASIMMETRICA se p > ½: la distribuzione binomiale è asimmetrica negativa: la probabilità del successo è maggiore di quella dell insuccesso se p < ½: la distribuzione binomiale è asimmetrica positiva: la probabilità del successo è inferiore a quella dell insuccesso.