Notazione: nel seguito, dato un insieme A, P(A) indicherà l insieme delle parti di A.

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1 Notazione: nel seguito, dato un insieme A, P(A) indicherà l insieme delle parti di A. 1. Spazio di probabilità prodotto di una famiglia finita di spazi di probabilità Iniziamo la nostra discussione con un esempio: vogliamo modelizzare con uno spazio di probabilità l esperimento che consiste nel lanciare prima un dado e poi una moneta truccata, dove la probabilità di avere testa è 1/3. I due lanci sono considerati operativamente indipendenti, cioè l uno non puo influenzare l esito dell altro. Lo spazio campionario S, dato dall insieme dei possibili esiti, è banalmente S = { (x 1, x 2 ) : x 1 {1, 2,..., 6}, x 2 {T, C} } (x 1 è da pensare come l esito del lancio del dado e x 2 come l esito del lancio della moneta). Essendo S numerabile, prendiamo come σ algebra degli eventi l insieme delle parti di S: P(S). Ci resta da definire la funzione di probabilità P : P(S) [0, 1]. Siccome la moneta è truccata, non possiamo invocare la simmetria e concludere che gli esiti di S sono equiprobabili. Invece, essendo gli esperimenti operativamente indipendenti, è naturale richiedere che, fissati x 1 {1, 2,..., 6} e x 2 {T, C}, i due eventi (visti come sottinsiemi di S) E 1 e E 2, definiti come E 1 = il lancio del dado ha dato x 1 E 2 = il lancio della moneta ha dato x 2, siano eventi indipendenti. Quindi P deve essere tale che P ( {(x 1, x 2 )} ) = P (E 1 E 2 ) = P (E 1 )P (E 2 ). È naturale porre P (E 1 ) = 1/6 e P (E 2 ) = 1/3 se x 2 = T oppure P (E 2 ) = 2/3 se x 2 = C. Quindi possiamo definire P sugli eventi elementari come P ( {(x 1, x 2 )} ) { 1 1 = 6 3 = 1 18 se x 2 = T, = 2 18 se x 2 = C, Ricordiamo che, essendo S numerabile, la funzione di probabilità P è univocalmente determinata una volta assegnata sugli eventi elementari. Per avere una buona definizione bisogna però verificare che P ({x}) [0, 1] per ogni x S e che x S P ({x}) = 1. Queste verifiche seguono facilmente dalla definizione (1.1) e sono lasciate al lettore. Il precedente esempio guida puo essere facilmente generalizzato come segue. Consideriamo un esperimento dato da n esperimenti elementari tra loro indipendenti (ci riferiamo all indipendenza operativa nell esecuzione degli esperimenti elementari). Supponiamo che l esperimento elementare i esimo sia descritto dallo spazio di probabilità (S i, P(S i ), P i ), dove S i è lo spazio campionario che assumiamo essere numerabile (finito o infinito), P(S i ) è l insieme delle parti di S che prediamo come σ algebra degli eventi e P i : P(S i ) [0, 1] è la funzione di probabilità. Allora l esperimento globale dato dagli n esperimenti elementari tra loro indipendenti è descritto dallo spazio di probabilità (S, P(S), P ) così definito: Lo spazio campionario S è dato dal prodotto cartesiano S = S 1 S 2 S n. Quindi, per definizione di prodotto cartesiano, S = { (x 1, x 2,..., x n ) : x i S i 1 i n }. 1

2 2 Essendo S numerabile prendiamo come σ algebra degli eventi l insieme delle parti di S: P(S), Sugli eventi elementari P è definita come P ({ (x 1, x 2,..., x n ) }) = P i ({x i }). (1.1) Essendo S numerabile la funzione di probabilità è univocalmente determinata una volta assegnata sugli eventi elementari. Per avere una buona definizione bisogna però verificare che P ({x}) [0, 1] per ogni x S e che x S P ({x}) = 1. Queste verifiche seguono facilmente dalla definizione (1.1) e sono lasciate al lettore. La formula (1.1) è motivata dalla seguente osservazione: se E i è l evento che l esperimento elementare i-esimo abbia esito x i allora, essendo gli esperimenti elementari operativamente indipendenti, è naturale supporre che E 1, E 2,..., E n siano eventi indipendenti. Inoltre è naturale assumere che P (E i ) = P i ({x i }). Quindi P ({ (x 1, x 2,..., x n ) }) = P ( n E i ) = P (E i ) = P i ({x i }). Terminologia: il suddetto spazio di probabilità (S, P(S), P ) è detto spazio di probabilità prodotto degli spazi di probabilità (S i, P(S i ), P i ), 1 i n. Valgono le seguenti proprietà: Proposizione 1: Siano (S i, P(S i ), P i ), 1 i n, spazi di probabilità con S i insieme numerabile, e sia (S, P(S), P ) il loro spazio prodotto. 1) Se per ogni i E i S è un evento definito in termini del solo esperimento elementare i esimo, allora E 1, E 2,..., E n sono eventi indipendenti, 2) Se per ogni i S i è finito ed ha esiti equiprobabiliti, allora S ha esiti equiprobabili. Osserviamo che la prima delle suddette proprietà conferma che lo spazio prodotto è il giusto spazio di probabilità per modelizzare gli n esperimenti elementari indipendenti. Notiamo inoltre che se E i S è un evento definito in termini del solo esperimento elementare i esimo allora E i deve essere della forma per qualche insieme Ẽi S i. E i = S 1 S 2 S i 1 Ẽi S i+1 S n, (1.2) Dim. della Proposizione 1. Dimostriamo il primo punto. Per provare che E 1, E 2,..., E n sono indipendenti dobbiamo provare che, dati 1 i 1 < i 2 < < i r n, vale P (E i1 E i2 E in ) = P (E i1 ) P (E i2 ) P (E in ). Per semplicità di notazione (ma il ragionamento si generalizza in modo banale) consideriamo solo il caso in cui r = n e quindi i 1 = 1, i 2 = 2,... i n = n, cioè proviamo che P ( n E i ) = P (E i ). (1.3)

3 3 Come appena osservato, E i è della forma (1.2) per qualche Ẽi S i. Quindi, per la σ additività di P e poi per (1.1), vale P (E i ) = P ({(x 1,..., x i 1, x i, x i+1,, x n )}) = x 1 S 1 x i 1 S i 1 x i x Ẽi i+1 S i+1 x n S n P i ({x i }) = x 1 S 1 x i 1 S i 1 x i x Ẽi i+1 S i+1 x n S n P 1 ({x 1 }) P i 1 ({x i 1 }) P i ({x i }) x 1 S 1 x i 1 S i 1 x i Ẽi ( ) P i+1 ({x i+1 }) P n ({x n }). x i+1 S i+1 x n S n (1.4) Nell ultimo membro tutte le somme tranne la i esima valgono 1, mentre la i esima vale P i (Ẽi). Da cui concludiamo che Per concludere procediamo come segue: P ( n E i ) = P (Ẽ1 Ẽn) Ẽ2 = P (E i ) = P i (Ẽi). (1.5) P ({(x 1, x 2,..., x n )}) = x 1 Ẽ1 x 2 Ẽ2 P 1 ({x 1 })P 2 ({x 2 }) P n ({x n }) = x 1 Ẽ1 x 2 Ẽ2 P i (Ẽi) = x n Ẽn P (E i ). x n Ẽn P i ({x i }) = x i Ẽi (1.6) Si noti che ciò conclude la dimostrazione di (1.3). Nella suddetta espressione la prima identità segue dall identità insiemistica n E i = Ẽ1 Ẽ2 Ẽn, che a sua volta segue da (1.2). La seconda identità segue da (1.1), la terza dalla proprietà distributiva somma prodotto, la quarta dalla σ additività di P i e la quinta da (1.5). Dimostriamo ora il secondo punto della proposizione. Per ipotesi, P i ({x i }) = 1/ S i per ogni x i S i e per ogni i. Per (1.1) abbiamo P ({(x 1, x 2, x n )}) = P 1 ({x 1 })P ({x 2 }) P ({x n }) = 1 S 1 1 S 2 1 S n = 1 S Quindi tutti gli eventi elemetari di S hanno probabilità 1/ S e perciò S ha esiti equiprobabili.

4 Schema di Bernoulli di parametri n, p. Si realizzano n prove, cioè n esperimenti elementari identiti e indipendenti. Supponiamo che ogni esperimento elementare abbia solo due esiti, che chiamiamo successo e insuccesso oppure rispettivamente 1 e 0, e che la probabilità di successo nella i esima prova sia p [0, 1]. Lo spazio prodotto che modelizza la famiglia delle n prove è detto schema di Bernoulli di parametri n e p. Dalla definizione di spazio prodotto si ottiene facilmente che lo schema di Bernoulli è dato dalla terna (S, P(S), P ) dove S = {0, 1} n, P(S) denota l insieme delle parti di S e P è la funzione di probabilità che sugli eventi elementari vale dove m è il numero dei successi cioè P ({(x 1, x 2,..., x n )} = p m (1 p) n m, m = {i : 1 i n, x i = 1} = n x i. Si noti inoltre che definito Y (x)= numero successi in x, dove x S, vale ( ) n P (Y = k) = p k (1 p) n k, k {0, 1,..., n}. k 2. Spazio di probabilità prodotto di una successione di spazi di probabilità Indichiamo brevemente come modelizzare l esperimento (ideale!) dato da una successione di esperimenti elementari indipendenti, dove l i esimo esperimento elementare è modelizzato dallo spazio di probabilità (S i, P(S i ), P i ) con S i numerabile - finito o infinito (i varia in N + = {1, 2, 3,... }). È naturale prendere come spazio campionario S = { (x i ) i N+ : x i S i }, cioè S è lo spazio prodotto S i. Essendo S non numerabile (a meno che, a parte una sottofamiglia finita, tutti gli S i siano dati da un singolo elemento), in generale scegliere come σ algebra degli eventi l insieme delle parti di S porta a delle assurdità. Ne deriva che la costruzione dello spazio di probabilità è non banale. Vale il seguente fatto che non dimostreremo: Proposizione 2. Data una successione di spazi di probabilità (S i, P(S i ), P i ) come sopra, esiste uno spazio di probabilità (S, F, P ), detto spazio di probabilità prodotto,soddisfacente le seguenti proprietà: S = S i. Se Ẽj S j, allora l insieme E j = {(x i ) i N+ S : x j E j } S è un evento dello spazio (S, F, P ), cioè E j F. Inoltre P (E j ) = P j (Ẽj). Dati E 1 S 1, E 2 S 2,... E n S n, gli eventi Ẽ 1, Ẽ2,..., Ẽn definiti come al punto precedente sono indipendenti. Concludiamo con un esempio: Schema di Bernoulli infinito con parametro p. Consideriamo una successione (infinita) di prove (quindi esperimenti elementari indipendenti e identici), dove ciascuna prova ha solo due esiti, che chiamiamo successo e insuccesso oppure rispettivamente 1 e 0. Assumiamo che la probabilità di successo nella i esima prova sia pari a p [0, 1]. Sia (S i, P(S i ), P i ) lo spazio di probabilità che descrive la i esima prova. Questi spazi sono identitici: S i = {0, 1} con P i ({1}) = p, P i ({0}) = 1 p,

5 5 P i ( ) = 0, P i ({0, 1}) = 1. Lo schema di Bernoulli infinito con parametro p è lo spazio di probabilità prodotto (S, F, P ) che modellizza la suddetta successione di prove. Si ha che S = {0, 1} N +. Inoltre, F e P soddisfano le proprietà della proposizione precedente. Esercizio: dimostrare che nello schema di Bernoulli infinito con parametro p (0, 1), l esito (0, 0, 0, 0, 0,... ) e l esito (1, 1, 1, 1, 1,... ) hanno probabilità nulla. Suggerimento: calcolare la probabilità di avere tutti insuccessi o tutti successi nelle prime n prove e poi usare le proprietà limite delle successioni monotone di eventi.