Esperimentazioni di Fisica 1. Prova scritta del 9 luglio 2015 SOLUZIONI

Transcript

1 Esperimentazioni di Fisica 1 Prova scritta del 9 luglio 2015 SOLUZIONI

2 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 2 of 8 09/07/ (12 Punti) Quesito. La grandezza y è aspettata dipendere in modo quadratico dalla grandezza x secondo la relazione y = x 2 /2, con x e y espresse in opportune unità di misura. x y ± ± ± ± ± 0.58 Il risultato di un esperimento in cui y è misurato in funzione di x è riportato nella tabella a lato. Le incertezze riportate sono incertezze standard. Si determini se il modello matematico atteso è confermato dai dati utilizzando il test del χ 2 specificando quali sono le condizioni di applicabilità del test. La tabella dei valori degli integrali del χ 2 ridotto è allegata a questo questionario. Soluzione. Nella tabella sono riportati i dati delle misure e i valori aspettati per lo stesso valore di x. Nell ultima colonna della tabella sono riportati gli scarti divisi per le incertezze standard al quadrato. x y x 2 /2 u y ( y x 2 /2 u y Dalla tabella si calcola χ 2 = Il numero dei gradi di libertà in questo caso è 5 e il χ 2 ridotto è χ 2 /ν = 12.84/5 = Dalla tabella si ricava una probabilità pari a P (χ 2 > 2.57) La probabilità che il modello matematico assegnato descriva correttamente i dati è molto bassa. La condizione di applicabilità del test del χ 2 è che le incertezze relative alle misure della variabile y siano gaussiane. ) 2

3 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 3 of 8 09/07/ (12 Punti) Quesito. Una bilancia digitale con un display a 3 cifre significative ha una risoluzione di 0.1g. Nel libretto di istruzioni è riportato inoltre che l incertezza della misura è il 3% del valore letto con un livello di confidenza del 99%. Il costruttore dichiara inoltre che le incertezze delle bilance costruite hanno una distribuzione gaussiana. Pesando la massa m 1 si ottiene il risultato m 1 = 22.4 g, pesando la massa m 2 si ottiene il risultato m 2 = 22.1 g. valutare: l incertezza sulle due misurazioni l incertezza sulla grandezza m = m 1 m 2 Soluzione. L incertezza standard sulle misurazioni di m 1 e di m 2 ha due contributi quello da associare alla risoluzione dello strumento il cui valore è u = 0.1/ 12 g = g (identico per le due misurazioni) e quello da associare alla taratura della bilancia che, con le indicazioni del costruttore, risulta essere u = 0.03m/3, dove m è la misura letta sul display e la divisione per 3 è dovuta al livello di confidenza del 99% e alla distribuzione normale delle incertezze di taratura. Le due incertezze u e u sono indipendenti e quindi si sommano in quadratura. Quindi le due incertezze su m 1 e m 2 sono rispettivamente: u 1 = u 2 + u 2 1 = (0.029) 2 + (0.01m 1 ) 2 = 0.22g u 2 = u 2 + u 2 2 = (0.029) 2 + (0.01m 2 ) 2 = 0.22g L incertezza sulla grandezza m = m 1 m 2 si ottiene con la formula della propagazione delle incertezze, notando che i contributi u, associati alla taratura dello strumento sono correlati tra loro con ρ = 1 (m 1 m 2 ). Le incertezze dovute alla risoluzione, al contrario delle precedenti, non sono correlate. Indicando con u l incertezza su m, si può quindi scrivere: = u = ( m m 1 ) 2 ( ) m 2 (u 2 + u 2 1 ) + (u m 2 + u 2 2 ) + 2ρ m m u 1 2 m 1 m u 2 = 2 (u 2 + u 2 1 ) + (u 2 + u 2 2 ) 2u 1 u 2 = 2u 2 + (m 1 m 2 ) 2 (0.01) 2 2u = 0.04g

4 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 4 of 8 09/07/ (12 Punti) Quesito. Un contatore Geiger è posto di fronte ad una sorgente radioattiva di attività ignota (l attività è definta come il numero di decadimenti radioattivi nell unità di tempo e si misura in Becquerel (Bq) 1 Bq=1 decadimento al secondo. Misura Durata Conteggi n. t i (s) n i Una serie di 5 misurazioni di durata differente è riportata in tabella. Rimossa la sorgente, il contatore Geiger misura, in 100 s, N b = 3482 conteggi dovuti alla radioattività ambientale. Tenenedo conto che il contatore Geiger per la sua geometria (dimensioni e distanza dalla sorgente) vede solo il 30% delle totale delle radiazioni emesse, stimare il valore dell attività della sorgente radioattiva. Soluzione. [unc011] I conteggi del contatore Geiger delle varie misurazioni appartengono a distribuzioni di Poisson di medie pari a (a 0.3 +b) t i, dove a 0.3 rappresenta il 30% dell attività della sorgente e b l attività del fondo. Poiché la somma di variabili casuali poissoniane è ancora una variabile poissoniana con valore medio pari alla somma dei valori medi delle singole variabili, si possono sommare i tempi e i relativi conteggi ottenendo: t = 5 t i = ( )s = 100s; i=1 da cui N = 5 n i = = i=1 N = (a b) t = Tenendo conto che la misura del fondo è N b = b t = 3482 si ha a 0.3 t = N N b = = Essendo N e N b variabili casualli poissoniane, propagando l incertezza sulla variabile N N b si ottiene: u N Nb = N + N b = = 152. (Si osservi che, differentemente dalla somma, la differenza di due variabili poissoniaine non è distribuita in modo poissoniano). Per la frazione dell attivitá della sorgente vista dal Geiger, possiamo quindi scrivere: a 0.3 = (162.6 ± 1.5) Bq Infine l attività a della sorgente si ottiene dalla relazione a = a 0.3 /0.3, per cui: a = (541.9 ± 5.1) Bq

5 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 5 of 8 09/07/ (6 Punti) Quesito. Un dado a forma di tetraedro regolare porta sulle facce i numeri da 1 a 4. Se si lanciano due di questi dadi quale è la probabilità che la somma dei numeri che sono nelle facce di appoggio sia 7? Soluzione. [prb001] I casi possibili nel lancio di due dadi tetraedrici sono 16, come mostrato nella tabella. I casi favorevoli (uscita di 7) sono 2. Quindi si ha P (7) = 2/16 = Somma configurazioni n. modi 2 (1,1) 1 3 (1,2) (2,1) 2 4 (1,3) (2,2) (3,1) 3 5 (1,4) (2,3) (3,2) (2,3) 4 6 (2,4) (3,3) (4,2) 3 7 (3,4) (4,3) 2 8 (4,4) 1

6 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 6 of 8 09/07/ (12 Punti) Quesito. Una persona ha due monete in tasca. Una normale, con testa e croce nei due lati, l altra truccata in cui entrambi i lati riportano testa (indistinguibile dalla testa della prima moneta). La persona prende una delle due monete a caso, la lancia ed esce testa. Qual è la probabilità che la moneta lanciata sia quella normale? Soluzione. [tby002] Indichiamo con N la moneta normale, con F quella truccata e con T l uscita di testa. Le probabilità condizionate utili alla soluzione del problema sono: P (T N) = 1 2, P (T F ) =1, P (N) = 1 2, P (F ) = 1 2, probabilità che esca testa se la moneta è normale probabilità che esca testa se la moneta è truccata probabilità di scegliere la moneta normale probabilità di scegliere la moneta truccata La probabilità che esca testa è: P (T ) = P (T N)P (N) + P (T F )P (F ) = = 3 4 Usando il teorema di Bayes si ottiene la soluzione: P (N T ) = P (T N)P (N) P (T ) = (1/2) (1/2) 3/4 = 1 3

7 Esp-1 Prova di Esame Secondo appello - Page 7 of 8 09/07/ (6 Punti) Quesito. Dimostrare la formula della media pesata utilizzando il metodo di massima verosimiglianza. Allo scopo, si considerino due misure indipendenti x 1 ±u 1, x 2 ±u 2 di una grandezza supponendo inoltre che le due misure siano distribuite in modo normale. Soluzione. [lkl001] Se x o indica il valore vero della grandezza, che rappresenta il parametro da stimare, le pdf delle variabili aleatorie x 1 e x 2 sono: 1 2πu1 e (x 1 x o) 2 /2u 2 1 ; 1 2πu2 e (x 2 x o) 2 /2u 2 2 La funzione di verosimiglianza L è L(x o ) = 1 1 e (x 1 x o) 2 /2u 2 1 e (x 2 x o) 2 /2u 2 2 2π u 1 u 2 Prendendo il logaritmo, e successivamente uguagliano a zero la derivata rispetto a x o per trovare il massimo otteniamo d ln L(x o ) = 1 ( 1 d (x1 x o ) 2 dx o 2π u 1 u 2 dx o 2u 2 + (x 2 x o ) 2 ) 1 2u 2 = 0 2 da cui, ponendo w i = 1/u 2 i, (i = 1, 2) w 1 (x 1 x o ) + w 2 (x 2 x o ) = 0, che risolvendo per x o, porta a x o = w 1x 1 + w 2 x 2 w1 + w2 che è proprio la formula della media pesata CVD.

8 Integrale della distribuzione del valore ridotto del CHI2 dal valore dato fino a infinito df X