Un sistema massa-molla viene fatta oscillare su un piano orizzontale privo di attrito.

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1 ESPERIMENTAZIONI DI FISICA I - Appello d esame del 04/07/019 Quesito A (possibilità di svolgerlo con l ausilio di strumenti informatici) Un sistema massa-molla viene fatta oscillare su un piano orizzontale privo di attrito. Con tale sistema, si vogliono determinare le caratteristiche di una molla. In altre parole, si confrontano i dati sperimentali con il modello matematico: TT = ππ mm + mm Nell equazione precedente, m è la massa applicata alla molla, k è la costante elastica della molla e T il periodo di oscillazione del sistema massa-molla. Il parametro m eq tiene conto della parziale partecipazione della massa della molla al moto oscillatorio. L esperimento consiste nel acquisire venti coppie di dati (T i ; m i ) (si veda la tabella riportata sotto). Tramite i dati sperimentali, determinare i valori di m eq e di k (ovviamente va determinata anche la relativa incertezza). Inoltre, calcolare il valore del χ tra dati sperimentali e valori attesi. Infine, determinare come cambia il valore del χ se il dato sperimentale 0,955, a causa di una errata trascrizione, diventa 0,855. Massa m (in kg) Periodo T (in s) 0,100 0,654 0,15 0,677 0,150 0,78 0,175 0,766 0,00 0,80 0,5 0,834 0,50 0,865 0,75 0,898 0,300 0,931 0,35 0,955 0,855 0,350 0,985 0,375 1,016 0,400 1,04 0,45 1,066 0,450 1,093 0,475 1,115 0,500 1,14 0,55 1,165 0,550 1,185 0,575 1,11

2 Soluzione Quesito A La relazione funzionale tra m e T si può facilmente linearizzare elevando al quadrato entrambi i membri. Cioè: TT = ππ mm + mm TT = pp mm + qq con pp = 4ππ TT = 4ππ mm + mm = 4ππ e qq = 4ππ mm mm + 4ππ mm Conseguentemente si ha: pp = 4 ππ = 4 ππ pp δpp uu = 4 ππ aa uu pp qq = 4 ππ mm qq mm = 4 ππ Rispetto al caso precedente, il calcolo dell incertezza su m eq è più complesso; bisogna prendere in considerazione che essa dipende sia dall incertezza sul parametro q sia dell incertezza presente su k (che a sua volta dipende dall incertezza sul parametro p). Inoltre, poiché i parametri p e q sono stati ricavati dalla stessa regressione lineare, essi hanno un coefficiente di correlazione non nullo: uu mm = mm uu qq + mm uu + ρρ mm mm uu qquu Il calcolo del corretto valore del parametro di correlazione (ρρ) è complesso, pertanto assumiamo (in modo conservativo) che esso sia uguale ad 1 (ρρ = 1). Se il coefficiente di correlazione è unitario, l incertezza su m eq risulta uu mm = mm = mm uu qq + mm uu + mm mm uu qquu uu qq + mm uu = mm uu qq + mm uu uu mm = mm uu qq + mm I contributi delle incertezze si sommano (con ρρ = 1 non si effettua la somma in quadratura). Dalla regressione lineare e dalla propagazione delle incertezze, si ottiene: k = ( 17,905 ± 0, 070) kg s meq = ( 0, 0904 ± 0, 0018) kg Per il calcolo del valore del χ utilizziamo l espressione: uu

3 χ ( T ) N = wi Ti fit i= 1 dove w = 1 u. I valori di u non sono noti. Al contrario è determinato, tramite la i T i regressione lineare il parametri, l incertezza standard sulla stima di T. Pertanto possiamo prendere, 1 questo valore, come stima di tutte le u. Nel nostro caso si ha: w= w 3599, 6 T i i = =. (0, 0055) T i Effettuando il calcolo, si ottiene χ = 18. Sapendo che i gradi di libertà sono 18 (0 dati meno due parametri ottenuti dal fit), si ha un chi quado ridotto esattamente uguale ad 1. Cambiando il dato 0,955 in 0,855 il valore del Questo sta a dimostrare che il χ rimane sempre uguale a 18. χ controlla la bontà del fit non quella dei dati. Questito B1 Attraverso un contatore Geiger si misurano i decadimenti di un certo campione radioattivo. Il contatore fornisce il risultato di 36 conteggi in 9 secondi. Calcolare la deviazione standard relativa a questa misurazione. Nel caso volessimo ottenere una misura con deviazione standard dell ordine del % del valore misurato, per quanti secondi dovremmo contare? Soluzione Quesito B1 Avendo a che fare con un decadimento radioattivo, si assume che i dati acquisiti dal Geiger seguano la distribuzione di Poisson. Pertanto, la deviazione standard della nostra misurazione sarà σσ = NN = 6 cccccccccccccccc (9 ssssssssssssss). In un esperimento di conteggi (che segue la distribuzione di Poisson), la deviazione standard è uguale alla radice quadrata del numero medio di conteggi. La nostra misurazione ha un incertezza percentuale del IIIIIIIIIIIIIIIIIIII % = NN NN 100 = % NN Volendo ottenere una incertezza percentuale del % dobbiamo avere % = 1 NN 100 NN = 1 = 500 cccccccccccccccc (0,0) Considerando che, mediamente, si hanno 4 conteggi al secondo, per avere dei conteggi dell ordine di 500 si deve contare per circa 65 secondi (un po più di 10 minuti). Grandezza valore incertezza unità di misura N = 36 ± 6 conteggi Incertezza percentuale Conteggi tempo di conteggio % s

4 Quesito B Un gruppo di studenti affronta l esame di Esperimentazioni di Fisica I. Il 40% degli studenti non è sufficientemente preparato. Si ipotizza che coloro che non sono adeguatamente preparati abbiano una probabilità di superare l esame del 15% e che quelli preparati abbiano una probabilità del 90% di superare l esame a) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso superi l esame? b) Sapendo che uno studente ha superato l esame, con quale probabilità è uno studente impreparato? Soluzione Quesito B Indichiamo con: B studenti impretarati ; G studenti preparati; S studenti che superano l esame; R studenti respinti. f (B) = 0,40 [frequenza normalizzata (percentuale) degli studenti impreparati] f (G) = 1 f (B) = 0,60 [frequenza normalizzata (percentuale) degli studenti preparati] p(s B) = 0,15 (probabilità che uno studente impreparato superi l esame) p(s G)=0,90 (probabilità che uno studente preparato superi l esame) La probabilità che uno studente, scelto a caso, superi l esame è: p(s) = p(s B) f (B) + p(s G) f (G) = 0,15 0,40 + 0,90 0,60 = 0,6. Invece, la probabilità che, superato l esame, lo studente sia impreparato è: psb ( ) f( B) pbs ( ) = 0,1 (il 10% degli studenti che supera l esame è impreparato!) ps ( ) Quesito B3 Nel Sistema di unità di misura, il kg è definito a partire dal valore numerico fisso della costante di Planck h. Oltre alla costante di Planck, quali altre costanti sono prese in considerazione per la definizione del kg? 1 = h 1 = 6, mm ss ( ) h νν CCss (6, ) ( ) cc 1, h νν 40 CCCC cc Per la corretta definizione del chilogrammo, oltre la costante di Planck, servono la velocità della luce e la frequenza di oscillazione iperfine del cesio (definizione di secondo).

5 Quesito B4 Uno studente misura la densità ρ di un blocco di alluminio ottenendo ρ = (,79 ± 0,1) g/cm 3. Il risultato della misurazione deriva da strumentazione digitale con funzioni di distribuzione di probabilità uniforme. Il valore teorico della densità dell alluminio è ρ =,7 g/cm 3. Quale parametro si deve utilizzare per valutare la bontà del risultato ottenuto? Per il calcolo si deve utilizzare l errore massimo o l errore statistico? Effettua il calcolo per valutare la bontà del risultato ottenuto (commentare il risultato ottenuto). Soluzione Quesito B4 Lo studente calcola il parametro t, trasformando prima l incertezza massima u ρ in incertezza statistica. Avendo a che fare con una distribuzione di probabilità uniforme e conoscendo la semiampiezza della banda (massimo) u (statistico) ρ di oscillazione, incertezza statistica sarà: uρ = = 0,04. 3 ρmisurato ρatteso Il parametro t risulta essere: t = =,5 (statistico) u ρ Il risultato ottenuto si discosta di,5 volte l incertezza statistica. Il risultato è accettabile (t<3) ma meno dell 1% delle misure dovrebbe discostarsi tanto dal valore atteso. Quesito B5 Nella figura il rettangolo ABCD rappresenta un giardino nel quale sono presenti un aiuola (il rettangolo AEFG ) e una vasca circolare con diametro d V. Si conosce la misura dei segmenti AB = (7, 3 ± 0,1) m ; BC = (5, 6 ± 0,1) m, AE = (,8 ± 0,1) m, AG = (3, 7 ± 0,1) m e del diametro della vasca d V = (1, 8 ± 0,1) m. Determinare (con la corretta incertezza) la superficie calpestabile del giardino. Si consideri, per la risoluzione del quesito, che tutte le misure riportate nel testo sia completamente scorrelate. Soluzione Quesito B5 La superficie calpestabile del giardino è: Area rettangolo ABCD (area aiuola + area vasca) π π 7,3 5,6,8 3,7 ( 1,8 ) Scalpestabile = AB BC AE BG + dv + = + = 7,98 m 4 4 L incertezza sul calcolo dell area è: SCalpestabile SCalpestabile SCalpestabile SCalpestabile SCalpestabile S = Calpestabile AB + BC + AE + BG + dv AB BC AE BG dv u u u u u u π = ( BC uab ) + ( AB ubc ) + ( BG uae ) + ( AE ubg ) + dv ud V Poiché tulle le incertezze sulle misure di lunghezza sono uguali ( u = u = u = u = u = u ), possiamo scrivere: π V 1,1 m ( ) ( ) ( ) ( ) us = u BC + AB + BG + AE + d Calpestabile AB BC AE BG d V.