Esperimentazioni di Fisica 1. Prova d esame del 22 gennaio 2019 SOLUZIONI

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1 Esperimentazioni i Fisica 1 Prova esame el 22 gennaio 2019 SOLUZIONI

2 Esp-1-Soluzioni - - Page 2 of 7 22/06/ (12 Punti) Quesito. Una misura ell accelerazione i gravità in un certo luogo è eseguita utilizzano un penolo composto reversibile. La misura el perioo nella posizione ritta è (T o ± )s. Nella posizione rovesciata si eseguono ue misurazioni el perioo con il coltello i sospensione posizionato attorno a ue posizioni ifferenti ell asse i oscillazione. I risultati sono riportati in tabella: istanza D 1 (461.0 ± 0.5)mm D 2 (475.0 ± 0.5)mm Perioo T 1 ( ± )s T 2 ( ± )s D 1 e D 2 sono le istanze tra la posizione ell asse nella posizione ritta con le posizioni ell asse nella posizione rovescia (vei la figura a lato). Valutare il valore i g con la sua incertezza, supponeno lineare la relazione fra il perioo e istanza tra le sospensioni nell intervallo tra D 1 e D 2. Si ricora che per un penolo composto vale la relazione T 2π l eq g D 1 D 2 ove l eq è la lunghezza equivalente el penolo. L incertezza sulla misura i g è eterminata principalmente a quella sulle istanze (D 1 e D 2 ), quini nel calcolo si trascuri l incertezza sui valori ei tempi T o, T 1 e T 2. Soluzione. [unc020] Calcoliamo la istanza D o alla quale corrispone il perioo T o tramite un interpolazione lineare tra i punti (D 1, T 1 ) e (D 2, T 2 ): D o D 1 + T o T 1 (D 2 D 1 ) mm T 2 T Calcolo ei coefficienti i sensibilità: D o D 1 T o T 2 T 1 T ; D o D 2 T o T 1 T 2 T Calcolo ell incertezza su D o : ( Do ) 2 ( ) 2 Do u Do u D1 + u D2 ( ) 2 + ( ) mm D 1 D 2 Teneno conto che la istanza tra ue punti i sospensione el penolo con lo stesso perioo i oscillazione coincie con la lunghezza equivalente el penolo composto, si ha: g 4π2 T 2 D o 9811 mm s 2 L incertezza su g si ottiene con la propagazione elle incertezze per formule monomie: ( 2 u ( To udo u g g T o ) 2 + D o ) 2 8 mm s 2

3 Esp-1-Soluzioni - - Page 3 of 7 22/06/ (12 Punti) Quesito. La misurazione ella istanza h (vei figura) è eseguita con il metoo ella triangolazione su una base 30 m. La misurazione egli angoli θ 1 e θ 2 inicati in figura, è eseguita con un singolo cannocchiale collegato a un goniometro che viene spostato nelle postazioni T 1 e T 2. Le misure ei ue angoli sono: θ 1 (5.3 ± 0.2) mra θ 2 (4.5 ± 0.2) mra θ 1 h P θ 2 Le incertezze sui ue angli sono ovute alla lettura ell inice el goniometro. Inoltre il manuale uso el telescopio informa che l incertezza ella misura angolare, ovuta alla taratura ello zero ella scala, è 0.1 mra. E facile mostrare che h, in termini i, θ 1 e θ 2, è ata a h tan θ 1 + tan θ 2 θ 1 + θ 2 T 1 T 2 Dove l ultima espressione è valia quano gli angoli θ sono piccoli come nel caso in esame. Valutare la granezza h con la sua incertezza Soluzione. [unc043] L incertezza sulle misure θ 1 e θ 2 è ata a ue contributi inipenenti 1) l incertezza u su ogni lettura pari a 0.2 mra e 2) l incertezza u i taratura valutata a 0.1 mra in conclusione avremo: u θ1 u θ2 u 2 θ1 + u 2 θ mra La misura ella granezza h si ottiene alla relazione: h θ 1 + θ m ( )10 3 Per valutare l incertezza su h calcoliamo i coefficienti i sensibilità: h h θ 1 θ 2 (θ 1 + θ 2 ) , m Le incertezze i lettura u θ 1 e u θ 2 sono inipenenti mentre le incertezze u θ 1 e u θ 2 ovute alla taratura ello strumento sono correlate con coefficiente i correlazione 1. Per cui l incertezza su h è u h ( h θ 1 ) 2 ( ) h 2 u 2 θ 1 + u 2 θ θ 2 + 2ρ h h u 2 θ 1 θ θ 1 u θ 2 2 (θ 1 + θ 2 ) 2 u 2 θ 1 + u 2 θ 2 + 2u θ 1 u θ m La granezza h è quini: h (3061 ± 110) m

4 Esp-1-Soluzioni - - Page 4 of 7 22/06/ (12 Punti) Quesito In un contenitore ci sono ue monete che inichiamo con A e B. La moneta A è ben equilibrata con probabilità i testa 1/2, la moneta B è truccata e la probabilità i testa è 0.6. Si sceglie una moneta a caso e la si lancia fino a che non esce testa. Nell esperimento eseguito si ottiene testa nel quinto lancio. Determinare la probabilità che la moneta scelta inizialmente fosse la B. Soluzione. [tby021] Inichiamo con B l evento si sceglie la moneta B (quella truccata ) e con 4CT l evento in 5 lanci escono 4 croci e una testa Si ha P (B) P ( B) 1/2. Inoltre sono i facile calcolo le probabilità conizionate: la probabilità ell evento 4CT è quini: P (4CT B) P (4CT B) P (4CT ) P (4CT B)P (B) + P (4CT B)P ( B) Usano il teorema i Bayes si ottiene la probabilità i avere scelto inizialmente la moneta B : P (4CT B)P (B) P (B 4CT ) P (4CT )

5 Esp-1-Soluzioni - - Page 5 of 7 22/06/ (12 Punti) Quesito. Un moello prevee che la granezza pena alla granezza x secono la relazione y k log 10 x/x o ove x o è l unità i misura i x. x i La granezza y è un conteggio che segue la statistica i Poisson, la granezza x ha un incertezza trascurabile. Nella tabella a lato è riportato il risultato elle misurazioni eseguite sulle ue granezze. Si utilizzi il metoo i minimi quarati per stimare il valore el parametro k. Si calcoli inoltre il χ 2 el fit ottenuto. Soluzione. [chi2018] Per applicare il metoo el χ 2 si eve trovare il minimo ella somma in quaratura ei resiui: R 2 ( k log x i /x o ) 2 u 2 ( ) ( k log x i /x o ) 2 ove nell ultimo passaggio si tiene conto che le sono ei conteggi. Annullano la erivata in k si ha: R 2 k 2 ( k log x i /x o ) log x i /x o 2 ( ) log x i /x o k log2 x i /x o 0 a cui ˆk log xi /x o log 2 x i /x o / / / / / Calcolo el χ 2. Per calcolare correttamente il valore el χ 2 non si eve utilizzare il punto x 1 10 poiché y 1 4 è un valore troppo piccolo per approssimare le sue fluttuazioni con una gaussiana. Quini 5 χ 2 ( ˆk log x i /x o ) i2

6 Esp-1-Soluzioni - - Page 6 of 7 22/06/ (6 Punti) Quesito. Le oscillazioni i un penolo sono isocrone solo per piccole oscillazioni. In realtà il perioo i un penolo ipene all ampiezza ell oscillazione secono una formula che sviluppata in serie e troncata al secono orine è: [ ] T (θ o ) T o 1 + θ2 o 16 + O(θ4 o) (1) ove T o e T (θ o ) sono rispettivamente il perioo per piccole oscillazioni e per oscillazioni i ampiezza θ o. Dimostrare che alla misurazione el perioo T (θ o ) e ella velocità angolare massima el penolo nell oscillazione è possibile, utilizzano la (1), ottenere il perioo per piccole oscillazioni T o. Soluzione. [phy007] Si imostra facilmente che la velocità massima in un moto armonico i ampiezza θ o e perioo T è θ max 2πθ o T a cui θ o θ max T 2π Sostitueno questa espressione nella (1) si ottiene il perioo elle oscillazioni isocrone (piccole oscillazioni): T (θ o ) T o ( ) 2 (2) θmax T (θ o ) 1 + 8π Quini misurano la velocità massima ell oscillazione e il perioo ella stessa oscillazione è possibile ottenere tramite la (2) il perioo elle piccole oscillazioni.

7 Esp-1-Soluzioni - - Page 7 of 7 22/06/ (6 Punti) Quesito. Dimostrare la formula ella meia pesata utilizzano il metoo ella massima verosimiglianza. Allo scopo, si consierino ue misure inipenenti x 1 ±u 1, x 2 ±u 2 i una granezza e si supponga inoltre che le ue misure siano istribuite in moo normale con eviazioni stanar u 1 e u 2. Soluzione. [lkl001] Se x o inica il valore vero ella granezza, che rappresenta il parametro a stimare, le pf elle variabili aleatorie x 1 e x 2 sono: 1 2πu1 e (x 1 x o) 2 /2u 2 1 ; 1 2πu2 e (x 2 x o) 2 /2u 2 2 La funzione i verosimiglianza L è L(x o ) 1 1 e (x 1 x o) 2 /2u 2 1 e (x 2 x o) 2 /2u 2 2 2π u 1 u 2 Preneno il logaritmo, e successivamente uguagliano a zero la erivata rispetto a x o per trovare il massimo otteniamo ln L(x o ) 1 ( 1 (x1 x o ) 2 x o 2π u 1 u 2 x o 2u 2 + (x 2 x o ) 2 ) 1 2u a cui, poneno w i 1/u 2 i, (i 1, 2) w 1 (x 1 x o ) + w 2 (x 2 x o ) 0, che risolveno per x o, porta a x o w 1x 1 + w 2 x 2 w1 + w2 che è proprio la formula ella meia pesata CVD.