è definito in tutto il dielettrico e dipende dalla sola carica libera

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1 Dielettrici I. Un conensatore a facce piane e parallele, i superficie S e istanza fra le armature, h, viene parzialmente riempito con un ielettrico lineare omogeneo i costante ielettrica.e spessore s Il conensatore viene caricato con una carica totale e staccato al generatore. Calcolare la capacità el conensatore, la p fra le armature, i campi E,D, P al variare i (istanza fra le armature) e la carica i polarizzazione. s Poniamo il ielettrico in contatto con una elle ue armature: in uesto moo il conensatore si può intenere come la serie i ue conensatori, i cui uno, C1 completamente riempito con il ielettrico e un altro, C, completamente vuoto. La capacità complessiva el conensatore è, pertanto, uguale a : 1 C=εS s + ( h s ) E la p fra le armature è: V = /C= ( s+ ( h s) ) εε rs Il campo elettrico resta ortogonale alle piastre in entrambi i conensatori, ma in C1 è più piccolo che in C i un fattore. Il campo i polarizzazione è presente solo nella regione contenente il ielettrico: r r P =ε ˆ χ E n r r Mentre il campo i inuzione elettrica è : D = εε ˆ re =n è efinito in tutto il ielettrico e ipene alla sola carica libera Noto il campo elettrico nelle ue regioni 1,,è possibile calcolare la p in maniera ifferente alla preceente: s V = El El = s+ ( h s) s εε r ε in accoro con il risultato preceente.

2 . Un conensatore sferico con le armature istanti e raggi elle stesse uguali a R1, R, viene riempito parzialmente con un ielettrico i costante ielettrica. e spessore /3. Le armature el conensatore, prima ell inserimento el ielettrico erano state portate a una p i V, ini la batteria era stata staccata. Determinare le ensità e le cariche i polarizzazione nella configurazione finale e la p fra le armature. Il campo e.s in assenza i ielettrico è : r E = rˆ 4π nella regione compresa fra le armature e è nullo all esterno i ueste. Pertanto la p fra le armature è R 1 1 V = El = = e infine: 4πε R1 R C R1 1 1 R R1 C 4πε R1R La presenza el ielettrico, cambia il valore ella capacità che può essere letta come la serie i ue capacità, i cui una, C1, con ielettrico: 1 1 R3 R1 C1 4πεεe R1R3 E l altra, C, senza ielettrico 1 1 R R3 C 4πε RR3 Dove R3 =R1+/3. In fine la p nella configurazione con ielettrico è la seguente: R+ R1εe = C 1πε ε R1R3R e Il vettore i polarizzazione, nella regione in cui è presente il ielettrico è r r P(r) =εχ E(r) = rˆ 4πr Pertanto, sulla superficie el ielettrico che si affaccia sull armatura interna, la ensità i carica i polarizzazione è: p+ = 4πR1 p = 4πR3 Assumeno la carica libera positiva collocata sull armatura più grane. Infine, le cariche i polarizzazione sono: p+ = p

3 III. In un conensatore a facce piane e parallele è stata inserita una sostanza ielettrica con costante ielettrica relativa =1+/. Le armature el conensatore hanno i lati i lunghezza l e a e hanno una istanza (irezione ). Calcolare la capacità el conensatore e la carica i polarizzazione. a) La capacità C può essere calcolata consierano l intero conensatore come una serie i conensatori infinitesimi. Pertanto C si ottiene integrano le capacità elementari: - a l + r la la la C = = = ln() e εε() ε + ε C = C / ln() b)la ensità i carica superficiale si stima a partire al vettore i ensità i polarizzazione: 1 P() =εχ E = = ε r + ove E() = inica il campo elettrico nel conensatore ε r() ε Infine la ensità i superficie ella carica i polarizzazione è: P () = nˆ r P() = + e varia a zero a /, passano all armatura positiva a uella negativa. Pertanto, la carica i polarizzazione superficiale totale e` iversa a zero: pol, 1 = / La carica i polarizzazione sulla superficie non è globalmente nulla, pertanto eve esistere una ensità i volume i carica i polarizzazione: ρ P () = P() = ( + ) E, infine, la carica i polarizzazione associata è: pol, P al ( + ) = v ρ () = = /

4 IV Un conensatore sferico,con le armature istanti =,5 mm, e superficie esterna S=1 cm viene collegato con una resistenza R= 1 Ω e un generatore i forza elettromotrice V= 1kV e resistenza interna r = Ω. L energia peruta per effetto Joule, nel tempo necessario a raggiungere una conizione i euilibrio è i 1-5 J. Determinare, all euilibrio, il valore ella capacità el conensatore, ella costante ielettrica el materiale che riempie completamente il conensatore e ella carica i polarizzazione. Il circuito euivalente al sistema è costituito al capacitore C, collegato in serie con la resistenza R = r+r=14ω e al generatore ieale V. La carica sul conensatore cresce nel tempo secono la legge: t/ (t) ( e τ = 1 ), = CV, τ=rc La corrente segue la legge: t/ i(t) = ie τ, i=v/r. L energia peruta per effetto Joule, si ricava integrano sull intervallo i tempo - la potenza issipata : ( ) t/ τ VC W = R ie t = Notiamo che opo un tempo pari a 3 il sistema può consierarsi all euilibrio, infatti, nel preceente integrale, sostitueno al valore il valore 3 si ha un moifica el risultato pari allo,997 el risultato effettivo. Conosceno il valore i W si ricava C: W C = =4, 1-11 F V D altra parte, C= C, ove C inica la capacità el conensatore vuoto. Per calcolare C, osserviamo che il campo e.s. tra le armature è: r (t)rˆ E(r,t), a r b, 3 4πεr ove a, b inicano il raggio ell armatura interna e esterna, rispettivamente. All esterno el conensatore il campo e.s. è nullo. Segue che la..p. fra le armature è: a 1 1 V(a) V(b) = E(r)r = b 4πε a b e la capacità el conensatore è: 4πε C = ab V b a Infine, sappiamo che: S b = = 9,8 mm 4π e, inoltre, a=b+=7,7 mm a cui risulta: C=3,17 pf e =1,6. In ultimo, calcoliamo il valore ella carica i polarizzazione. La ensità i carica i polarizzazione, P è uguale al moulo el vettore i polarizzazione r r r P(r) =ε( 1) E(r) =ε( 3 4πεr In particolare r CV P(a) = nˆ P(a) = ( 1) = ( 4πa 4πa nel caso in cui ˆn inichi la normale uscente al mezzo verso l armatura interna S R r V

5 (b) n CV ˆ P(b) r P = = ( ε 1 r ) 4 b π Nel caso in cui ˆn inichi la normale uscente al mezzo verso l armatura esterna. Infine: CV P =P(a)4π a = ( CV + P =P(b)4π b = ( Quini la carica totale i polarizzazione è nulla, come eve essere, mentre il moulo i ogni singolo valore è p=3, C