PROVA SCRITTA DI FISICA GENERALE II (FISICI) 17/6/1996

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1 POA CITTA DI FIICA GENEALE II (FIICI) 7/6/996 2 ) In un circuito in cui passa la corrente I= I 0 cosωt, è inserito un conensatore piano avente le armature costituite a lastre circolari e parallele i raggio a, poste a istanza molto piccola rispetto al loro raggio. Calcolare l' anamento, in funzione el tempo, el campo magnetico in un punto ello spazio tra le armature, a istanza (con <<a) al centro elle lastre. OLUZIONE E L' equazione i Maxwell: rotb =µ 0 (J+ )si può esprimere in forma ifferenziale come: B l =µ 0 I +µ 0 E n ˆ Le linee el campo magnetico generato a un filo rettilineo sono elle circonferenze concentriche con il filoe giacenti su i un piano normale al filo stesso. Per ragioni i simmetria anche le linee el campo magnetico all' interno el nostro conensatore saranno elle circonferenze concentriche con l' asse el conensatore. cegliamo quini un cammino chiuso circolare i raggio centrato sull' asse el conensatore, contenuto in un piano parallelo alle armature stesse. i avrà allora: B l = 2πB La corrente I all' interno el conensatore è nulla, quini avremo solo il contributo ovuto alla corrente i spostamento: 2πB =µ 0 E n ˆ elettrico attraverso la superficie i raggio. Il campo elettrico è uniforme e uguale a: E = σ = Φ (E) = Eπ 2 = B = µ 0 Q = µ 0 2π a 2 2π Q 4πa 2 a 2 I =µ 0 Φ (E). Calcoliamo quini il flusso el campo Q 4πa 2 π 2 = Q 2 Pertanto 2πB =µ a 2 0 Q 2 a cui a 2 3 ) Aveno a isposizione una lente convergente sottile i 6 iottrie si vuole ottenere una immagine con ingranimento ±5 i un oggetto posto sull' asse ella lente. Calcolare tutte le istanze ell' oggetto per cui ciò è possibile e le corrisponenti posizioni ell' immagine, specificano ogni volta se l' immagine stessa è reale o virtuale, ritta o capovolta. OLUZIONE + = = 6 i eve risolvere il sistema: x x' f x' = ± 5 x a cui + = 6 x ± 5x 6 = x x = /5, 2/5 4 = 6-5 x

2 Le posizioni ell oggetto sono unque /5 e 2/5, mentre quelle ell immagine, -2/3. Nel primo caso si tratta i immagine virtuale e iritta, nel secono caso i immagine reale e capovolta. POA CITTA DI FIICA GENEALE II (FIICI) 22/2/996 ) Nel moello atomico i Thomson l' atomo è consierato come una sfera i carica positiva q = Ze (-e = carica ell' elettrone) istribuita uniformemente all' interno ella sfera (quini è possibile avere cariche piccole a piacere anche minori ella carica -e ell' elettrone ), nella quale si trovano Z elettroni, con carica puntiforme e negativa -e. In particolare si consieri l' atomo i Elio (Z=2) come una sfera i raggio = nm. I ue elettroni occupano posizioni simmetriche rispetto al centro ell' atomo. Calcolare la istanza tra i ue elettroni in conizioni i equilibrio. 2) Due conensatori. piani i superficie = 00 cm 2 (uguale per ambeue) e con le istanze tra le armature uguali rispettivamente a = cm e 2 = 2 cm sono collegati a un generatore i forza elettromotrice =00, come è mostrato in fig.. a) Calcolare la forza í attrazione tra le armature el conensatore. uccessivamente manteneno il contatto con il generatore si inserisce nel primo conensatore un ielettrico.i costante ielettrica relativa ε =.7 e si moifica la istanza tra le armature el secono, che iventa 2 +X ( X positivo o negativo) (vei fig. 2) b) Calcolare P, l'intensità i polarizzazione nel ielettrico in Caso Caso X funzione i X. c) Quanto eve essere X affinchè il generatore non compia in complesso lavoro urante il passaggio alla situazione alla situazione 2? 2 3) Due sorgenti monocromatiche (λ = 500 µm) aventi istanza relativa mm sono poste alla istanza l = 30 cm a una lente sottile convergente avente istanza focale f= 20 cm Trovare la istanza in cm tra la frangia luminosa i orine zero e quella i orine che si osservano su uno schermo posto a istanza l= 3 m alla lente oluzione n. 2:

3 La forza i attrazione è la erivata rispetto a x ella energia el conensatore (a carica costante) ove x è la istanza tra le armature: F = Q 2 x 2C = Q 2 x 2 x = Q2 2 Nel nostro caso Q = Ctot ove = + = + 2 C tot C 2. Quini: F = 2 2( + 2 ) 2 La polarizzazione el ielettrico è P = (ε r -)E ove E è il campo elettrico in. ε La carica che è ora sulle armature Q' è ata a: Q' = C' tot = X ε La ifferenza i potenziale ai capi el primo conensatore è: ε Q' C' = = ε X Ma E = ε. Quini infine P = 0 (ε ) +ε ( 2 + X). Affinchè il generatore non compia lavoro eve essere C tot = C' tot in moo che l' energia totale resti costante = 2 C tot 2. Quini + 2 = ε X ===> X = ( ε ) II prova i esonero i FIICA GENEALE II ) Un solenoie i lunghezza l = 2 m è costruito avvolgeno, su un cilinro i raggio r= cm, un filo lungo 64.8 m avente sezione mm 2 e resistività ρ = 3.09*0-7 Ωm in moo a formare 000 spire. Tale solenoie è collegato a una pila i f.e.m. f=0 e i resistenza interna r i = 5 Ω. All' interno el solenoie si trova una sbarra i ferro ello stesso iametro e i permeabilità magnetica relativa µ r = 500 (supposta costante), avente un estremo all' interno el solenoie e l' altro estremo all' esterno. Tale sbarra viene estratta al solenoie con velocità costante v = 50 cm/sec. i calcoli la corrente che fluisce nel circuito giustificano il fatto che essa è costante urante il movimento ella sbarra. i tratti la parte vuota e quella piena el solenoie come ue solenoii inefiniti ia x la lunghezza ella parte i solenoie ancora occupata alla sbarra, e (l-x) la lunghezza i quella nella quale c' è ormai vuoto (l= lunghezza totale el solenoie). Il flusso i B concatenato con il solenoie sarà:

4 =ρ l s Li = π 4 2 in 2 µ 0 (µ r x + l x) = π 4 2 in 2 µ 0 [x(µ r ) + l] v = x, quini Φ = i L = π 4 2 in 2 µ 0 (µ r )v f Φ L' equazione el circuito è: = ( + r i )i ovvero f = i L + ( + r i)i e poichè L f = costante la corrente i è costante a cui i = (( + r i ) + L =??? A ) POA CITTA DI FIICA GENEALE II PE TUDENTI DI FIICA 22/2/ 995 ) Un conensatore piano, con armature i superficie =00 cm 2, è riempito a ue lastre i ielettrico, i spessore =2 mm e 2 = 3mm, e i costante ielettrica relativa ε r =.5 e ε r2 = 2. Tra i ue ielettrici è inserito un strato metallico i spessore trascurabile. Uno ei capi el conensatore è (a t=- ) collegato a un generatore i tensione 0 = 200, l' altro è collegato a terra. Al tempo t = 0, lo strato metallico viene collegato a terra tramite una resistenza = 200 Ω i etermini: a) Il potenziale * ello strato metallico al tempo t =2.0 x lo -8 s. b) L'energia E issipata nella resistenza fino all' istante t 2 =.5 x 0-8 s. c) I lavoro L compiuto al generatore nell'intervallo i tempo 0 t. oluzione: a) Il conensatore può essere consierato come una serie i ue conensatori e C 2 : = ε r = 66.4 pf C 2 = ε r2 = 59 pf ) La capacità totale ei ue

5 conensatori in serie è: C = C 2 Inicano con q la carica sull' armatura superiore el primo conensatore, si ha, per t = 0, q = 0 C. D' altra parte, inicano con * (t) il potenziale ello strato metallico, si ha * (t) = 0 q. Da queste 3 relazioni segue * (0) = 0 ( C C ) = C 0 =05.6 * (t = 0) q Inicano con q 2 la carica sull' armatura superiore el secono conensatore, la carica totale sullo strato metallico sarà Q=q 2 -q =C 2 * (t)- (0- * (t))=( +C 2 ) * (t)- 0. Per t 0 si ha -Q = ( +C 2 ) * =i con i = * * = * ( ) ===>* (t) = * (0)e t/τ τ=( )= s q (t) C = C ' (t ) = (0) e t / τ = 47.5 b) E= * i = *2 t 2 E = ' 2 (0) 0 e 2t/τ *2 (0) = e 2t/ τ = 2 (0) τ 2 ( e 2t 2 / τ ) = J c) Il lavoro compiuto al generatore per t 0 può essere calcolato con il prootto 0 [q ( )-q (0)] q ( )= [ 0 - ( )]= 0 q (0)= [ 0 - (0)]= 0 [-(-C/ )]= C 2 (0) L = 0 [ 0 C 2 + C 0 ] = J 2 Questo risultato può anche essere trovato come: C L = C effetto Joule t 0 energia finale con energiaa t=0 elsist ^ lato argentato C 3. uno specchio eformante è formato a una lente piano-concava i vetro, la cui faccia curva è argentata. apeno che il raggio i curvatura ella faccia concava è =75 cm e che l' inice i rifrazione el vetro è n=.50 a) calcolare la istanza el fuoco i questo sistema ottico al vertice ello specchio;

6 b) costruire geometricamente l' immagine i un oggetto che si trova sull' asse ottico ello specchio. (isolvere il problema consierano trascurabili la istanza tra il vertice ello specchio e la faccia piana). curvatura infinito) f + n /2 = n r (il segno meno inica che il fuoco è virtuale) ^ F B oluzione: Consieriamo un fascio i raggi paralleli all' asse ottico. Quano entrano nel vetro non sono eviati. Perciò, opo la riflessione ello specchio i loro prolungamenti passeranno per il fuoco ello specchio, che è il punto B a istanza /2 al vertice. I raggi riflessi vengono ulteriormente eviati alla superficie piana i separazione vetro-aria che trasforma il fascio i raggi uscenti a B in un fascio proveniente a F, la cui istanza f al vertice si può ottenere applicano la equazione el iottro a questa superficie (che ha raggio i = 0 f = = 25 cm cioè 2n l' immagine P' i P. L' immagine è virtuale, ritta e rimpicciolita. P' F Per costruire l' immagine i un punto P si consierano ue raggi uno parallelo all' asse ottico, l' altro passante per. Il primo viene riflesso in un raggio il cui prolungamento passa per il fuoco; il secono viene riflesso con angolo i riflessione uguale a quello i incienza. L' intersezione ei prolungamenti i questi raggi è POA CITTA DI FIICA GENEALE II PE TUDENTI DI FIICA 7/2/995

7 H h 3) Una lente biconvessa i vetro (inice i rifrazione relativo all'aria n =,5) con raggi =0 cm è appoggiata sulla superficie superiore i un recipiente (avente altezza H= 20 cm) parzialmente riempito a un liquio trasparente avente inice i rifrazione n 2 =.3 e altezza h= 5 cm. Un fascio i luce parallelo avente una sezione normale circolare i iametro = 2 cm incie verticalmente sulla lente (vei figura). i calcoli il raggio c ella sezione normale el fascio luminoso quano esso raggiunge il fono el recipiente. H i h b /2 i r f oluzione: f = (n ) 2 f = 0 cm tan i = / 2 = 0. f i = 5.7 a = (H h)tani a = 0.5 cm sin r = sin i n 2 sin r =.076 r = 4.38 c b = a tan r a=.038 c=/2 -a-b c = 0.46

8 III UNIEITA' DI OMA II prova i esonero i FIICA GENEALE II ) Un solenoie i lunghezza l = 2 m è costruito avvolgeno, su un cilinro i raggio r= cm, un filo lungo 64.8 m avente sezione mm 2 e resistività ρ = 3.09*0-7 Ωm in moo a formare 000 spire. Tale solenoie è collegato a una pila i f.e.m. f=0 e i resistenza interna r i = 5 Ω. All' interno el solenoie si trova una sbarra i ferro ello stesso iametro e i permeabilità magnetica relativa µ r = 500 (supposta costante), avente un estremo all' interno el solenoie e l' altro estremo all' esterno. Tale sbarra viene estratta al solenoie con velocità costante v = 50 cm/sec. i calcoli la corrente che fluisce nel circuito giustificano il fatto che essa è costante urante il movimento ella sbarra. i tratti la parte vuota e quella piena el solenoie come ue solenoii inefiniti ia x la lunghezza ella parte i solenoie ancora occupata alla sbarra, e (l-x) la lunghezza i quella nella quale c' è ormai vuoto (l= lunghezza totale el solenoie). Il flusso i B concatenato con il solenoie sarà: =ρ l s Li = π 4 2 in 2 µ 0 (µ r x + l x) = π 4 2 in 2 µ 0 [x(µ r ) + l] v = x, quini Φ = i L = π 4 2 in 2 µ 0 (µ r )v f Φ L' equazione el circuito è: = ( + r i )i ovvero f = i L + ( + r i)i e poichè L f = costante la corrente i è costante a cui i = (( + r i ) + L =??? A ) 2) Un isco i rame (resistività ρ=, Ω.m) i raggio = 20 cm e spessore δ = 0 mm è isposto con il suo asse parallelo alle linee i forza i un vettore inuzione magnetica uniforme e variabile nel tempo con la legge B(t)= A cos(ωt) con A costante = Wb/m 2 e ω = 00 s -. Quanto calore occorrerebbe sottrarre al isco ogni secono per mantenere la sua temperatura invariata? oluzione:

9 W = T r r w = πa2 δ 4 ω 2 8ρ T ulla spira i raggio r e spessore r si ha: f i (x) = Φ(B) B = πr 2 = πr 2 Aωcos(ωt). La corrente che passa nella spira nel tempo vale: i = f 2 i (x) = πr Aδ r ωcos(ωt). ρ2πr Per la potenza si ha: w = i f i (x) = πa2 δr 3 r ωcos(ωt). 2ρ cos2 (ωt) = W POA CITTA DI FIICA GENEALE II 3/0/994 3). Tre sorgenti luminose coerenti e puntiformi emettono luce monocromatica i lunghezza ' ona λ = 6000 Å con la stessa potenza e sono allineate su una retta, a istanza δ una all' altra. i raccoglie la luce emessa su uno schermo a istanza D = 200 m alle sorgenti (cfr. fig.), con D >> δ. Determinare il minimo valore i δ iverso a zero affinchè si osservi un massimo ell' intensità luminosa nel punto P ello schermo che giace sull' asse el segmento che unisce le sorgenti. i etermini il rapporto tra il valore ell' intensità massima e quello ell' intensità luminosa prootta nello stesso punto ello schermo a una sola elle sorgenti. oluzione: Deve essere: = k λ (k=) con = L - D λ= D 2 +δ 2 D = D + δ 2 D( + δ 2 ) = δ 2 D 2 2D 2 2D 2 Quini: a cui I = (3E)2 = 9 I E 2 δ D δ δ P 2Dλ.55 mm

10 FIICA GENEALE II A.A compito i esonero per Fisici P P' 25 cm v ) Una lente sottile biconvessa è costruita con ue calotte i una sfera i materiale i inice i rifrazione n =.55. Essa è posta su uno specchio piano. a) Quale eve essere il raggio ella sfera, affinchè un oggetto posto sull' asse ella lente a 25 cm a essa, abbia l' immagine sovrapposta a se stesso? b) e la calotta inferiore viene asportata, così a ottenere una lente piano-convessa, ove occorre spostare l' oggetto affinchè l' immagine continui a essergli sovrapposta? oluzione: a) Perchè l' immagine ell' oggetto sia sovrapposta all' oggetto stesso i raggi uscenti alla lente evono essere paralleli tra i loro e perpenicolari allo specchio; l' oggetto eve quini trovarsi nel fuoco ella lente. f = 25 cm Poichè: e r = - r 2 = sarà: = 2 f (n-) = 27.5 cm b) L L2 2) Un classico interferometro D per la misura i inici i rifrazione i sostanze gassose è mostrato nella figura, in cui è una sorgente i luce monocromatica i lunghezza ' ona nel vuoto λ 0 = 5890 Ä, L e L 2 ue contenitori cilinrici trasparenti uguali, ciascuno i lunghezza l = 0 cm, e D un iaframma a ue feniture sottili. Quano il primo tubo (L ) è riempito i aria (n =,000277) e il secono (L 2 ) è riempito i ammoniaca, sullo schermo si forma un sistema i frange i interferenza che è spostato i un numero N = 7 frange rispetto al caso in cui entrambi i contenitori cilinrici sono riempiti i aria. Calcolare l' inice i rifrazione n 2 ell'ammoniaca

11 oluzione: =k 2 l k l = 2π λ 2 l 2π λ l = 2π λ 0 l(n 2 n ) (esseno =N2πr n 2 = n + Nλ 0 l λ 2 = λ 0 λ = λ 0 n 2 e n ) (spostamento elle frange) = =