ESERCIZI SVOLTI DI FLUIDODINAMICA Parte 3: Equazione di Bernoulli Versione 1.0

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1 Moulo i Elementi i Fluioinamica Corso i Laurea in Ingegneria ei Materiali/Meccanica AA 00/005 Ing Paola CINNELLA ESERCIZI SVOLTI I FLUIOINAMICA Parte 3: Equazione i Bernoulli Versione 10 Esercizio 1 Si consieri un serbatoio otato i un apertura circolare i iametro Si vuole confrontare la portata uscente al serbatoio nel caso in cui sia presente la sola apertura e nel caso in cui quest ultima sia collegata a un tubo verticale i lunghezza L (veere la figura 1) Si consieri il fluio come ieale 1 eterminare nei ue casi la velocità el liquio a una istanza verticale L all uscita el serbatoio, posto che il pelo libero el serbatoio sia posto a un altezza h rispetto al fono Trascurare l abbassamento el pelo libero con lo svuotamento Qual è la velocità el liquio nella sezione i uscita el serbatoio nei ue casi? 3 eurne la portata uscente nell uno e nell altro caso Qual è il ispositivo più efficace? Qual è la lunghezza massima che può avere il tubo i uscita senza che si prouca cavitazione? Quanto vale la portata per tale valore? ATI : h = 5 m ; = 0 cm ; pressione i vapore el liquio a 0 C =,3 kpa h L - figura 1 1 Applichiamo l equazione i Bernoulli a una traiettoria che va a un punto A situato vicino al pelo libero el serbatoio a un punto L situato verticalmente al i sotto ell apertura, a una istanza L a questa Caso 1: pa VA pl VL + + g( H + L) = + (1) ρ ρ In questa espressione, p A =p L =p atm, e V A 0 Se ne euce che ( ) V = g H + L L 1

2 Caso L equazione i Bernoulli scritta tra il pelo libero el serbatoio e un punto L all uscita el tubo si scrive esattamente come prima (1) e si ha ancora p A =p L =p atm Ne euciamo che le ue velocità sono ientiche Stavolta scriviamo l equazione i Bernoulli tra un punto prossimo al pelo libero e un punto B situato nella sezione i uscita el serbatoio Caso 1 pa VA pu VU + + g( H + L) = + + gl () ρ ρ ove p A =p U =p atm, e V A 0 Ne euciamo che VL = gh Caso L equazione i Bernoulli non cambia, ma stavolta il punto U non si trova a pressione atmosferica Infatti, per l equazione i continuità, nel conotto la velocità eve essere costante, ato che il fluio è incomprimibile e la sezione è costante Si ha unque V U = V L ove V L è stata calcolata preceente mente La velocità i efflusso al serbatoio è unque maggiore nel caso 3 Le portate i efflusso nei ue casi sono Q1 = π gh; Q = π g H + L Il ispositivo più efficace è unque il secono ( ) Applichiamo l equazione i Bernoulli tra l ingresso e l uscita el conotto Troviamo: pu VU pl VL + + gl = + (3) ρ ρ ove V U = V L, a cui pu = pl ρgl = patm ρgl La sezione i ingresso el conotto è unque a rischio i cavitazione Si ha incipiente cavitazione se la pressione el punto U uguaglia la pressione i vapore ell acqua alla temperatura i esercizio el sistema (supposta pari a 0 ) Posto che la pressione atmosferica sia pari a 1bar, la lughezza massima el tubo prima che sia abbia cavitazione si ottiene poneno: ( patm pvap ) pu = patm ρgl= pvap L= =996 m ρ g In questo caso la portata vale: Q = π g( H + L) =0538 m 3 Esercizio Il ispositivo rappresentato in A figura eve isperere una miscela,5 mm acqua e i insetticia La portata i acqua insetticia eve essere pari a Q i = 75 mlmin -1 mentre la portata acqua è Q a = lmin -1 Calcolare, in tali conizioni, il 15 cm 0, mm valore ella pressione nel punto A e il insetticia iametro el ispositivo acqua + insetticia

3 Applichiamo l equazione i Bernoulli tra un punto I situato nel conotto i estrazione ell insetticia, all altezza el pelo libero, e il punto A: pa VA pi VI + + gh = + ρ ρ ove H rappresenta la istanza tra il peo libero el serbatoio e il punto A Nell ipotesi che l insetticia nel serbatoio sia praticamente in quiete, V I 0 e l istribuzione elle pressioni è irostatica, per cui la pressione p I uguagli la pressione el pelo libero, ovvero quella atmosferica La velocità ell insetticia nel punto A, all uscita el conotto i estrazione, può essere eotta alla portata i insetticia e ai ati geometrici el conotto: Qi = VA, iπ V A,i =995 m/s Pertanto, la pressione relativa el punto A è: p A =-095 bar Calcoliamo la portata che fluisce attraverso il ispositivo La portata uscente a quest ultimo è la somma ella portata i acqua più quella ell insetticia La velocità ella miscela all uscita el ispositivo può essere ricavata alla relazione: u Qi + Qa = Vπ u V u =138 m/s Se aesso applichiamo l equazione i Bernoulli alla traiettoria i una particella acqua che si sposta a un punto subito a monte i A (ove il fluio che scorre nel ispositivo è solo acqua all uscita, abbiamo: p A VAa, pu Vu + = +, ρ ρ e a questa possiamo ricavare la velocità ell acqua subito a monte el punto A: V A,a =170 m/s Nota tale velocità, possiamo finalmente calcolare il iametro alla relazione: Qa = VA, aπ =3mm Esercizio 3 Un tubo i Pitot viene immerso in un fluio che scorre con velocità v Se tale fluio è aria e il liquio manometrico contenuto nel tubo è acqua, eterminare la velocità el fluio quano la ifferenza i altezza el liquio manometrico è h=065 cm (Per la ensità ell'aria usare ρ aria =19 kg/m³) Applichiamo l'equazione i Bernoulli ai punti a e b (veere figura), ove b si suppone sia il punto i arresto el fluio e ρ la sua ensità: 3

4 el resto, se h è la ifferenza i altezza el liquio nei ue rami el manometro e ρ la sua ensità, possiamo scrivere: Confrontano le ue equazioni, si ricava per la velocità ell'aria l'espressione: Sostitueno i relativi valori elle ensità, ell'altezza e ell'accelerazione i gravità, si trova infine il valore cercato ella velocità: v=031 m/s Esercizio Nell ipotesi i liquio perfetto (γ=885 N/m 3 ), calcolare la portata Q el sifone in figura Iniviuare inoltre il massimo valore ella portata scaricabile al sifone, al variare ella quota ella sezione i sbocco ati: h=m, iametro el sifone:=0075m, H=3m 1 Applichiamo innanzi tutto l equazione i Bernoulli tra il pelo libero el serbatoio (punto A) e la sezione i uscita (punto S) In ambo i punti regna la pressione ambiente (pressione relativa nulla) Avremo unque: p A V A ps VS + + za = + + zs γ g γ g ove abbiamo assunto il pelo libero el serbatoio come quota i riferimento (z A =0) e ove z s =- H Se ne ricava una velocità i efflusso pari a: VS = gh = 767 m/s e unque una portata scaricata pari a: Q= VSπ = 339 l/s

5 Consieriamo aesso che la quota H ello scarico el sifone rispetto al pelo libero el serbatoio possa variare ato che VS = gh, ci aspettiamo che all aumentare i H aumenti la velocità i efflusso e unque la portata scaricata La quota H non può tuttavia essere aumentata inefinitamente Infatti la pressione assoluta nel punto più alta el serbatoio, ata a (applicano Bernoulli tra il punto M e il punto S e teneno conto che, per la conservazione ella portata, V S =V M ): pm = pa γ ( H + h) non può ivenire negativa Il massimo valore ammissibile i H sarà unque quello per cui nel punto M la pressione si annulla: p a Hmax = a = 97 m, γ ove si è assunto p a =pressione ambiente=1 atm Noto H max possiamo calcolare la portata corrisponente: Qmax = ghmaxπ = 60 l/s In realtà, il massimo valore ammissibile a quello trovato: infatti a partire al momento in cui la pressione p M uguaglia la tensione i vapore ell acqua alla temperatura i esercizio insorgeranno fenomeni i cavitazione (vaporizzazione ell acqua) che limiteranno ulteriormente la possibilità i abbassare la sezione i sbocco el sifone 5