Moto Monodimensionale in Condotti. Esercizi

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1 Moto Monodimensionale in Condotti Fluido Comprimibile Esercizi 2D axisymmetric, ideally contoured nozzle upon startup. Moti Monodimensionali - Applicazioni 1

2 2 Esercizio 1 Un ugello convergente e collegato ad un grosso contenitore contenente aria a 400 kpa e 300 K. Se la contropressione P b e kpa e la sezione di ingresso e uscita sono rispettivamente A 1 = 200 cm 2 e A 2 = 70 cm 2, trovare la forza esercitata dall aria sull ugello. Per trovare la forza esercitata dall aria (-R) sull ugello va scritta l equazione di bilancio della quantita di moto. T 0 = 300 K P 0 = 400 kpa A 1 A 2 Devono essere quindi trovati I vari termini dell equazione. - Prima di tutto verifichiamo se l ugello si trova in condizioni di critiche (o choked, sonico in gola). Il rapporto tra le pressioni e P b /P 0 = , che e minore del valore critico P*/P 0 = Di conseguenza l ugello e in condizioni di choking, ovvero Mach 2 = Mach* = 1. - La pressione in 2 e quella critica (poi passata la sezione di uscita ci saranno dei ventagli di espansion per riportare la pressione alle condizioni esterne) e equivale alla pressione critica, ovvero P 2 = P* = P 0 = kpa (> P b ) - Anche la temperatura in 2 e quella critica, ovvero T2 = T* = T0 = 250K

3 3 - Dalla temperatura statica trovo la velocita del suono a 2, che equivale alla velocita V 2 dato che Mach 2 = 1 - Dalla temperatura e pressione statiche, attraverso la legge dei gas perfetti utilizzando I valori per l aria, trovo la densita in 2. Abbiamo quindi ottenuto tutti i valori necessari in 2 - Per trovare il Mach in ingresso, utilizzo le relazioni tra l area locale e quella di gola (fornita dalle tabelle o secondo la formula): A 1 /A 2 = A 1 /A* = f(mach 1 ) = Con questo valore entro nelle tabelle e trovo Mach 1. - In corrispondenza di questo numero di Mach trovo tutti i rapporti tra le grandezze locali (1 in questo caso) e quelle critiche (* = 2 in questo caso). Dato che si conoscono tutti I valori nella sezione critica, ovvero in 2, si possono ricavare le grandezze in 1 (p 1, T 1 ) e di conseguenza V 1 e ρ 1.

4 4 Esercizio 2 Aria espande da un largo serbatoio con T 0 = 35 C e P 0 = 500 kpa lungo un condotto convergentedivergente in modo adiabatico senza attrito. Un urto normale avviene nel punto del condotto dove Mach = 2.5. a) Trovate tressione e temperatura a valle dell urto b) Se il flusso viene scaricato in un largo serbatioi, trovare pressione e Temperatura del serbatoio. c) Quanto vale il numero di Mach in una sezione a valle dell urto volte piu grande della sezione in cui avviene l urto? (A 3 = 2A shock ) T 0 = 35 C P 0 = 500 kpa Mach 1 T 0? P 0? A shock

5 5 - Il flusso a monte dell urto puo essere considerato isentropico quindi la temperatura totale e pressione totale rimangono costanti dal serbatoio fino alla sezione prima dell urto. Si possono usare quindi le relazioni isentropiche per conoscere la pressione e temperatura a monte dell urto. Per Mach 2 = 2.5 P 01 /P 1 = ; T 01 /T 1 = 2.25 Si possono quindi ricavare P1 e T1. - Adesso consideriamo le variazioni attraverso l urto, prendendo in considerazione le relazioni per urto retto. Per Mach 1 = 2.5 dalle tabelle degli urti retti si ottiene Mach 2 e le relazioni tra le grandezze in 1 e quelle in 2 (NB: T 0 rimane costante attraverso l urto). - A valle dell urto il flusso nel rimanente tratto di condotto divergente e nuovamente isentropico, quindi si considerano di nuovo le relazioni isentropiche. La pressione totale e la temperatura totale quindi non variano dalla sezione 2 (a valle dell urto) al serbatoio. Quindi la pressione totale e temperatura totale nel serbatoio sono quelle trovate in 2. - Per trovare Mach 3 dovrei sapere la relazione A 3 /A* e con quella entrare nelle tabelle e trovare Mach 3. Dalle tabelle in corrispondenza del Mach 2 (a valle dell urto) ottengo la relazione A 2 /A*. Conosco inoltre dai dati A 3 /A 2 = 2 quindi ricavo A 3 /A* Tabelle rel. isentropiche Mach 3

6 6 Esercizio 3 Aria in condizioni standar viene fatta passare in un convergente senza attrivo ad un condotto a sezione costante con attrito f = Il condotto ha lunghezza L = 2 m e diametro D = 0.1 m. a) qual e la portata massima attraverso il tubo? b) In corrispondenza di questa portata massima, determinare la temperatura statica, pressione statica, T0, P0 in ingresso (1) e in uscita (2) c) Se il condotto viene accorciato del 50% ma la contropressione rimane quella del caso precedente, cosa succede alla portata? T 0 = 288 K P 0 = kpa L = 2 m D = 0.1 m

7 7 Esercizio 4 Aria da un largo serbatoio a P0 = 200 kpa e T0 = 30 C viene espansa attraverso un convergente. L aria poi fluisce in un condotto di diametro 25 mm. Se il numero di Mach all uscita dell ugello (1) e Mach1 = 0..2 e il Mach all uscita del condotto e Mach2 = 0.8, trovare la lunghezza del condotto e la pressione all uscita Trovare inoltre la pressione di scarico per cui avviene choking per la prima volta e il Mach 1 in quel caso (mantenendo le stesso condizioni totali nel serbatoio). Assumere f = T 0 = 30 C P 0 = 200 kpa L =? D = 25 mm

8 8 A) B) C) Esercizio 5 Un ugello convergente-divergente e seguito da un condotto con attrito a sezione costante lungo L = 3.5 m. All ingresso del condotto a sezione costante il numero di Mach e Mach 1 = 2 e la pressione P 1 = kpa. Il diametro del condotto e D = 0.3 m. A) Trovare il numero di Mach e la pressione in uscita al condotto (2) per cui non si verifica nessun urto. B) Trovare la pressione di scarico per cui si verifica un urto normale nella sezione di uscita 2. C) Trovare la pressione di scarico per cui si verifica un urto retto a meta del condotto. Mach 1 = 2 P 1 = 101.3kPa Urto retto Urto retto

9 9 Esercizio 6 Un ugello convergente-divergente e seguito da un condotto con attrito (f = 0.005) a sezione costante (diametro D) di lunghezza L = 15D. Il rapporto tra le aree di uscita e di gola del divergente e A 2 /A 1 = 3. Nel serbatoio la pressione totale e P 0 = 100 kpa e T 0 = 500 R. Nel condotto a sezione costante avviene un urto a distanza 3D dall uscita del divergente. Trovare la contropressione che giustifica tale condizione. T 0 = 500 R P 0 = 100 kpa D Urto retto 12D 4