Fluidodinamica applicata Esercizi Proposti (Da Risolvere)

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1 MARTEDÌ ESERCIZI PROPOSTI 1) una parete verticale separa due invasi pieni d acqua. Noti i livelli dell acqua nei due invasi 1 ed, con 1 < e la densità ρ dell acqua, calcolare la forza per unità di lungezza ce viene esercitata sulla parete. 1 ) [Scema dirigibile] Un corpo di massa m e volume >V è sostenuto da un pallone sferico di raggio a riempito di elio. Note le densità ρ a dell aria e ρ He dell elio, noncé m e V, calcolare il raggio del pallone. [Nota: non considerare la massa dell involucro del pallone. Trattare aria ed elio come incompressibili]. Elio a aria Massa m Volume V Politecnico di Torino Pagina 08

2 3) Per quale valore di si ribalterà il sistema? Sono noti a e ρ. [SCHAUM.33] 0 a 4) Si consideri il sistema illustrato in figura (a sinistra). Si misura. Il tubo in basso viene connesso ad un condotto d aria di cui si vuole conoscere la pressione. Si misura <. Noti ed noncé lo spessore δ della tazza (cilindrica) capovolta e la densità ρ del liquido ce riempie la bacinella, calcolare la pressione dell aria nel condotto. (R) δ [SCHAUM.35]. ρ ρ Condotto aria Politecnico di Torino Pagina 09

3 5) Il serbatoio di figura, inizialmente vuoto, viene lentamente riempito d acqua versandola dall apertura. Nota: la densità ρ dell acqua, noncé ed, calcolare il livello 1 dell acqua nella colonna in cui è rimasta intrappolata l aria. aria 1 acqua 6) Note le seguenti grandezze: ρ 1, ρ ( ρ > ρ 1 ) d 1, d K (rigidezza della molla) Calcolare qual è stato l accorciamento della molla. Molla di rigidezza K d d 1 ρ 1 ρ Politecnico di Torino Pagina 10

4 7) Una parete separa due vasce contenenti entrambe acqua. Noti i livelli 1 ed dell acqua nelle due vasce e la densità ρ dell acqua, calcolare la forza ce viene esercitata sulla parete. 1 8) Calcolare la forza agente sulla superficie curva del serbatoio, nota la geometria del serbatoio (R, l) e la densità ρ del liquido). R R l Politecnico di Torino Pagina 11

5 8) Si vuole determinare la densità di un liquido ignoto operando nel seguente modo: Si prende un asta di polistirene, di massa m e sezione A e la si immerge in acqua prima e nel liquido incognito poi. In entrambe i casi l asta è parzialmente immersa, e si misurano le altezze 1 ed delle parti immerse. Nota m, l, 1, e la densità ρ 0 dell acqua, calcolare la densità ρ del liquido incognito. 1 liquido acqua incognito area sezione A SABATO ESERCIZI PROPOSTI 1) Si consideri il moto di un fluido descritto, in un opportuno riferimento cartesiano, da x x x 1 3 = X e 1 = X = X 3 t + t (le grandezze sono state adimensionalizzate). Calcolare: a) il campo di velocità euleriano (spaziale) u = ( x, t) b) le linee di corrente c) è il flusso incompressibile? d) è il flusso irrotazionale? e) l accelerazione in forma euleriana. ) Il campo di velocità di un fluido è descritto, in un riferimento cartesiano, da u u u 1 3 = u = v = cos ( kx αt) 1 Politecnico di Torino Pagina 1

6 dove u 0, v 0, k, α sono costanti positive. Calcolare: a) le linee di corrente per t = 0 b) le traiettorie del fluido c) si confrontino la linea di corrente ce (per t = 0) attraversa l origine e la traiettoria della particella ce parte dall origine nei due casi limite α = 0 e k = 0 d) è il flusso incompressibile? È irrotazionale? e) l accelerazione in forma euleriana. 3) Con riferimento alla figura, note le densità ρ 1 e ρ dei due liquidi (ρ > ρ 1 ) ed l e, calcolare il livello del liquido nel serbatoio. ρ 1 l ρ 4) Con riferimento alla figura, note le densità ρ 1 e ρ (questa volta ρ < ρ 1 ) noncé Α e Β ( Α Β ), calcolare la forza F. (Il pistone a massa trascurabile). A B ρ 1 ρ Politecnico di Torino Pagina 13

7 MARTEDI ESERCIZI PROPOSTI 1) Con riferimento all esercizio ( il tubo ad U ), come cambia l equazione per il dislivello del liquido se i due rami del tubo sono connessi a due ambienti con pressione p A (t) e p B (t) variabili (e diverse)? p A (t) p B (t) ) Ripetere l esercizio nel caso i due rami del tubo abbiano sezioni diverse. E noto ance R. [Scrivere soltanto le equazioni; non introdurre δ(t), ma lasciare come variabile x A (t) ed x B (t)]. Tappo ce si toglie a t=0 area della area della sezione = A sezione = A R 3) Il getto ce esce dal rubinetto finisce in un recipiente cilindrico da cui l acqua tracima. Calcolare, nelle ipotesi di fluido ideale incompressibile: Il raggio del getto (considerare moto quasi unidimensionale) La forza esercitata sul recipiente. [Sono noti tutti i parametri ce appaiono in figura: Q, R, H,, a]. Politecnico di Torino Pagina 14

8 Portata Q rubinetto raggio R H raggio a 4) Il manometro permette di conoscere la pressione nel punto A. Nelle ipotesi di fluido ideale incompressibile e moto quasi unidimensionale, calcolare la forza ce viene esercitata sul gomito. Sono noti: D, R, p A, ρ. manometro A gomito Diametro D R g Politecnico di Torino Pagina 15

9 5) Calcolare la portata ce deve passare nel tubo affincé la pressione dell aria nella camera sia p A =ε p a (p a = pressione atmosferica), ε <1. Sono noti, D, α < 1, ε <1. acqua α < 1 αd aria a p A D 6) l Sezione di area A; A 1 << l 1 Volume V di liquido nel tubo a = ae 1 : accelerazione costante del carrello Ce espressione a il Teorema di Bernoulli (flusso irrotazionale) nel sistema di riferimento solidale al carrello? Ricavare l equazione ce descrive il dislivello fra i due rami del tubo (dislivello medio fra i punti degli assi ; se A << si possono trascurare nel calcolo le differenze Politecnico di Torino Pagina 16 1 di questa nella superficie di ogni ramo), e risolverla sapendo ce per t = 0 non c è dislivello ed il liquido è fermo. 7) Studiare qualitativamente il moto piano descritto dal potenziale complesso f (z) = z 3

10 MARTEDI ESERCIZI PROPOSTI 1) (Vortice di Rankine) x u θ x 1 a r Il moto (bidimensionale) di un fluido ideale è descritto da u u r θ = 0 Γ r π = a Γ r πa r a r > a in coordinate polari. Sia p la pressione a distanza infinita dal centro del vortice. u θ 1 u r Calcolare ω ω3 = in coordinate polari. r r θ Calcolare la pressione. Quanto vale la pressione al centro del vortice? ) Un canale bidimensionale infinito di altezza è riempito per metà di un fluido con viscosità µ 1 e per metà con un fluido di viscosità µ (Per fissare le idee, µ < µ 1 ). La parete superiore si muove con velocità U 0, quella inferiore è ferma. La pressione è uniforme. Calcolare le velocità nei due fluidi. U 0 fluido (µ ) fluido 1 (µ 1 ) Politecnico di Torino Pagina 17

11 3) Con ce velocità (U 0 ) bisogna trascinare l asta affincé la portata sia nulla? D d << D << L; trascurare la curvatura e considerare flusso di Couette Poiseuille pienamente sviluppato U 0 d D L 4) Valutare la portata ce esce dal condotto. Dati numerici: L = 10m D = 0,1m = 0,01m α = 10 Domanda: l ingresso nel condotto soddisfa l equazione di Bernoulli? α L D ρ m (mercurio) Politecnico di Torino Pagina 18

12 5) Condotto molto lungo orizzontale. Calcolare il livello 1 nel pozzo e la portata. Dati numerici: = 50 m L 1 = 000 m L =1000 m D = 4 m. 1 D L 1 L 6) Valutare la forza agente sullo stantuffo noti D, d, l, ν, U 0 [moto laminare]. l D d <<l U 0 6) Il dispositivo di figura giace in un piano orizzontale. [Lo stantuffo si sta muovendo a velocità costante]. [D >> d]. Nota la geometria del sistema (L, d, D 1, D ), la portata Q della pompa, la pressione p s del serbatoio misurata dal manometro 1 e la forza F, calcolare la pressione misurata dal manometro. Dati numerici: 5 ps 1,5 10 Nm L = m 6 ν olio = 1,5 10 m s ρ olio = 9 10 Kg m 3 1 = 1 3 [ ν = µ ρ] 4 Q = 3, 10 m d = cm D1 = 8cm D = 0cm s F = N Politecnico di Torino Pagina 19

13 F 1 L D 1 D serbatoio D d LUNEDI ESERCIZI PROPOSTI pa 1) Un ugello de Laval è costruito in modo tale ce = 0, 11 (p (0) a = pressione di p 0 4 adattamento: flusso supersonico isoentropico), ed a A u = 5,5 10 m². Viene usato per connettere un serbatoio infinito all ambiente esterno. 5 Il serbatoio a p 0 =,5 10 Pa, T 0 = 543 K e l ambiente esterno a p = 5 e 10 Pa. L VISTA NEL PIANO ORIZZONTALE pompa Calcolare: la velocità di fuoriuscita e la portata massica attraverso l ugello. ) Il serbatoio viene mantenuto a temperatura costante, pari a quella dell ambiente esterno. Calcolare la pressione nel serbatoio (tenere conto ce si sta svuotando) al variare del tempo. [l efflusso attraverso l ugello si può ritenere quasi stazionario. Considerare solo il periodo iniziale, in cui p serbatoio (t) è sufficientemente grande da far sì ce l ugello sia critico]. Dati ugello: A u = 1cm² Dati iniziali Serbatoio volume V 5 p = 3 10 Pa T 0 0 = T e = 300K A u Ambiente esterno 5 p = 3 10 Pa T e e = 300K Politecnico di Torino Pagina 0