ESERCIZI FISICA I Lezione

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1 ESERCIZI FISICA I Lezione Tutor: Alessandro Ursi alessandro.ursi@iaps.inaf.it ESERCIZIO 1 Due corpi di forme e volumi uguali, ma di sostanze diverse, sono disposti come in figura. La densità del corpo A è 3 volte la densità dell'acqua, mentre la densità del corpo B è 2.5 volte la densità dell'acqua. La situazione in figura è di equilibrio, perché una parte del corpo A è immersa in una bacinella riempita di acqua. 1.1 Calcolare la percentuale di corpo A immersa in acqua La condizione di equilibrio del sistema in figura è data dal bilanciamento delle forze peso dei due corpi e della spinta di Archimede esercitata dall'acqua sulla percentuale xv di volume del corpo A: m g = m g + xvρ g x = = = 0.5 Quindi il corpo A è immerso per metà in acqua.

2 ESERCIZIO 2 Una lancia da incendio disposta orizzontalmente ha sezione s0 = 30 cm 2 all'entrata dell'acqua e s = 4 cm 2 all'uscita. Il modulo della velocità dell'acqua all'entrata è v0 = 6 m/s. 2.1 Determinare il modulo della forza F necessaria per tenere ferma la lancia Dall'equazione della portata attraverso una sezione, avrò che all'entrata e all'uscita valgono: dm = ρs v dt dm = ρsvdt (entrata) (uscita) quindi il modulo della velocità di uscita sarà v = v. Le masse d'acqua che fluiscono all'interno della lancia e attraversano la sezione iniziale e la sezione finale hanno quantità di moto: dq = v dm dq = vdm (entrata) (uscita) Dal teorema dell'impulso: Fdt = dq dq Fdt = v v dm Fdt = v v ρs v dt F = 1 ρs v dt = 702 N

3 ESERCIZIO 3 Un corpo cilindrico di base S e altezza L = 0.5 m, pieno e omogeneo, viene appoggiato con una base sopra lo specchio d'acqua di uno stagno e da questa posizione, in quiete, viene lasciato libero di affondare: la densità del corpo ha valore ρ = 0.4ρ. 3.1 Determinare la massima profondità h raggiunta dalla base del cilindro rispetto alla posizione iniziale Prendendo un sistema di riferimento con asse y parallelo all'asse verticale del cilindro e centrato sul pelo dell'acqua, la spinta di Archimede sul volume di altezza incognita y sarà: F = ρ gsy Quando il corpo raggiunge la profondità massima h dal pelo dell'acqua, il lavoro compiuto dalla forza peso sarà equivalente al lavoro compiuto dalla spinta di Archimede, sullo stesso tratto h: W = W dy P = dy F mg dy = ρ gs dy y ρslgh = ρ gs h = " ~ 0.8L 3.2 Calcolare il periodo T delle oscillazioni a cui è soggetto il cilindro (trascurando attriti) Scrivo l'equazione del moto del cilindro, tenendo in considerazione le forze agenti su di esso: ma = mg F y = g " y y + " y = g

4 che è l'equazione differenziale del secondo ordine di un oscillatore armonico, la cui soluzione dà un periodo: T = 2π " = 0.9 s attorno ad una posizione di equilibrio y = ".

5 ESERCIZIO 4 Da un tubo fuoriesce orizzontalmente un getto d'acqua di sezione S = 2 cm 2 che colpisce una spugna appesa ad un filo. La spugna si impregna d'acqua fino al limite, arrivando ad acquistare una massa m = 2 kg, dopodiché l'acqua che la colpisce successivamente ricade verticalmente al suolo con continuità. Ad un certo punto il getto d'acqua orizzontale riesce a mantenere in equilibrio la spugna ad un angolo di α = rispetto alla verticale. 4.1 Calcolare la portata d'acqua necessaria a mantenere questa condizione di equilibrio Dall'equazione della portata ho: dm = ρ vsdt = ρ Pdt mentre la variazione di quantità di moto subita dalla spugna sarà (scrivendone le due equazioni): dq = vdm = dm dq = Fdt Fdt = dm Fdt = ρ Pdt da cui la forza con cui il getto d'acqua sposta la spugna dalla posizione di equilibrio verticale: F = ρ A questo punto scompongo le forza agenti sulla spugna (sistema analogo ad un pendolo con una forza esterna). x: F cos α mg sin α = 0 y: R mg cos α = 0

6 da cui la forza può essere espressa come: F = mg tan α Unendo questa equazione con quella trovata dalle considerazioni dinamiche: ρ = mg tan α P = "# "# = m /s

7 ESERCIZIO 5 Un rubinetto di sezione s0 = 1 cm 2 è inserito nel fondo di una grande cisterna aperta superiormente. Il livello dell'acqua nella cisterna è H = 4 m. Il getto d'acqua uscente dal rubinetto è diretto verticalmente verso il basso e non sono presenti attriti. 5.1 Determinare il modulo v0 della velocità di fuoriuscita del getto d'acqua dal rubinetto Essendo la cisterna d'acqua aperta superiormente, sul livello d'acqua alla base della cisterna sarà presente una pressione pari al peso della massa d'acqua di altezza H, sommata alla pressione atmosferica p0 agente sulla parte superiore della massa d'acqua: P = P + ρgh Dal teorema di Bernoulli ho che: P + ρv + ρgh = P + ρv + ρgh ρv = ρgh v = 2gH quindi P = P + ρv

8 v = = 2gH = 8.86 m/s 5.2 Determinare la sezione Sh del getto d'acqua dopo che questo è sceso verso il basso di un tratto h = 20 cm In un altro punto di altezza h, applicando sempre la legge di Bernoulli, ottengo: P + ρv + ρgh = P + ρv "# v "# = v + 2gh Dato che la portata si conserva: P = P "# s v = s "# v "# s "# = = m

9 ESERCIZIO 6 Un tubicino rigido di lunghezza l è vincolato a ruotare in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per un suo estremo. Nel tubicino scorre in continuazione acqua che fuoriesce dall'estremo libero con velocità u relativa al tubicino. La direzione di uscita del getto è orizzontale e perpendicolare al tubicino: la sezione del getto ha superfice S con dimensioni trascurabili rispetto alla lunghezza l. Inizialmente il tubicino è in quiete e il suo momento di inerzia (comprensivo dell'acqua contenuta) rispetto all'asse di rotazione è I. 6.1 Calcolare la velocità angolare del tubicino in funzione del tempo (trascurando attriti) La variazione di velocità angolare è legata alla variazione di momento angolare nel tempo del sistema: esprimo la variazione di momento angolare del sistema in due modi db = Idω db = ldq Cerco la variazione di quantità di moto, che sarà dq = vdm: dove v = u ωl e dm = ρsudt, quindi dq = ρsudt u ωl In questo modo ottengo: db = Idω db = ρsuldt u ωl Idω ρsuldt u ωl = 0 Noto che: " " ρslu + ρsul ω = 0

10 cioè l'equazione di un oscillatore armonico ω ρsul ω = ρslu Separando le variabili e integrando i membri e chiamando β = "#$, ottengo: dω " = β dt ω(t) = 1 e " ossia la velocità angolare è vincolata ad essere inferiore ad un valore limite.