Supponiamo di avere un oggetto immerso in un fluido (ad es. acqua) sottoposto alla gravità

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1 Supponiamo di avere un oggetto immerso in un fluido (ad es. acqua) sottoposto alla gravità Immaginiamo di sostituire l oggetto immerso nel fluido) con uno stesso volume di acqua. In tal caso le forze di pressione agenti sul volume di fluido saranno tali da equilibrare perfettamente la forza peso del volume di acqua (perché tutto deve essere in equilibrio). Se invece, al posto del volume di acqua, c è veramente un oggetto con differente densità, questo equilibrio non esisterà più.

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5 V= volume dell oggetto V = volume della parte immersa dell oggetto

6 V = volume immerso

7 si avrà una situazione di equilibrio quando:

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9 con caso di un oggetto di forma allungata (ellissoide di rotazione) (galleggiamento)

10 La spinta di Archimede è applicata al centro di massa del volume di fluido spostato, ovvero del volume di oggetto immerso nel fluido. si trattava di una posizione di equilibrio instabile

11 si trattava di una posizione di equilibrio stabile

12 Una nave deve essere progettata in modo che in condizioni di navigazione sia stabile!

13 problema del palloncino per bambini in un sistema non inerziale (autobus, metro, automibile)

14 analoghe relazioni valgono lungo x e y in un sistema di riferimento non inerziale Gz deve tenere conto sia delle forze esterne sia delle forze apparenti Consideriamo un carrello che scende su di un piano inclinato. Sul carrello ci sia una vasca piena di acqua. Finché il carrello è fermo, la superficie del liquido sarà orizzontale. Se si lascia andare il carrello, che forma assumerà la superficie (= il pelo libero) dell acqua?

15 consideriamo un carrello-vasca al cui interno ci sia una sostanza solida: il tutto si muoverà con accelerazione a data dalla componente di g tangenziale alla superficie del piano inclinato; un volumetto di sostanza dm sarà sottoposto alla forza indicata in viola (perché la componente normale al vincolo è annullata dallo stesso)

16 consideriamo ora un carrello-vasca al cui interno si sia una sostanza liquida: un volumetto di sostanza dm (che ora è liquida, quindi è libera di muoversi all interno del carrello) risentirà (nel sistema di riferimento costituito dal carrello) di una forza apparente (in azzurro) uguale e contraria alla forza indicata in viola nella figura precedente

17 quindi: le linee di forza sono perpendicolari alla superficie del piano inclinato le superfici equipotenziali sono piani paralleli al piano inclinato le superfici isobare sono piani paralleli al piano inclinato Siccome il pelo libero del liquido è una superficie isobara (alla pressione p=patm), anche il pelo libero del liquido sarà un piano parallelo al piano inclinato! se volessi, potrei applicare la legge di Stevin, però: 1) le profondità vanno misurate lungo la perpendicolare al piano inclinato 2) al posto di g devo usare g =g cosθ

18 Si noti che, se mettessimo un pendolo nel carrello, sarebbe in equilibrio non quando il filo è in verticale, ma quando il filo è disposto lungo le linee di forza (cioè perpendicolare al piano inclinato) anche qui, per esempio per calcolare il periodo, bisogna usare g =g cos θ al posto di g (basta ripetere lo stesso ragionamento fatto prima!)

19 il legame tra i due campi è

20 se il campo è conservativo ad esempio nel campo della forza di gravità locale:

21 Definiamo (U è una sorta di energia potenziale per unità di massa) Si noti che U è una grandezza fisica scalare come Ep

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23 in generale, se ρ è costante, le superfici isobare coincidono con le superfici equipotenziali

24 applicazione: velocità angolare costante nel tempo ( coordinate cilindriche ) Vogliamo capire quale forma assumerà la superficie dell acqua in condizioni di equilibrio (cioè quando nel sistema di riferimento rotante assieme al cilindro l acqua sarà ferma). In tali condizioni, nel sistema del laboratorio l acqua ruoterà tutta con la stessa velocità angolare del cilindro. Volendo realizzare praticamente questo esperimento, occorre aspettare un po, dopo aver messo in movimento il cilindro, perché tale rotazione venga trasmessa all acqua (transitorio iniziale, in cui il liquido non è in equilibrio).

25 essendo noi interessati ad una situazione di equilibrio, in cui l acqua è ferma nel sistema rotante (v =0), la forza di Coriolis vale 0. la forza/accelerazione centrifuga è quindi del tutto equivalente ad una forza elastica bidimensionale con costante di proporzionalità positiva anziché negativa: Hooke: centrifuga

26 dal punto di vista dell energia potenziale, possiamo associare quindi un energia potenziale tipo oscillatore armonico ma con segno opposto: oscillatore armonico centrifuga

27 (gravità e centrifuga) andiamo a calcolare che equazione contraddistingue le superfici isobare/equipotenziali nel sistema rotante:

28 se vogliamo capire che forma assumono le superfici isobare (e quindi e il pelo libero dell acqua), dobbiamo ricavare z dalla precedente equazione

29 VARIAZIONE DELLA PRESSIONE ATMOSFERICA CON L ALTITUDINE si parte dalla: essendo la dens. non è costante: bisogna cambiare strategia

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31 riprendiamo l equazione differenziale: g lo supponiamo costante in tutta l atmosfera la densità dipende dalla pressione e quindi da z

32 equazione differenziale del I ordine a variabili separabili

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34 ha le dimensioni di una lunghezza

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