Decima esercitazione

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1 Decima esercitazione ) Quali sono le ipotesi su cui si basa la teoria cinetica dei gas? Come viene definita e quanto vale la costante di Boltzman? quale temperatura bisogna portare un gas inizialmente a 0 o C, perchè la velocità media delle molecole raddoppi? is.: T f = 09 K = 89 o C ) 0. moli di gas perfetto monoatomico compiono la trasformazione indicata in figura. Calcolare: a) le temperature T, T B e T C b) il lavoro totale compiuto L C is.: T = T B = 44 K,T C = 95 K; L = 500 J 3) 3 l di elio alla pressione di 5 atm si trovano alla temperatura iniziale di 549 K. Il gas viene fatto espandere a pressione costante fino al volume di 6 l e successivamente raffreddato a volume costante fino a tornare al valore iniziale di temperatura. a) Quanto vale la pressione finale? b) Descrivere la trasformazione sopra indicata nel piano PV. c) Di quanto è cambiata in percentuale la velocità media di traslazione delle molecole nell intera trasformazione? d) Quanto lavoro è stato compiuto in totale dal gas? is.: P fin = 7.5 atm; < v >= 0; L gas = J 4) Un tubo di sezione dm, alto m è chiuso superiormente da un pistone a tenuta perfettamente scorrevole e di massa trascurabile, mentre l estremo inferiore è aperto e pesca per 0 cm in una vasca piena d acqua. Il sistema si trova a 37 o C. ll inizio il pistone si trova all estremità superiore del tubo ed il livello dell acqua del tubo è uguale a quello dell acqua nel recipiente. a) Quanto vale il volume occupato dall aria ed il numero di moli di aria L contenute nel tubo? Se ad un certo punto si mette un peso sopra il pistone, questo si abbassa e anche l acqua nel tubo scende nel tubo (vedi figura) fino ad una profondità P h di 8 cm al di sotto del pelo libero dell acqua nel recipiente. b) Quanto vale la pressione assoluta esercitata dal gas? c) Quanto vale in queste condizioni il volume occupato dal gas (la temperatura rimane costante)? is.: V = 8 l; n = 0.7 moli; P = P a; V fin = 7.86 l 5) In una giornata d inverno viene presa dentro casa e scaldata fino a 0 o C l aria esterna che si trova a 0 o C e che ha un umidità relativa del 00%. Qual è l umidità relativa dell aria nella casa? (Dati: P vap.sat 0 o C = 4.58 mmhg; P vap.sat 0 o C = 7.55 mmhg) is.: u.r. = 6.%

2 Verifica () F.) Come è definito (in generale) il lavoro di una forza? Come si definisce l energia potenziale in termini di lavoro e per quali forze si può definire? Fare un esempio di forze per cui non abbia senso definire l energia potenziale. Scrivere l espressione delle energie potenziali della forza peso e di quelle gravitazionale, coulombiana ed elastica. Calcolare il lavoro necessario per comprimere di cm una molla di costante elastica K = 00 N/m. is.: L = fin in F cos θdx; U = L per forze conservative, per cui cioè il lavoro non dipende dal percorso. Non si può definire per forze in cui il lavoro dipenda dal percorso, come ad esempio quelle di attrito. U peso = mg(h h 0 ); U el = k( x) ; U grav = G Mm U coul = qq ; L 4πɛ 0 molla = U el = (U fin U in ) = k( X fin) ; L esterno = L molla = J F.) Cosa afferma il teorema dell energia cinetica ( delle forze vive)? Un automobile (di massa 300 kg) viaggia ad una velocità di 80 km/h. Quanto vale la sua energia cinetica iniziale? Quanto lavoro (e di che segno) è necessario compiere per ridurre la sua velocità del 5%? is.: Il teorema dell energia cinetica afferma se si compie lavoro su un corpo la sua energia cinetica varia di E cin = L, dove E cin = mv. Ecin in = mv = 30 kj. Se v fin = ( 0.5)v in = 0.75v fin allora E fin cin = (0.75) Ecin in = 0.56Ecin in = 80 kj, quindi L = E cin = 40 kj F.3) Un moto circolare uniforme è un moto accelerato? Cosa si può dire delle forze che agiscono su un corpo in moto circolare uniforme? Un corpo di massa m = 0.5 kg vincolato ad un asta si muove nel piano verticale con velocità angolare ω = 0. rad/s lungo una circonferenza di raggio r = m. Calcolare il periodo e l accerazione del corpo. Calcolare la risultante delle forze nel punto più basso della traiettoria e la forza esercitata dall asta (specificandone direzione e verso) is.: Sì, in quanto la sua velocità NON è costante (il modulo è costante ma la direzione cambia continuamenete). Se un corpo si muove di moto circolare uniforme la sua accelerazione deve valere a c = ω, cioè la risultante delle forze F = mω. T = π = 3.4 s, a ω c = 0.04 m/s. Nel punto più basso della traiettoria la risultante delle forze deve valere in modulo F = ma c = 0.0 N ed essere diretta verso il centro, cioè in quel punto verso l alto. Tale risultante è dovuta alla somma vettoriale di forza peso (verso il basso) e forza esercitata dall asta (che ha in generale sia componente orizzontale che verticale) F = F p + F. Nel punto più basso della traiettoria le equazioni per le due componenti orizzontale e verticale della risultante delle forze sono F orizz F vert = mg + F vert = F orizz = 0.0 N, da cui F vert ; = 0 e = 4.9 N F.4) Calcolare la pressione relativa che deve essere esercitata da una pompa per estrarre l acqua da un pozzo profondo 3 m, perchè essa fuoriesca dal rubinetto con una velocità di m/s (supponendo di poter trascurare la viscosità dell acqua) is.: La pressione relativa è definita come P assoluta P atm. Se posso trascurare la viscosità posso applicare il teorema di Bernoulli. L acqua al fondo del pozzo è praticamente ferma e la sue energia per unità di volume vale P pompa, quando fuoriesce la sua energia per unità di volume vale P atm + dgh + dv, quindi la conservazione dell energia (Bernoulli) afferma che P pompa = P atm + dgh + dv da cui si ricava P rel pompa = P pompa P atm = dgh + dv = 3.4 kp a F.5) Discutere facendo riferimento al loro significato energetico, le condizioni di applicabilità del teorema di Bernoulli e della legge di Poiseuille

3 is.: Il teorema di Bernoulli dimostra che il principio di conservazione dell energia applicato ad un volumetto di liquido V si può riscrivere come P + dgh + dv = cost, dove i tre termini rappresentano energia di pressione, gravitazionale e cinetica per unità di volume. Perchè l energia per unità di volume del liquido di conservi è necessario che non ci sia viscosità, il volumetto contenga sempre la stessa massa (incomprimibile) e le pareti del condotto non siano elastiche (altrimenti potrebbero compiere lavoro sul fluido). La legge di Poiseuille afferma che la perdita di energia per unità di volume dovuta allo scorrimento l uno sull altro dei filetti di liquido (moto laminare) è proporzionale alla velocità media e quindi alla portata E = Q, dove per condotti cilindrici = 8ηL. Se il V fluido viscoso è in moto laminare, ed inoltre il condotto è orizzontale, a pareti rigide e sezione costante, la perdita di energia si manifesta come caduta di pressione P = Q F.6) Cosa si può dire della caduta di pressione per un liquido viscoso che scorre all interno di un condotto rigido orizzontale? Un circuito idraulico è composto da due tubi cilindrici orizzontali collegati in serie (come mostrato in figura). ll interno del circuito scorre di moto laminare un liquido viscoso la cui pressione misurata in alcuni punti è indicata in figura. Quanto vale il rapporto fra le resistenze idrauliche dei due tubi / B? Quanto vale il rapporto fra i raggi r B /r?. atm atm atm B P (atm) Disegnare il grafico P (x) della pressione del liquido in funzione di x lungo il circuito X(m) is.: La perdita di energia per unità di volume misurabile dalla caduta di pressione P è proporzionale alla portata: P = Q. Per condotti cilindrici = 8ηL. Visto che i due tubi sono in serie Q = Q B, B = P Q B Q P B = P P B = 4. questo punto dall espressione = 8ηL si ricava / B = (r B /r ) 4 quindi r B /r = F.7) Come viene definita e quale è l unità di misura per la tensione superficiale? is.: τ = F/L (forza per unità di lunghezza che agisce sul bordo du una superficie) oppure τ = L/ S (lavoro necessario per aumentare di una unità l area della superficie). Si misura in N/m Quale è l espressione per la tensione della parete di un vaso cilindrico in base alla legge di Laplace? is.: τ = (P int P est ) la tensione a cui è sottoposta la parete dipende dalla differenza di pressione fra interno ed esterno e dal raggio F.8) Si enunci la legge di Stokes per la forza agente su sferette in moto in un liquido viscoso e la si applichi alla definizione della velocità di sedimentazione. is.: La forza di attrito che si oppone al moto dovuta alla viscosità è proporzionale alla velocità: F v = f v. Nel caso di una sfera f = 6πηr. Una particella di densità d in sospensione in un fluido di densità d f inizia a cadere sotto l azione di una forza costante F est = V (d d f )g data dalla somma di forza peso e spinta di rchimede, che ne fa aumentare la velocià. Man mano che la velocità aumenta aumenta anche la forza di attrito viscoso (diretta verso l alto), fino a che si raggiunge una velocità limite per cui la risultante delle forze F = fv lim + V (d d f )g = 0. Da quel momento in poi la particella cade (sedimenta) a velocità costante v sed = V (d d f )g f X(m). Nel caso di particelle sferiche si ricava v sed = r g(d d f ) 9 η

4 Verifica (B) F.) Quale è l espressione per la tensione della parete di una sfera in base alla legge di Laplace? is.: τ = (P int P est ) la tensione a cui è sottoposta la parete dipende dalla differenza di pressione fra interno ed esterno e dal raggio F.) Un moto circolare uniforme è un moto accelerato? Cosa si può dire delle forze che agiscono su un corpo in moto circolare uniforme? Una pallina di massa m = 0. kg vincolato ad un asta si muove nel piano verticale con velocità angolare ω = 0.5 rad/s lungo una circonferenza di raggio r = 0.5 m. Calcolare il periodo e l accelerazione del corpo. Calcolare la risultante delle forze nel punto più alto della traiettoria e la forza esercitata dall asta (specificandone direzione e verso) is.: Siì, in quanto la sua velocità NON è costante (il modulo è costante ma la direzione cambia continuamenete). Se un corpo si muove di moto circolare uniforme la sua accelerazione deve valere a c = ω, cioè la risultante delle forze F = mω. T = π =.6 s, a ω c = 0.5 m/s. Nel punto più alto della traiettoria la risultante delle forze deve valere in modulo F = ma c = 0.05 N ed essere diretta verso il centro, cioè in quel punto verso il basso. Tale risultante è dovuta alla somma vettoriale di forza peso (verso il basso) e forza esercitata dall asta (che ha in generale sia componente orizzontale che verticale) F = F p + F. Nel punto più alto della traiettoria le equazioni per le due componenti orizzontale e verticale della risultante delle forze sono F orizz F vert = mg + F vert = 0.05 N, da cui F vert = F orizz = 0 e =.935 N F.3) Calcolare la pressione relativa che deve essere esercitata da una pompa per estrarre l acqua da un pozzo profondo 5 m, perchè essa fuoriesca dal rubinetto con una velocità di 3 m/s (supponendo di poter trascurare la viscosità dell acqua) is.: La pressione relativa è definita come P assoluta P atm. Se posso trascurare la viscosità posso applicare il teorema di Bernoulli. L acqua al fondo del pozzo è praticamente ferma e la sue energia per unità di volume vale P pompa, quando fuoriesce la sua energia per unità di volume vale P atm + dgh + dv, quindi la conservazione dell energia (Bernoulli) afferma che P pompa = P atm + dgh + dv da cui si ricava Ppompa rel = P pompa P atm = dgh + dv = 53.5 kp a F.4) Come viene definita e quale è l unità di misura per la tensione superficiale? is.: τ = F/L (forza per unità di lunghezza che agisce sul bordo du una superficie) oppure τ = L/ S (lavoro necessario per aumentare di una unità l area della superficie). Si misura in N/m F.5) Si enunci la legge di Stokes per la forza agente su sferette in moto in un liquido viscoso e la si applichi per spiegare come l elettroforesi permetta di valutare le dimensioni delle proteine. is.: La forza di attrito che si oppone al moto dovuta alla viscosità è proporzionale alla velocità: F v = f v. Nel caso di una sfera f = 6πηr. Una particella carica immersa in un liquido in presenza di un campo elettrico inizia a muoversi sotto l azione di una forza costante F est = qe che ne fa aumentare la velocià. Man mano che la velocità aumenta aumenta anche la forza di attrito viscoso (direzione opposta a F est ), fino a che si raggiunge una velocità limite per cui la risultante delle forze F = fv lim + qe = 0. Da quel momento in poi la particella si muove a velocità costante v s = qe. Nel caso di f particelle sferiche si ricava v s = qe, cioè la velocità dipende dal raggio 6πηr F.6) Discutere facendo riferimento al loro significato energetico, le condizioni di applicabilità del teorema di Bernoulli e della legge di Poiseuille is.: Il teorema di Bernoulli dimostra che il principio di conservazione dell energia applicato ad un volumetto di liquido V si può riscrivere come P + dgh + dv = cost, dove i tre termini rappresentano energia di pressione, gravitazionale e cinetica per unità

5 di volume. Perchè l energia per unità di volume del liquido di conservi è necessario che non ci sia viscosità, il volumetto contenga sempre la stessa massa (incomprimibile) e le pareti del condotto non siano elastiche (altrimenti potrebbero compiere lavoro sul fluido). La legge di Poiseuille afferma che la perdita di energia per unità di volume dovuta allo scorrimento l uno sull altro dei filetti di liquido (moto laminare) è proporzionale alla velocità media e quindi alla portata E = Q, dove per condotti cilindrici = 8ηL. Se il V fluido viscoso è in moto laminare, ed inoltre il condotto è orizzontale, a pareti rigide e sezione costante, la perdita di energia si manifesta come caduta di pressione P = Q F.7) Come è definito (in generale) il lavoro di una forza? Come si definisce l energia potenziale in termini di lavoro e per quali forze si può definire? Fare un esempio di forze per cui non abbia senso definire l energia potenziale. Scrivere l espressione delle energie potenziali della forza peso e di quelle gravitazionale, coulombiana ed elastica. Una molla di costante elastica K = 00 N/m, inizialmente a riposo, viene compressa compiendo un lavoro di 0.0 J. Di quanto si è accorciata la molla? is.: L = fin in F cos θdx; U = L per forze conservative, per cui cioè il lavoro non dipende dal percorso. Non si può definire per forze in cui il lavoro dipenda dal percorso, come ad esempio quelle di attrito. U peso = mg(h h 0 ); U el = k( x) ; U grav = G Mm; U coul = qq ; L 4πɛ 0 esterno = L molla = U el = (U fin U in ) = k( X fin) ; X fin = Lesterno = cm k F.8) Cosa afferma il teorema dell energia cinetica ( delle forze vive)? Un corpo di massa 300 g e velocità iniziale m/s rallenta a causa dell attrito. Quanto vale la sua energia cinetica iniziale? Quanto lavoro hanno compiuto le forze di attrito quando la sua velocità si è ridotta del 0%? is.: Il teorema dell energia cinetica afferma se si compie lavoro su un corpo la sua energia cinetica varia di E cin = L, dove E cin = mv. Ecin in = mv = 0.5 J; Se v fin = ( 0.0)v in = 0.9v fin allora E fin cin = (0.9) Ecin in = 0.8Ecin in = 0.5 J, quindi L attr = E cin =.85 0 J F.9) Cosa si può dire della caduta di pressione per un liquido viscoso che scorre all interno di un condotto rigido orizzontale? Un circuito idraulico è composto da due tubi a sezione circolare ( e ) collegati in serie come mostrato in figura. ll interno del circuito scorre di moto laminare un liquido viscoso la cui pressione (misurata in alcuni punti) è indicata in figura. atm. atm atm Quanto vale il rapporto fra le resistenze idrauliche dei due tubi /? Quanto vale il rapporto fra i raggi r /r? X(m) P (atm) Disegnare il grafico P (x) della pressione del liquido in funzione della posizione x lungo il tubo X(m) is.: La perdita di energia per unità di volume misurabile dalla caduta di pressione P è proporzionale alla portata: P = Q. Per condotti cilindrici = 8ηL. Visto che i due tubi sono in serie Q = Q, = P Q Q P = P P = 9. questo punto dall espressione = 8ηL si ricava / = (r /r ) 4 quindi r /r = 3