1 Premio Alessandro Rabuzzi

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1 Premio Alessanro Rabuzzi Gara a square i matematica 6 Febbraio 05 SOLUZIONI Quarati nei quarati 50 Insufficienze a fine anno 005 Fetta i torta 00 4 Giochi enigmistici 07 5 Solii platonici 04 6 Divisori primi 7 Somme fattoriali Raici i polinomi Differenza i cubi L autostraa 008 La passwor 745 Cinque cerchi 007 Il logo el liceo Diagonali Il percorso più breve I ai 00 6 La macchina i Wimshurst Satelliti 9 8 Numeri primi 5

2 SOLUZIONI Quarati nei quarati Consieriamo i quattro triangoli rettangoli presenti nella figura che hanno un vertice nel punto meio el rispettivo lato el quarato grane Disegniamo i ognuno il simmetrico rispetto al vertice consierato Aesso si osserva facilmente che l area el quarato intermeio si può ottenere all area i quello grane ivienola per 5 A sua volta l area el quarato piccolo è equivalente a metà ell area el quarato intermeio La risposta è quini: 50 A = = 50 0 Insufficienze a fine anno p L =, Sia L l evento insufficienza a Latino e sia M l evento insufficienza a Matematica Si sa che ( ) 0% p( M ) = 5%, p( L M ) = 0% Allora p ( L M ) ( M L) = 0% + 5% = 5% quini 5 La risposta è Fetta i torta La circonferenza che elimita la panna è inscritta nel settore circolare i ampiezza 60 Sia OD = R e GD = r Il triangolo OGH è un triangolo rettangolo con gli angoli i 0 e i 60 Allora GH = OG, a cui segue immeiatamente r = R r, cioè = La percentuale richiesta è: R r A cerchio π r 6r P = 00 = A π = = settore R R 6 6r = 00 00,% = 9r La risposta è 4 Giochi enigmistici La prima cosa che si osserva è che il numero centrale è 9 La secona è che non c è bisogno i risolvere tutto il gioco insereno tutti i numeri perché la loro somma eve essere necessariamente 9 9 = 7 5 Solii platonici Il tetraero (4 Facce, 4 Vertici, 6 Spigoli) non ha nessuna iagonale interna, come si può osservare bene alla figura Allora T = 0 Il cubo (6 F, 8 V, S) ha iagonali interne Per calcolare il numero i tutte le iagonali basta consierare tutti i segmenti che si possono formare con gli 8 vertici e al loro numero togliere gli spigoli Per trovare infine le iagonali interne obbiamo togliere le iagonali elle facce, che per il cubo sono per ogni faccia (un quarato ha ue iagonali) V C = S F = = 4 = 4 L ottaero (8 F, 6 V, S) ha esattamente iagonali interne Allora O = Il oecaero ( F, 0 V, 0 S) ha iagonali interne Per calcolare il numero i iagonali interne si può usare lo stesso ragionamento fatto per il cubo Questa volta le iagonali i una faccia pentagonale sono 5

3 V D = S 5 F = 0 60 = 90 = 00 L icosaero (0 F, V, 0 S) ha iagonali interne Per calcolare il numero i iagonali interne si può usare lo stesso ragionamento fatto per il cubo Questa volta non ci sono iagonali sulle facce I V = S = 0 = 0 = 6 La risposta è quini = = = 4 T C O D I 6 Divisori primi Il numero + può essere riscritto nel seguente moo: ( ) ( )( ) = + + = + = = = ( )( ) = 985 = 5 97 La risposta è quini 7 Somme fattoriali Si tratta i calcolare n ( n ) n= +! n = n +! n! n +! Osserviamo che ( ) ( ) Quini = =!! 4! 5!!!!!! 4! 4! 5! 8 Raici i polinomi 4 Diviiamo per il polinomio p( x ) in moo a trovare un polinomio monico q ( x) x x stesse raici x, x, x e x 4 Sappiamo che: 7 () x + x + x + x4 =, () xx + xx + xx 4 + xx + xx4 + xx4 = 0 Allora utilizzano la relazione () si può scrivere: = 9 ( x x x x ) 4 Sviluppiamo ora il quarato el quarinomio, e utilizziamo la relazione (): Quini si ha ( ) = + 7 che abbia le x + x + x + x = x + x + x + x + x x + x x + x x + x x + + x x + x x = ( ) = x + x + x + x + x x + x x + x x + x x + x x + x x = x + x + x + x x + x + x + x4 = = 5, 4 La risposta è quini Differenza i cubi Chiamano x e y i ue numeri e z il valore cercato, il testo el problema si trauce in: x + y = z x y = 5 x y = 05 Fattorizziamo l ultima relazione:

4 ( x y)( x + xy + y ) = 05 5( x + xy + y ) = 05 ( x xy y ) + + = 40 (*) Utilizzano la prima relazione, l espressione (*) può essere riscritta nella forma z 40 xy quarato el binomio x y, possiamo riscrivere l espressione (*) anche nel seguente moo: ( x y) + xy = 40 xy = 40 5 xy = 6 A questo punto si ha z = 40 6 = 77 = Utilizzano ora il 0 L autostraa Siano v e v le ue velocità e v la velocità meia ell intero percorso Siano t e t rispettivamente i tempi che l auto impiega a percorrere i ue tratti i straa, allora si ha t + t = t, ove t è il tempo totale Se è la istanza ell intero tragitto si ha: v t =, t = v = v, v = = = t + v v t = v = v + v v t = + = + v v v v La velocità meia è quini la meia armonica ponerata elle velocità Svolgeno i calcoli si ottiene: v = = = 08 km / h La passwor Definiamo il polinomio q ( x) = p( x) x Dalle informazioni ell agena segue che: q ( 0) = p ( 0) 0 = 0 q ( ) = p( ) = 0 q ( ) = p( ) = 0 Quini 0, e sono raici i q ( x) che eve essere a coefficienti interi e monico (affinché ( 5) teorema i Ruffini, possiamo scrivere q ( x) = x( x )( x ) a cui segue ( ) ( )( ) possiamo calcolare p ( 5) = 5 4 = 745 Cinque cerchi p sia minimo) Per il p x = x x x + x Aesso Basta osservare che r = l, ove r è il raggio el cerchio piccolo, è la iagonale el quarato e l è il lato el quarato r ( ) l = ( ), 44 r = = 044 0,5 = 0,07 m 07 mm Diagonali Il oecaero ha facce pentagonali Ogni pentagono ha un numero i iagonali pari a al numero elle possibili coppie i vertici meno il numero ei lati: P 5 = 5 = 5 = 5 = 60 4 Il percorso più breve Consiera lo sviluppo piano ella superficie ella piramie a base pentagonale ABCDEF Il percorso più breve per anare a C vertice i base a M centro ella faccia laterale opposta è il segmento CM Consieriamo il triangolo CMF: CF = s = 0cm,

5 AFM ˆ = α = = 50 M baricentro el triangolo AFE ivie la meiana FK in ue parti una oppia ell altra, per cui si ha che FK s = FM = FK = s Per eterminare la lunghezza i CM possiamo applicare il teorema i Carnot al triangolo CMF, otteneno così CM = CF + FM CF FM cosα = 4 7 = + = + = s s s s s s Sostitueno il valore i s si ha 7, 6458 CM =, =, 7 = m mm 5 I ai Si evono eterminare le possibili terne i numeri x, x, x, con tali che x + x + x = 4 Poiché come risultato minimo possiamo ottenere, allora il problema è equivalente a trovare tre numeri n, n, n, anche nulli, tali che n + n + n = Il numero i tali terne è ato alle combinazioni con ripetizione C ', = = = 78 Il numero ei casi possibili è ato invece alle isposizioni con ripetizione Allora ( 4) 78 9 = = = p, quini la risposta è 88 + =0 6 La macchina i Wimshurst Inichiamo con C e D i punti in cui la parte superiore ella cinghia è tangente alle ue circonferenze Dal centro A ella prima circonferenza tracciamo tracciamo la parallela al segmento DC fino a incontrare in E il raggio BC ella secona circonferenza Osservano la figura si nota che: EB = BC CE = 60 0 = 50mm Allora il triangolo rettangolo ABE è metà i un triangolo equilatero ( AB = 00mm, BE = 50 mm), per cui si ha CD = 50 mm La cinghia è quini composta a ue segmenti ientici che x i ' D, = = 78 valgono complessivamente 00 e a ue archi i circonferenza: il primo che è un terzo ella circonferenza piccola, il secono che è ue terzi ella circonferenza grane Allora la lunghezza ella cinghia è: 0π L = π 0 + π = + 00 = 60 =,46 + 7, = 7,7 + 7, 445 mm 7 Satelliti A ogni giro el primo satellite, il secono resta inietro i 5 minuti Ci vorranno quini 55 min / 5 min = 0, giri affinché i ue satelliti siano i nuovo alla minima istanza Questo vuol ire che la massima istanza si avrà opo 5, giri el primo satellite, cioè opo 0 min 5, giri = 7 min, corrisponenti a 9 ore e minuti La risposta è quini 9

6 8 Numeri primi Gli unici numeri primi i una cifra che possiamo usare sono,,5 e 7 Le coppie formate a queste cifre che a loro volta sono numeri primi possono essere solo, 7, 5 e 7 Osserviamo che le coppie trovate non possono ripetersi in un numero i 4 cifre, in quanto lo renerebbero ivisibile per la coppia stessa (ABAB è ivisibile per AB e per 0): restano a verificare 4 = possibilità: 7 ivisibile per 75 ivisibile per 57 ivisibile per 5 ivisibile per 77 ivisibile per 7 ivisibile per 7 ivisibile per 5 PRIMO 77 ivisibile per 7 ivisibile per 57 ivisibile per 75 ivisibile per La risposta è quini 5 con la collaborazione i