OSCILLAZIONI TORSIONALI

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1 OSCILLAZIONI TORSIONALI Introuzione Come è noto, per un corpo i imensione estesa vincolato a ruotare attorno a un asse (volano), vale la seguente relazione tra l'accelerazione angolare e il momento ella forze esterne agenti attorno all'asse i rotazione J θ t := C C θ ove: θ = angolo i rotazione el volano attorno al suo asse C = momento elle forze esterne attorno all'asse i rotazione J = momento i inerzia el volano attorno all'asse i rotazione, ato a: J := V ρ r v in cui: V = volume el corpo ρ = ensità r = istanza all'asse i rotazione ell'elemento i volume Volano con albero incastrato a un estremo Si consieri aesso un volano, posto a uno ei ue estremi i un albero privo i massa, vincolato all'altro estremo con un incastro. θ Se si sposta il volano alla sua posizione i equilibrio imprimenogli una rotazione attorno all'asse ella trave, quest'ultima reagirà applicano al volano stesso una coppia i reazione ata a: C := k θ θ ove: θ = angolo i rotazione

2 k θ = rigiezza torsionale ell'albero; Nel caso i albero a sezione circolare piena i iametro costante e lunghezza totale L risulta, come noto alla teoria elle travi elastiche: k θ := GJ p L con Jp = momento i inerzia polare ella sezione G = moulo i taglio el materiale ell'albero -k θ θ k θ θ θ Se aesso il volano viene lasciato libero, per esso varrà la seguente equazione i equilibrio inamico: J θ := k θ θ t J θ + k θ θ t L'equazione ifferenziale trovata può essere facilmente risolta poneno: θ() t := Θ cos( ω t) θ := Θ ω cos( ω t) t Sostitueno si ottiene: J Θ ω cos( ω t) + k θ Θ cos( ω t) semplificano e raccolgieno a fattor comune Θ: Θ k θ J ω

3 Questa equazione può essere soisfatta per valori non nulli i Θ se e solo se : k θ ω := = ω J n Il volano, isturbato alla sua posizione i equilibrio, inizia quini a oscillare con legge el moto ata a : ( ) θ() t := Θ cos ω n t θ(t)=θ cos(ω n t) Analogamente al caso el sistema massa-molla, anche in questo caso le oscillazioni sono possibili solo per una particolare pulsazione etta pulsazione propria (o naturale) torsionale el sistema. Allo stesso moo ell'oscillatore armonico lineare a 1 g..l., anche l'oscillatore torsionale può anare incontro a fenomeni i amplificazione inamica el moto e i risonanza se assoggettato a una coppia esterna perioica, che funge a forzante. Coppia i volani connessi a albero E' interessante stuiare poi il caso i ue volani connessi a un albero, che può ritersi rappresentativo, almeno in prima approssimazione, el sistema costituito a un motore e a un utilizzatore collegati tra loro. J J 1 k θ θ θ 1 Se immaginiamo che i ue volani, a un certo istante, mostrino ciasuno una propria rotazione misurata a partire alla conizione i equilibrio, è possibile scrivere, per ciascuno i essi, una equazione i equilibrio inamico:

4 J 1 θ 1 + k θ ( θ 1 θ ) t J θ + k θ ( θ θ 1) t Assumeno come legge i rotazione nel tempo: θ 1 () t := Θ 1 cos( ω t) θ () t := Θ cos( ω t) a cui: t t θ 1 () t θ () t := ω Θ 1 := ω Θ cos( ω t) cos( ω t) Sostitueno nelle equazioni i equilibrio, si ottiene poi: J 1 ω Θ 1 cos( ω t) + k θ Θ 1 cos( ω t) Θ cos( ω t) ( ) J ω Θ cos( ω t) + k θ Θ cos( ω t) Θ 1 cos( ω t) ( ) Semplificano e risolveno per le ampiezze i oscillazione: k θ J 1 ω Θ 1 k θ Θ k θ Θ 1 + k θ J ω Θ Il sistema è lineare e omogeneo, per cui ha soluzione non banale solo se ileterminante ella materice ei coefficienti risulta pari a 0: k θ J 1 ω k θ J ω k θ k θ k θ J 1 ω k θ J ω + J 1 J ω 4 k θ ( ) J 1 J ω 4 k θ J 1 + J ω

5 a cui: ω 0 soluzione corrisponente all'albero fermo ( ) k θ J 1 + J ω n := J 1 J Anche il sistema costituito a ue volani può quini oscillare con una propria pulsazione i valore particolare. Sostitueno nelle equazioni i equilibrio il valore i ω n trovato si ottiene: k θ k θ J 1 J J 1 J 1 + J k θ J 1 Θ 1 ( ) := k θ J Θ Θ 1 k θ Θ a cui: Θ J 1 := Θ 1 J per cui i ue volani oscillano in irezione opposta e con ampiezze inversamente proporzionali ai rispettivi momenti i inerzia J J 1 θ (t)=θ cos(ω n t) k θ θ 1 (t)=θ 1 cos(ω n t)

6 ESEMPIO APPLICATIVO Un motore è collegato, tramite un albero elastico a sezione tubolare, a un ventilatore. Calcolare la prima frequenza propria torsionale el sistema e la corrisponente velocità i rotazione in giri/1'. Si assumano le seguenti ipotesi asse motore, asse elica e giunti torsionalmente rigii momento i inerzia el mozzo e ell'albero trascurabili Sez. B-B s p W p B B L A a s a L p D A Sez. A-A DATI a := 15 mm L := 3000 mm s a := 1mm D:= 40 mm L p := 800 mm W p := 80 mm s p := 5mm J m := 0.8 kg m ρ := 7850 kg ensità materiale pale (acciaio) m 3 E := MPa moulo elastico materiale albero i trasmssione (alluminio) ν.3 Coefficiente i Poisson

7 MOMENTO DI INERZIA DELL'ELICA Si calcola il momento i inerzia ell'elica, ipotizzano trascurabili i contributi el mozzo e ell'albero e consierano quini il solo contributo elle pale. Il momento i inerzia ella singola pala è ato a: J p := V ρ r v ove r è la istanza all'asse i rotazione el volumetto elementare v, e l'integrale è esteso all'intero volume i una singola pala. Nel caso specifico, si può ottenere il momento 'inerzia el ventilatore come il triplo el momento ella singola pala: J v := 3 D + L p ρ W p s p r r D J v = m kg RIGIDEZZA TRASMISSIONE Nelle ipotesi fatte, l'unico elemento eformabile ella trasmissione risulta essere l'albero cavo intermeio. Dalla teoria elle travi soggette a torsione si ha: E G := G = MPa ( 1 + ν) J 0 := π 3 4 a ( ) 4 a s a GJ 0 k θ := k L θ =.17 N m CALCOLO PULSAZIONE PROPRIA La pulsazione propria torsionale el sistema costituito ai ue volani connessi all'albero i trasmissione è ata a: ( ) k θ J m + J v ω n := ω J m J n = v s La corrisponente velocità i rotazione ell'albero in giri al minuto è ata a: n m := ω n 60 π n m = min

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