Esercizio 1: Esercizio 2:

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1 Compito i Elettricità e Magnetismo e i Elettromagnetismo Prova scritta el 5-- (Proff SGiagu, FLacava, FRicci) Elettromagnetismo ( e creiti): esercizi,, ; tempo ore Elettromagnetismo (5 creiti): esercizi e, tempo ore Elettricità e magnetismo (5 creiti): esercizi e, tempo ore Esercizio : Una sfera i raggio R è carica uniformemente con ensità i carica ρ All interno ella sfera sono presenti ue cavit{ sferiche i raggio r, con centri posti sull asse y (vei figura) nelle posizioni y=± Dati: R = 6 cm, r= cm, = cm Determinare: a) il valore ella ensità i carica ρ, sapeno che il flusso el campo elettrico attraverso una superficie chiusa che racchiue la sfera vale: ϕ = 56 x - V m ; ) l espressione el campo elettrico E sull asse z per <z<r e per z>r ; c) il potenziale rispetto all infinito nel punto P (,,R) Esercizio : Una spira ineformaile percorsa in verso orario a una corrente i=5 A e sagomata come mostrato in figura I tratti curvi sono archi i circonferenza i raggi a= cm e =8 cm e ampiezza angolare =6 a) Determinare irezione, verso e moulo el campo i inuzione magnetica nel punto P coinciente con il centro egli archi i circonferenza ) Se la spira e immersa in un campo i inuzione magnetica =5 T iretto ortogonalmente al piano el foglio, con verso uscente a quest ultimo, eterminare irezione, verso e moulo ella forza agente su ciascun ramo ella spira e verificare che la forza totale e nulla a i P

2 Esercizio : Un circuito rigio quarato, i lato L= cm, è costituito i un filo i alluminio (resistività ρ=56-8 Ωm) i sezione S= mm Esso si trova nel piano xy con i lati paralleli ai ue assi, e è immerso in un campo i inuzione magnetica uniforme i moulo z=,5 T iretto perpenicolarmente al piano el foglio e uscente a esso, limitato all area colorata ella figura Il circuito, inizialmente immerso per metà nel campo magnetico (vei figura), trasla parallelamente all asse y con velocit{ che viene mantenuta costante i moulo v= cm/s Trascurano l effetto i autoinuzione ella spira, calcolare giustificano: a) il verso ella corrente inotta (orario o antiorario), con riferimento alla figura; ) l intensit{ i tale corrente nel circuito urante il moto; c) l energia totale issipata nel circuito per effetto Joule; ) il lavoro effettuato per portare il circuito completamente fuori el campo Esercizio : Le armature i un conensatore a facce piane e parallele, i superficie S = 8 cm, vengono allontanate fra loro con velocità costante v= mm/s alla istanza iniziale = mm Durante il movimento vengono mantenute connesse a un generatore i forza elettromotrice costante pari a V a) Determinare la ensità i corrente i spostamento fra le armature el conensatore in funzione el tempo trascurano possiili effetti i oro e assumeno trascuraile la resistenza ohmica el circuito ) Calcolare il valore numerico ella corrente i spostamento all istante t = s, e inicare la irezione el vettore ensità i corrente i spostamento rispetto al vettore campo elettrico c) Nell ipotesi in cui la resistenza R el circuito non possa essere trascurata, scrivere l equazione esplicita el circuito, per la carica Q( presente sulle armature el conensatore

3 Soluzioni Esercizio : a) al teorema i Gauss: ϕ = Qint/ε = Q/ε con Q carica ella sfera cava Da cui: Q=ε ϕ Nota la carica Q avremo: ρ = Q/ Volume = Q / (/πr /πr ) = Q/π(R r ) = ε ϕ /π(r r ) = C/m ) per il principio i sovrapposizione il campo E può essere pensato come somma ei campi generati a una sfera carica con ensità ρ i raggio R centrata nell origine e ue sfere cariche con ensità ρ i raggio r centrate rispettivamente in ± Sull asse z, per ragioni i simmetria, il campo è iretto lungo l asse z stesso con valore: z>r: E(z) = r é ù êr e z - zr ú ê ( + z ) ú ë û Z<R: E(z) = r é ù ê zr z- ú e ê ( + z ) ú ë û esseno in entrame le espressioni il primo termine quello relativo al campo elettrostatico generato alla sfera carica positivamente e il secono il campo generato alle ue sfere cariche con ensità ρ c) Il potenziale nel punto z=r si ottiene per integrazione el campo, o per sovrapposizione ei potenziali ella sfera con carica ρ e elle ue sfere con ensità ρ: V ( P) ze ( z) R R r R 75 V

4 Esercizio : a) Consierano separatamente i tratti rettilinei ella spira, il campo magnetico generato a ciascuno i essi in P e pari a: P P, in quanto l // r i a I contriuti egli archi i circonferenza in P possono essere calcolati a partire al risultato noto per il campo magnetico generato nel centro i una spira circolare percorsa a corrente i: i a zˆ e i zˆ al piano el foglio In totale, ove ẑ e il versore ell asse z perpenicolare tot i a zˆ i moulo 65-6 T tot ) La forza agente sui ue tratti rettilinei e uguale in moulo a F i a verso e irezione come inicato nella figura a fianco F F i a sin ˆ y, = N e ha La forza agente su ciascuno ei tratti infinitesimi appartenenti ai ue rami curvi ella spira e iretta raialmente verso il punto P Come mostrato nella figura la sola componente vettoriale che rimane e quella parallela all asse y F i cos ' a ' yˆ i a sin yˆ Similmente F i sin yˆ Da cui F F i a sin yˆ F 6 N e F N y a F F F ' ' Come aspettato alla uniformità el campo magnetico esterno, la forza F m agente sulla spira e nulla P x

5 Esercizio : La resistenza ella spira è R= L/S =, - Ω Il flusso magnetico concatenato con la spira è costante finché il lato superiore non esce completamente alla zona i campo magnetico (al tempo che fissiamo a t=), poi è = L (L-v/, e iventa nullo quano anche il lato inferiore esce alla zona i non nullo La forza elettromotrice inotta, mentre la spira, esce è: f em = - /t = Lvo / e quini la corrente inotta, che risulta circolare in senso antiorario, è: i = Lvo /R =,88 A L energia issipata per effetto Joule e L / v o E J Ri t L v o,5 J R Il lavoro meccanico per portare fuori alla zona i campo magnetico la spira e L L Lm ( F F F F ) s F s L vo,5 J R L aveno inicato con F i y la forza applicata al lato inferiore ella spira che ha verso opposto r sia all asse y che allo spostamento elementare F i, (con i=,, ), sono le forze applicate sugli altri lati che sono nulle o il cui contriuto al lavoro e nullo esseno perpenicolari allo spostamento elementare Esercizio : a) La ensità i corrente i spostamento è: E J t Q S S poichè : E = con Q = CV e C = x( avremo : CV J = V t S t vt V vt v S vt ) J(s) = -5-8 A/m in cui il segno negativo inica che il vettore J è opposto a E, e IS=, - A c) Se la resistenza ohmica el circuito non fosse trascuraile la p ai capi el conensatore non potree essere consierate costante, ma ipeneree al tempo La carica sulle armature Q(, e otteniile come soluzione ell equazione: f I( R V C Q( Q( Q( Q( ( vt ( R R t C t S ) che risulta non integraile in moo elementare