POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale II Prova in itinere di Fisica Sperimentale A+B 3 Luglio 2007

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1 POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale II Prova in itinere i Fisica Sperimentale A+B 3 Luglio 7 Giustificare le risposte e scrivere in moo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, opo aver ricavato le espressioni letterali. Inicare nome e cognome (in stampatello) e matricola su ogni foglio. 1. Un conensatore a armature piane e parallele, ciascuna i area S pari a 1 cm e alla istanza.5 mm unaall alta, è completamente riempito i materiale ielettrico. Il conensatore viene caricato a un generatore fino a che la ifferenza i potenziale fra le armature sia V 1 V. In seguito il l alimentatore viene scollegato e il conensatore mantenuto isolato. A questo punto il ielettrico viene completamente estratto. La ifferenza i potenziale misurata fra le armature è ora pari a V 1 1 V. a) Determinare il valore ella costante ielettrica relativa el materiale. b) Calcolare il lavoro necessario per estrarre il ielettrico. c) Calcolare il lavoro necessario per estrarre il ielettrico nel caso in cui il generatore rimanga collegato e mantenga le armature a una ifferenza i potenziale pari a V. Si trascurino gli effetti i boro. (ε 8, F/m). Le componenti cartesiane i un campo elettrico sono E y, E z, mentre l anamento spaziale i E x è mostrato nella figura a lato. a) Determinare il potenziale elettrico V(x) in ogni punto ell asse x, posto V(-). Tracciarne il grafico in funzione i x. b) Determinare il valore i E minimo necessario per invertire il moto i un elettrone che, proveniente a x < -, si muova con velocità iniziale v x. c) Determinare la istribuzione i carica che genera il campo e tracciarne il grafico in funzione i x (Utilizzare la legge i Gauss applicata a una istribuzione i carica infinita nelle irezioni y e z). - E x E x 3. Fornire e giustificare l espressione el campo magnetico prootto a un solenoie i lunghezza infinita in funzione ella corrente che attraversa l avvolgimento e elle caratteristiche geometriche el solenoie. Un elettrone si muove con velocità iniziale v (v x,,v z ) nel campo magnetico B (,,B) prootto al solenoie. Scrivere l equazione el moto ella particella e escriverne la traiettoria, rappresentanola in un isegno. Inicare come varia l energia ella particella nel suo moto all interno el solenoie. 4. La tabella a lato riporta i risultati ell esperimento ella bilancia elle correnti. Si inichino in un isegno le granezze (vettoriali e no) che eterminano il fenomeno su cui si basa tale esperimento. a) Specificare qual è la relazione che lega la forza esercitata sul magnete all intensità i corrente che percorre il conuttore, giustificano la risposta. b) Riportare i valori ella tabella in un grafico e eterminare la massa el magnete. I (A) M (g) c) Sapeno che la lunghezza L el conuttore immerso nel campo magnetico prootto alla calamita è pari a 4 cm, stimare il valore el campo magnetico.

2 Esercizio 1 a) La carica Q sulle armature el conensatore isolato rimane costante. Dette C e C 1 le capacità el conensatore rispettivamente con e senza ielettrico, si ha Sε Sε Q C 1 V 1 V1 ; Q C V r ε V ε r C 1 V ε r V V b) Nel caso in cui il generatore venga scollegato, il lavoro L i estrazione el ielettrico corrispone alla variazione E i energia potenziale totale: L E 1 C1 V1 1 C V Sε ε r ( ε r 1) V 1.4 nj. c) Nel caso in cui il generatore rimanga collegato, quest ultimo effettua lavoro L G. Per mantenere costante la ifferenza i potenziale, il generatore eve trasferire una carica Q pari a Q Q 1 Q (C 1 C ) V. Pertanto L G Q V (C 1 C ). V Il lavoro L i estrazione el ielettrico corrispone alla variazione E i energia potenziale totale, a cui va però sottratto il lavoro L G compiuto al generatore: L E L G 1 C1 V 1 C V (C 1 C ) V 1 ( C1 C ) V1 Sε ( ε r 1) V, alla quale si ricava L 17.7 nj.

3 Esercizio a) Il potenziale elettrostatico si ottiene applicano la efinizione x V(x) - E ( x')x'. Da questa relazione si ricava la seguente espressione i V(x): V(x) x ; V(x) E ( x + ) < x ; V(x) E ( x ) < x ; V(x) E x >. V(x) Il grafico i V(x) è riportato a lato. Si noti che la ifferenza i potenziale V V() V( ) E è pari all area sottesa - x al grafico i E x (x). -E b) La velocità ell elettrone si inverte se l energia cinetica iniziale ell elettrone non è sufficiente a farlo arrivare in x, ovvero se E k (x ) + E p (x ) < E p (x ), ovvero se 1 m v + ev( ) 1 e x e m v e V ee x, posti e < e m e pari rispettivamente alla carica e alla massa ell elettrone. Si ottiene quini E m v e x >. e

4 c) Ricorano che iv E ρ, ε si ottiene ρ(x) E( x) ε, x e quini ρ (x) x -; ρ (x) E + ε - < x ; ρ (x) E ε < x ; ρ (x) x >. Allo stesso risultato si poteva giungere applicano irettamente il teorema i Gauss in forma integrale. Il grafico i ρ(x) è riportato a lato. - ρ(x) E + ε x E ε

5 Esercizio 3 a) Il campo magnetico all interno i un solenoie si può calcolare alla legge i Ampère B l µ I applicata alla seguente linea i integrazione: b c B a Il campo magnetico interno al solenoie è assiale, mentre quello all esterno è nullo. Detta I la corrente che circola nell avvolgimento, e n il numero i spire per unità i lunghezza, il valore el moulo i B è ato alla seguente relazione: B µ ni c) La forza che agisce su una particella carica in un campo magnetico è ata alla legge i Lorentz: F q v B. Da questa espressione si ricava che la forza è sempre perpenicolare alla velocità ell elettrone, a cui segue che l accelerazione tangenziale a tang. è nulla. Ricorano che v atang., t si conclue che il moulo v ella velocità e quini l energia cinetica ell elettrone rimangono costanti. b) La traiettoria ell elettrone è un elica la cui proiezione sul piano z è una circonferenza. Se tutte le componenti v x, v z, e B sono positive, l elica è estrorsa poiché la carica ell elettrone è negativa. L accelerazione centripeta nella proiezione el moto ella particella sul piano z vale

6 a cp R v x F cp me me ev x B. Da questa espressione si ricavano il raggio R ella circonferenza e la velocità angolare ω ella proiezione ell elettrone sul piano z : R m v eb e x ; ω R v x eb. me Il passo p ell elica è ato al prootto fra la componente v z ella velocità ell elettrone lungo la irezione el campo magnetico e il perioo T el moto ell elettrone proiettato sul piano z : p Tv z π ω vz m v π e z. eb

7 Esercizio 4 I Si vea nel grafico qui a fianco il iagramma vettoriale che inica le granezze che eterminano la forza agente sul tratto orizzontale ella spira. Nella geometria riprootta a lato la forza esercitata sul filo è rivolta verso il basso se la corrente, misurata nel verso inicato alla freccia, è positiva. Per il terzo principio ella inamica (legge i azione e reazione), al magnete è N B θ F S applicata una forza i irezione opposta rispetto a quella esercitata sulla spira. Nel caso rappresentato in figura la bilancia leggerebbe un ecremento ella forza che agisce sul piatto su cui è posto il magnete, in accoro con i ati riportati nella tabella. a) L espressione el moulo F ella forza è F I L B sen(θ ). Tale risultato si ottiene integrano la forza i Lorentz F L q v B sull insieme ei portatori i carica contenuti in un conuttore i lunghezza L e sezione S. Detta N la ensità i portatori i carica J la ensità i corrente, F NSLq v B SL(qN v) B LS J B I L B. b) Il grafico ella misura ella bilancia in funzione ell intensità i corrente è riportato a fianco. Dalla tabella si vee che a un incremento I ell intensità i corrente pari a A corrispone una iminuzione M ella lettura ella bilancia pari a circa.3 g. Se ne euce quini che la massa el magnete, ovvero la lettura ella bilancia estrapolata a I, è pari a g. M (g) I (A)

8 c) Supponeno che l angolo θ fra il campo magnetico e il conuttore sia pari a 9, il moulo el campo magnetico si ottiene alla relazione seguente: g M LB I, con M.3 g, I A e g accelerazione i gravità 9.8 m/s. Si ottiene quini B g M L I 8. mt.