Esercizio 1. Sε Q = C 1 V 1 = V1 d. = ε r C 1 V 0 ε r = = 1.2.

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1 secizio a) La caica Q sulle amatue el conensatoe isolato imane costante. Dette C e C le capacità el conensatoe ispettivamente con e senza ielettico, si ha Q C ; Q C ε V ε C ε.. b) Nel caso in cui il geneatoe venga scollegato, il lavoo L i estazione el ielettico coispone alla vaiazione i enegia potenziale totale: L C V C V ε C ε C ε ( ε ).4 nj. c) Nel caso in cui il geneatoe imanga collegato, quest ultimo effettua lavoo L G. Pe mantenee costante la iffeenza i potenziale, il geneatoe eve tasfeie una caica Q pai a Q Q Q (C C ). Petanto L G Q (C C ). V Il lavoo L i estazione el ielettico coispone alla vaiazione i enegia potenziale totale, a cui va peò sottatto il lavoo L G compiuto al geneatoe: L L G C V C V (C C ) V ( C C ) ( ε ), alla quale si icava L 7.7 nj.

2 secizio a) Il potenziale elettostatico si ottiene applicano la efinizione x V(x) - ( x')x'. Da questa elazione si icava la seguente espessione i V(x): V(x) x ; V(x) ( ) x + < x ; V(x) ( x ) < x ; V(x) x >. V(x) Il gafico i V(x) è ipotato a lato. Si noti che la iffeenza i potenziale V() V( ) è pai all aea sottesa - x al gafico i x (x). - b) La velocità ell elettone si invete se l enegia cinetica iniziale ell elettone non è sufficiente a falo aivae in x, ovveo se k (x ) + p (x ) < p (x ), ovveo se m v + ev( ) e x e m v e e x, posti e < e m e pai ispettivamente alla caica e alla massa ell elettone. Si ottiene quini m v e x >. e

3 c) Ricoano che iv ρ, ε si ottiene ( x) ρ(x) ε, x e quini ρ (x) x -; ρ (x) + ε - < x ; ρ (x) ε < x ; ρ (x) x >. Allo stesso isultato si poteva giungee applicano iettamente il teoema i Gauss in foma integale. Il gafico i ρ(x) è ipotato a lato. - ρ(x) + ε x ε

4 secizio 3 a) Il campo magnetico all inteno i un solenoie si può calcolae alla legge i Ampèe B l µ I applicata alla seguente linea i integazione: b c B a Il campo magnetico inteno al solenoie è assiale, mente quello all esteno è nullo. Detta I la coente che cicola nell avvolgimento, e n il numeo i spie pe unità i lunghezza, il valoe el moulo i B è ato alla seguente elazione: B µ ni c) La foza che agisce su una paticella caica in un campo magnetico è ata alla legge i Loentz: F q v B. Da questa espessione si icava che la foza è sempe pepenicolae alla velocità ell elettone, a cui segue che l acceleazione tangenziale a tang. è nulla. Ricoano che v atang., t si conclue che il moulo v ella velocità e quini l enegia cinetica ell elettone imangono costanti. b) La taiettoia ell elettone è un elica la cui poiezione sul piano z è una ciconfeenza. Se tutte le componenti v x, v z, e B sono positive, l elica è estosa poiché la caica ell elettone è negativa. L acceleazione centipeta ella poiezione el moto ella paticella nel piano z vale

5 a cp R v x F cp me me ev x B. Da questa espessione si icavano il aggio R ella ciconfeenza e la velocità angolae ω ella poiezione ell elettone sul piano z : R m v eb e x ; ω R v x eb. me Il passo p ell elica è ato al pootto fa la componente v z ella velocità ell elettone lungo la iezione el campo magnetico e il peioo T el moto ell elettone poiettato sul piano z : p Tv z π v ω z m v π e z. eb

6 secizio 4 I Si vea nel gafico qui a fianco il iagamma vettoiale che inica le ganezze che eteminano la foza agente sul tatto oizzontale ella spia. Nella geometia ipootta a lato la foza esecitata sul filo è ivolta veso il basso se la coente, misuata nel veso inicato alla feccia, è positiva. Pe il tezo pincipio ella inamica (legge i azione e eazione), al magnete è N B θ F S applicata una foza i iezione opposta ispetto a quella esecitata sulla spia. Nel caso appesentato in figua la bilancia leggeebbe un ecemento ella foza che agisce sul piatto su cui è posto il magnete, in accoo con i ati ipotati nella tabella. a) L espessione el moulo F ella foza è F I L B sen(θ ). Tale isultato si ottiene integano la foza i Loentz F L q v B sull insieme ei potatoi i caica contenuti in un conuttoe i lunghezza L e sezione S. Detta N la ensità i potatoi i caica J la ensità i coente, F NSLq v B SL(qN v) B LS J B I L B. b) Il gafico ella misua ella bilancia in funzione ell intensità i coente è ipotato a fianco. Dalla tabella si vee che a un incemento I ell intensità i coente pai a A coispone una iminuzione M ella lettua ella bilancia pai a cica.3 g. Se ne euce quini che la massa el magnete, ovveo la lettua ella bilancia estapolata a I, è pai a g. M (g) I (A)

7 c) Supponeno che l angolo θ fa il campo magnetico e il conuttoe sia pai a 9, il moulo el campo magnetico si ottiene alla elazione seguente: g M LB I, con M.3 g, I A e g acceleazione i gavità 9.8 m/s. Si ottiene quini B g M L I 8. mt.