FISICA GENERALE II 1 Appello A.A Cognome Nome n. matr.

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1 FCA GENEAE 1 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1. All inteno i un cilino ineinito i aggio è istibuita una caica con ensità volumetica i caica ρk, ove è la istanza all asse el cilino e k una costante positiva. l cilino è acchiuso a una gabbia cilinica conuttice coassiale i aggio collegata a tea. 1) Calcolae la istibuzione i caica supeiciale inotta sulla paete intena ella gabbia conuttice. A patie alla istanza >, una paticella i caica q e massa m viaggia nella egione i spazio vuoto con velocità v che oma un angolo θ ispetto al piano oizzontale. ) Calcolae il moulo e la iezione ella velocità ella paticella quano essa tocca la supeicie estena el cilino i aggio. Dati: 3 cm, k 1-6 C/m 4, q -.1 C, m5 1-3 Kg, v8 m/s e θ3. a caica inotta sulla supeicie intena in un tatto ella gabbia conuttice è uguale e opposta alla caica contenuta nel cilino inteno: kπ πk3 3 σ i π σ i k C/m Applicano la legge i Gauss si ottiene il campo elettico { πe E k3 < < ε 3ε E > a..p ta la supeicie estena el cilino e la gabbia è V E k 3 3ε a componente ella velocità pepenicolae al campo si conseva v i, v o sin θ v, k3 3ε ln 75 V a componente paallela al campo (v i, v o cos θ) cambia a causa ella oza elettica che isente la paticella quano enta nella gabbia conuttice (<<). Pe la consevazione ell enegia: 1 mv i, 1 mv, + q V v, v i, q V 87.3 m/s m Petanto v v, + v, 96 m/s ; θ act v, v, 4.6. l cicuito mostato in igua è a molto tempo con l inteuttoe T apeto. Una volta chiuso l inteuttoe e aggiunto un nuovo stato i egime, si calcoli 1) la vaiazione i enegia immagazzinata nell inuttoe e ) la caica che è luita nella esistenza. Dati: 17V, 3V, 5 Ω, 15 mh, C1 nf. nizialmente nel cicuito non cicola coente peché il conensatoe si compota come un apeto a egime. enegia iniziale immagazzinata nell inuttanza è nulla U i, a caica immagazzinata nel conensatoe è i C V i 7 nc uano si chiue l inteuttoe e si aggiunge un nuovo stato i egime, la coente cicola solo nella maglia estena. Applicano la legge i ohm genealizzata: 1 3i i 1.7 A 3 enegia inale immagazzinata nell inuttanza è U, 1 i J U a tensione applicata ai capi i C è V 1 i 5.65 V a caica inale immagazzinata nel conensatoe è CV 56.5 nc a caica che ha attavesato la esistenza è i 13.5 nc

2 3. Una spia igia quaata i lato l, massa m e esistenza elettica è inizialmente ema all inteno i una egione i spazio in cui è pesente un campo magnetico non uniome i moulo k otogonale al piano ella spia. nizialmente il lato sinisto ella spia si tova in coisponenza ell ascissa. Al tempo t la spia inizia a muovesi con acceleazione costante a in iezione elle positive. Calcolae 1) la potenza issipata nella spia nell istante in cui ha aggiunto la posizione D e ) la oza estena che eve essee applicata alla spia in quella posizione pe mantenela in moto con acceleazione a. Dati: l 1 cm, m5 g, 1 Ω, k T/cm, a.8 m/s e D 9 cm. l lusso el campo magnetico sulla supeicie ella spia in un punto geneico è +l Φ() kl kl(( + l) ) kl( l + l ) con 1 at a coente che cicola nella spia vale in moulo i(t) 1 Φ() t kl at a potenza issipata è P i(t ) k l 4 a t ove t D a 4.7 s 56 mw Nella posizione D, la oza estena applicata alla spia pe mantenela in moto con acceleazione a vale F et ma F ma (i(t )l() i(t )l( + l)) ma + i(t )kl ma + k l 4 at.19 N 4. Da una seie i misue aette a eoe casuale su un cilino i ame (esistività ρ Cu Ω m), si icava che con un livello i conienza el 95.4 % la sua lunghezza meia è (5.3 ±.5)cm, mente, opo N 5 misue aette a eoe casuale, si ottiene che le misue ella sua sezione sono istibuite nomalmente con meia Σ 5,1 cm e vaianza σ 1 cm 4. 1) Fonie il valoe ella esistenza el cilino i ame con un livello i conienza el 77%. l valoe ella esistenza el cilino i ame è icavabile all equazione ρ incetezza sulla lunghezza meia el cilino i ame è σ.5 cm incetezza sulla sezione meia Σ el cilino σ Σ 1 σ Σ σ Σ.14 cm N incetezza sulla esistenza si calcola attaveso la popagazione egli eoi δ (ρk 1 Σ σ ) + (ρk Σ σ Σ ) Ω con k tale che F(k) F( k).77 F(k) 1.77 F(k).885 k 1. Σ Ω a misua i è quini (1.686 ±.55) 1 5 Ω

3 FCA GENEAE V Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1. Un quato i ciconeenza i aggio, costituita a un ilo caico con ensità lineae i caica non uniome λ kθ, è isposto come in igua. Calcolae nel y punto O(,) el sistema i ieimento ipotato in igua 1) il potenziale V e ) il λ campo elettico E geneato alla istibuzione i caica. θ Dati: 1,5 m, k1-8 C/m O 1) l potenziale in O ella istibuzione i caica è V() λ π 4πε o π kθθ 4πε o kπ 3ε o 11.9 V ) l campo elettico geneato a un tatto ininitesimo ella istibuzione i caica in O è E λ 4πε o Kθθ 4πε o. E Kθθ cos θ 4πε e componenti nel.. sono { o E y Kθθ sin θ 4πε o E { E y K 4πε o K 4πε o π π θ cos θ θ E (1 π 4πε integano pe pati { o ) θ sin θ θ E y K K 4πε o α y E E + E y K 4πε o (π 1) V/m ; α 18 + actg ( E y E ) 4. uatto conuttoi isolati A,, C e D piani quaati i lato e istanze ispettivamente, e con <<, sono isposti come in igua. conuttoi A e C sono collegati eletticamente ta loo, mente il conuttoe D è collegato a tea. Nello spazio ta i conuttoi e C è pesente un ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica ε. apeno che viene applicato al conuttoe un potenziale costante V, calcolae 1) la capacità equivalente e ) la caica complessivamente pesente nel sistema i conuttoi. Dati: 1 mm, 1 cm, ε, V3 V ε A C D V l collegamento ta i quatto conuttoi è ipotato nella igua accanto 1) a capacità equivalente è pai alla seie ta il paallelo i C A ε con C CD ε : e C C ε ε V C eq (C A+C C )C CD ε C A +C C +C CD F C A C C V a caica pesente è C eq V ε 3 V 1.77 nc C CD V C eq

4 3. Un cicuito ettangolae i lato, costituito a ue esistenze 1 e e un geneatoe ieale i.e.m., è completamente immesa in un campo magnetico uniome pepenicolae al piano contenente il cicuito e con veso uscente. Una piccola sbaetta metallica i lunghezza e esistenza elettica, in contatto elettico con il cicuito si muove senza attito con velocità costante v (vei igua). Calcolae la potenza issipata sulla sbaetta. Dati: 5 cm,.5 T, v.8 m/s, 6 V, 11 Ω, Ω, 5 Ω 1 v 1) a.e.m inotta ai capi ella sbaetta è i Φ() v 1 V e il cicuito è equivalente a t isolveno il cicuito con il metoo elle maglie: 1 { i 1 i 1 + (i 1 i ) i i + (i i 1 ) 1 15i 1 5i { i 1.14 A 5 5i 1 + 5i i.3 A i 1 i i a potenza issipata sulla sbaetta vale P (i i 1 ).4 W 4. Un conuttoe cilinico ineinito i aggio pesenta al suo inteno una cavità i aggio / e è isposto secono il sistema i ieimento ipotato in igua. l conuttoe è pecoso a una coente istibuita uniomemente in veso uscente. apeno che la cicuitazione el campo magnetico lungo una linea chiusa concatenata al conuttoe vale, calcolae 1) la ensità i coente che cicola nel conuttoe e ) il campo magnetico geneato al conuttoe nel punto P(,). Dati: 5 cm, V s/m y P 1) Pe il teoema i Ampee, la coente che cicola nel conuttoe è pai a i μ.5 A. a ensità i coente è J i 4i π( 4 ) 3π 84.9 A/m ) l conuttoe cavo può essee consieato come la sovapposizione i ue conuttoi cilinici pieni: uno i aggio pecoso a una coente uscente i + Jπ 4i, e l alto i aggio / pecoso a una 3 coente entante i Jπ 4 i 3 l campo magnetico geneato al pimo conuttoe cilinico nel punto P è y+ μ i + π μ i 3π y l campo magnetico geneato al secono conuttoe nel punto P è y μ i π 5 y μ i 15π y y Petanto: y+ + y 4μ i y 1 μt 15π + i - i + -

5 FCA GENEAE 5 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Una bacchetta i altezza h in cui è pesente una ensità lineae i caica λ(y)ky, è isposta y lungo l asse y el sistema i ieimento ipotato nella igua accanto. Assumeno nullo il potenziale all ininito, calcolae: 1) la caica complessivamente pesente sulla sbaetta; ) il h lavoo elle oze estene necessaio pe taspotae una caica puntiome q a un punto a istanza ininita ino al punto a istanza sull asse. Dati: h cm, 5 cm, k1-6 C/m, q1-6 C h a caica complessivamente pesente kh λ( y) y 1-1 C l lavoo elle oze estene U U qv ( ) ET FN N ove il potenziale nel punto può essee h kyy k + h 34.6 V coisponente a 1 4πε + y 4 ( ) πε icavato alla elazione V ( ) ET J y ( +y ) 1/ ) l cicuito ipotato nella igua accanto è in conizioni stazionaie con il commutatoe nella posizione A. Calcolae 1) la ieenza i potenziale pesente ai capi el conensatoe. uccessivamente, il commutatoe viene potato nella posizione all istante t. Calcolae ) l enegia complessivamente issipata nella esistenza uante l intea ase tansitoia pe t>. Dati C mf, 1 1kΩ, 1, 1 V A t 1 C n conizioni stazionaie il geneatoe eoga una coente V V a p ai capi el conensatoe è 1 + A patie all istante t il conensatoe si scaica e la sua p vaia secono la legge t V C ( t) V ep ove 1C τ. a coente che scoe nella esistenza è ata ell espessione τ 1 + V ( ) ( t) t C a cui coispone un valoe i enegia issipata U D V ( ) τ V 1C t t 1 ( + ) J

6 3) Una piccola spia cicolae i aggio a e esistenza è coassiale all asse y e si muove con velocità costante v lungo il veso positivo i tale asse. Nel punto (,) è posto un ilo ettilineo isposto paallelamente all asse z in cui scoe una coente oientata come in igua. icavae 1) l espessione el lusso el campo i inuzione magnetica concatenato con la spia cicolae posta nella posizione geneica y. apeno che all istante t la spia occupava la posizione y, calcolae ) il moulo ella coente s che scoe nella spia quano aggiunge il punto yh. Dati: A, v 5 m/s, a1 mm, 1 cm, 1 Ω, h h y z v l campo i inuzione magnetica pootto in coisponenza ella spia cicolae ha moulo µ π y ( + ) 1 l asse y un angolo θ tale che cos( θ ), ove yv t, e è ietto in moo a omae con ( + y ) 1 µ a µ a vt s t + l lusso concatenato con la piccola spia cicolae Φ( ) πa cos( θ ) i 1 Φ( ) a coente che cicola nella spia ha moulo µ l espessione all istante th/v si ottiene a v s A 4 ( + ( v t) ) ( ( v t) ). Calcolano 4) A patie a un seie i N16 misue i coente elettica aette a eoe casuale si ottiene con un livello i conienza el 75 % la misua (44.6±.1) A. Assumeno un livello i conienza el 9 %, icavae a patie alla stessa seie i N misue: 1) la misua ella coente elettica ; ) l incetezza a associae alla singola misua i. yv t y θ θ σ a misua i è eteminata con un incetezza δ k ove k coispone a un livello i conienza N el 75 % è tale che F(k)1.75/ ovveo k i icava σ 7.3 A. Assumeno un livello i conienza el 9% coisponente a k 1.65 si ottiene δ 3.1 A ovveo (44.6±3.) incetezza a associae alla singola misua è kσ 1 A

7 FCA GENEAE 6 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1 Nel sistema i ieimento ipotato nella igua accanto, ue piani ininiti e paalleli con ensità i caica supeiciale σ 1 e σ sono ispettivamente posti in - e +. Assumeno nullo il potenziale nell oigine O, icavae il potenziale nel punto P(,). Dati: σ 1 3σ, σ σ1-1 C/m, 5 cm σ 1 y σ - O + P Applicano il pincipio i sovapposizione si ottiene pe << v 3σ σ ) σ ) v 3σ σ ) σ ) E E1 + E ε ε, pe > E E1 + E ε + ε ε ε σ 1 σ l potenziale nel punto P può essee icavato alla elazione P σ σ 3σ V ( O) V ( P) El + v ε ε ε a cui si icava 3σ V ( P) -.17 V ε Ε Ε 1 Ε 1 Ε o spostamento elettico all inteno i un conensatoe piano nel vuoto con amatue i supeicie poste a istanza, collegato a un geneatoe i oza elettomotice, vale D. uccessivamente, manteneno il collegamento con il geneatoe, viene inseita, paallelamente alle amatue, una lasta i mateiale ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica ε e i spessoe pai alla metà ella istanza a le amatue. Calcolae il vettoe spostamento elettico D pesente all inteno el ielettico. Dati: ε 4 ; D 1-6 C/m C o spostamento elettico pesente inizialmente all inteno el conensatoe ha moulo C D σ e è ietto otogonalmente alle amatue. a capacità C el conensatoe con il ielettico inseito può essee icavata alla elazione ovveo 8 C ε C. C ε ε ε 5 5 Teneno conto ella consevazione ella componente nomale ello spostamento elettico, il campo D pesente all inteno el ielettico ha moulo C 8 C 8 D σ D C/m 5 5

8 3) u i una coona cicolae piana i aggio inteno 1 e aggio esteno, costituita a mateiale isolante, è istibuita uniomemente una caica elettica con ensità supeiciale σ. a coona uota con velocità angolae costante ω intono al suo asse. apeno che la coona è immesa in un campo i inuzione magnetica est uniome ietto in moa omae un angolo θ con l asse ella spia, calcolae il momento meccanico agente sulla coona. Dati 1 cm, 1, σ 1-6 C/m, ω1 a/s, est T, θ3. ω θ 1 O est σ Divieno al supeici intena alla coona in tante coone ininitesime i aggio esteno + e aggio inteno, con 1 <<, si ottengono elle spie ininitesime ciascuna caatteizza a un momento σ magnetico m π i ove i σω. a coona è caatteizzata a un momento magnetico T m πσω πσω ( 1 ) ietto in veso paallelo a O ω 4 1 v l momento meccanico agente sulla coona M m ha moulo M 15 σω 4 1 est sin( θ ) Nm e è 4 ietto in veso entante ispetto al piano ella igua. 4) Nella igua accanto è ipotato un cicuito magnetico tooiale sottile i sezione costante. e lunghezze meie el mateiale eomagnetico e ell inteeo sono l e l ispettivamente. uano il cicuito è alimentato a una oza magnetomotice N, l intensità i magnetizzazione nel eomagnetico vale M. icavae l espessione ell intensità el campo H pesente nell inteeo. N l Calcolano la cicuitazione el campo H lungo il cicuito magnetico si ottiene v µ M H l Hl + Hl N Applicano la elazione H e teneno conto che il campo si µ mantiene continuo all inteaccia aia- eomagnetico ( ), l espessione ella cicuitazione iviene µ M l + l µ µ N a cui si icava H µ N + Ml l + l

9 FCA GENEAE V Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1. Una caica, istibuita con ensità non uniome a simmetia seica, genea una unzione potenziale pai a V() A ( 1 π 3), ove A è una costante positiva e è la istanza al cento ella istibuzione i caica. 1) Calcolae la caica contenuta in una sea i aggio. apeno che una paticella puntiome i caica q e massa m si tova ema a istanza, calcolae ) la velocità ella paticella quano passa in. Dati: 1 cm, A1 3 V m, q C, m5 1-3 g l campo elettico geneato alla istibuzione i caica è E() gav A π ( 3 3 4) Dal Teoema i Gauss è possibile calcolae la caica pesente all inteno i una sea i aggio E()4π ε 4Aε C l potenziale a istanza è nullo mente a istanza è pai a V() Pe la consevazione ell enegia: qv() 1 mv v qa 399 m/s 4mπ A 8π. Un cilino i aggio e lunghezza ineinita è costituito a un mateiale ielettico omogeneo i costante ielettica ε. l cilino si tova all inteno i un solenoie ininito con n spie pe unità i lunghezza pecoso a una coente e kt nel veso inicato in igua. Calcolae, al tempo tt e sulla supeicie lateale el cilino ielettico, 1) il vettoe polaizzazione P e ) la ensità i caica supeiciale i polaizzazione σ p. ε Dati: 1 cm, ε 5, n 1 spie/cm, 5 A, t 1 s, k1s -1 l solenoie genea al suo inteno un campo vaiabile nel tempo pai a (t) μ n e kt a vaiazione el campo magnetico nel tempo inuce un campo elettico calcolabile alla legge i Faaay E l (t) Eπ μ t n ke kt π Petanto campo elettico all inteno el ielettico cilinico ha moulo E μ n ke kt e iezione tangente punto pe punto a ciconeenze i aggio centate sull asse el cilino pecose in senso antioaio (vei igua) l vettoe polaizzazione nel ielettico è P ε (ε 1)E, il cui moulo al tempo tt e sulla supeicie lateale el cilino ielettico è pai a E () P () P(, t ) ε (ε 1) μ n k C/m e (t) n a ensità supeiciale i caica sulla supeiciale lateale el ielettico è σ P P n peché P n

10 3. Una spia igia quaata i lato come ipotata in igua è costituita a un geneatoe ieale i.e.m e a ue esistenze pai a e 4. a spia tasla su un piano oizzontale con velocità costante v veso una egione i spazio in cui è pesente un campo i inuzione magnetica costante pepenicolae nel veso uscente al piano in cui si tova la spia. Calcolae 1) la velocità v ella spia ainché, mente enta nella egione i campo magnetico, la ieenza i potenziale ta i punti C e D ella spia isulti nullo. C 4 D v Dati: 5 cm, 1.5 T, 1 V Mente la spia sta entano nella egione in cui è pesente il campo i inuzione magnetica, sul lato esto ella spia si genea una.e.m. i moulo pai a i Φ() v t t Nella spia cicola una coente in senso oaio pai a i i+ 5 e ta i punti C e D la..p. eve essee nulla, bisogna impoe che V C V D i + 4i i ( i + ) i 4 [] C 4 i i ostitueno l equazione [1] nella [] otteniamo v 4 D v m/s 4. Un conuttoe ettilineo è costituito a ue semi-ciconeenze che assieme costituiscono una spia i aggio. e ue semiciconeenze hanno esistenza complessiva pai a. Al cento ella spia gane viene posta una secona spia cicolae i aggio s << e i esistenza elettica s. A un ceto istante viene applicata una ieenza i potenziale ΔVkt alla spia gane estena, con k positivo tale a a cicolae una coente in senso oaio. apeno che opo un tempo t la caica totale che luisce lungo la spia piccola è q, calcolae 1) la costante k e ) la coente inotta nella spia piccola speciicanone il veso. ΔV s s Dati: 8 cm, 15 Ω, s 5 cm, s 4 Ω, t s, q 1-1 C uano viene applicata una..p. ΔV, la spia gane viene pecosa a una coente vaiabile nel tempo in senso oaio pai a i kt Al cento ella spia è quini pesente un campo magnetico i moulo pai a (t) μ i l lusso el campo magnetico sulla spia piccola i aggio s è pai a Φ((t)) μ i π s a caica che luisce opo un tempo t lungo la spia piccola si calcola applicano la legge i Felici q Φ((t )) s μ kπt s s a cui k q s μ πt s 4.85 V/s l moulo ella coente inotta nella spia piccola è i i 1 s Φ((t)) antioaio) t μ kπ s s A (in senso

11 FCA GENEAE 3 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Una supeicie cilinica conuttice i aggio 1 e altezza molto maggioe el aggio è ivestita a un guscio cilino i mateiale ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica elativa ε i aggio esteno 1 e aggio esteno. apeno che sulla paete el conuttoe è pesente una concentazione i caica σ, calcolae: 1) la 1 ieenza i potenziale pesente ta le ue paeti el guscio ielettico, ) la ensità ε elle caiche i polaizzazione pesenti sulle paeti el guscio ielettico. Dati: σ1-1 C/m, 1 cm, 3 1, ε 3 Dalla elazione D s si icava che ento il guscio ielettico è pesente lo spostamento σ elettico D( ) 1 u, ove è la geneica istanza all asse el sistema, a cui coispone un campo σ elettico E( ) 1 u. εε σ a ieenza i potenziale ta le ue paeti ( ) ( ) 1 V 1 V E( ) ln V εε 1 1 a ensità supeiciali elle caiche i polaizzazione σ σ p ( 1 ) P( 1 ) n ( ε 1) C/m σ, σ ( ) ( ) 1 p P( ) n ε 1 ε ε C/m ) Ta i punti A e, ove è pesente una ieenza i potenziale V, è pesente un sistema i conensatoi isolato con l inteuttoe apeto. A un ceto istante l inteuttoe viene chiuso. Una volta ipistinata la nuova conizione i equilibio, calcolae: 1) la ieenza i potenziale ta i punti A e ; ) la vaiazione ell enegia elettostatica. Dati C 1 C1 mf, C C, C 3 C, V V Pima ell apetua ell inteuttoe sui conensatoi è pesente la stessa caica VCseie C V 5 a chiusua ell inteuttoe povoca la scompasa ella caica pesente sul conensatoe C mente, esseno il sistema isolato, la caica pesente su conensatoi C 1 e C 3 imane inalteata. Esauita la ase tansitoia, la ieenza i potenziale ta i punti A e 4 V V1 + V3 V 16 V C C V a vaiazione i enegia potenziale U in U in 1.6 J C 5 C 5 C 1 C C 3 A

12 3) l cicuito n1. ipotato nella igua accanto è a egime quano, a patie all istante t, nel cicuito n. inizia a scoee una coente (t)kt, ove k è una costante positiva. apeno che M è il coeiciente i mutua inuzione ta i ue cicuiti, calcolae: 1) l anamento ella coente 1 (t) che scoe nel cicuito n.1 a patie ell istante t; ) la vaiazione i enegia immagazzinata nell inuttoe una volta tascoso un intevallo i tempo t»/. Dati: 4 V, M1 mh, mh, k5 A/s, 5 Ω M i (t) 1 Duante la ase tansitoia, la coente che scoe nel cicuito n1. può essee eteminata applicano la legge alle maglie i Kichho 1 M km 1 1 t t t km isolveno l equazione si ottiene la soluzione ( ) t 1 t cost ep, ove τ, einita a τ meno i una costante. mponeno che nel cicuito n.1 la coente iniziale 1 ()/, si ottiene const km t ovveo ( t) + km 1 ep 1 τ 1 km in in J a vaiazione i enegia immagazzinata U ( ) 1 4) Una spia cicolae i aggio, ove è pesente una ensità i caica lineae λ<, centata nel punto z, è posta in otazione attono all asse z con velocità angolae ω. Nel punto zh ell asse i otazione ella spia è pesente una spia i momento magnetico m oientata in moo a omae un angolo θ con la iezione positiva ell asse z (vei igua). Calcolae: 1) il momento meccanico M agente sulla spia i momento m ; ) il lavoo esteno necessaio a uotae la spia i momento m paallelamente alla iezione elle z negative. Dati: λ-1 6 C/m, h3, m. Am, ω a/s, θ3 -λ z h θ ω m a spia in otazione equivale a una spia pecosala una coente otazione mente è la caica complessivamente pesente sulla spia. Nel punto zh si genea un campo negativa ell asse z. µ ( + h ) 3 3 ( ) λω, ove T è il peioo i T µ λω.4 T ietto secono la iezione 1 l momento ha moulo Mmsin(θ)4 1-4 Nm e è ietto in veso entante ispetto al piano ella igua accanto l lavoo elle oze estene est U U m mcos( θ ) in in J π θ m

13 FCA GENEAE Appello a.a Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti Una sottile bacchetta i mateiale isolante ha oma semicicolae i aggio. ulla metà supeioe è uniomemente istibuita una caica +q e sulla metà ineioe è istibuita +q + uniomemente una caica q. Nel cento ella semiciconeenza O è isposto un ipolo + + O elettico i momento oientato in moo a omae un angolo con la iezione oizzontale. Calcolae: 1) il momento meccanico agente sul ipolo; ) il lavoo elle oze estene necessaio pe uotae il momento ino a ispolo in iezione oizzontale (tascuae la oza peso). Dati: q1-1 C, 5 cm, 3, p1-6 m C q - p Nella pate ineioe e supeioe ella semiciconeenza la caica è istibuita con una ensità lineae i moulo q. Applicano il pincipio i sovapposizione si ottiene che nel punto O agisce un campo elettico ietto veticalmente veso il basso i moulo l momento agente sul ipolo igua e ha moulo pai a M pe cos m N l lavoo elle oze estene è sin V/m. 4 E è ietto in veso entante ispetto al piano ella + E - E E ) Un paallelepipeo i lunghezza, elimitato a ue piani i sezione posti in coisponenza i e, è isposto secono il sistema i ieimento ipotato nella igua accanto. l paallelepipeo è costituito a un mateiale ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica. All inteno el volume è pesente un potenziale elettostatico V()b 3, ove b è una costante positiva. Calcolae: 1) le caiche i polaizzazione complessivamente pesenti sulle supeici e all inteno el volume el ielettico; ) l enegia elettostatica contenuta all inteno el paallelepipeo. Dati: b V/m 3, 4 cm, cm, 3. z y Dalla elazione si icava che il campo elettico è ietto solo lungo l asse V( ) E 3b. Petanto, l unica componente el vettoe i intensità i polaizzazione è P 1 E a ensità supeiciale è: p p C a caica i polaizzazione supeiciale totale isulta petanto pai a a ensità i volume a caica contenuta nel volume è 3 1 b pv p p C 4 5 E 9 b 9 b enegia contenuta nel paallelepipeo U J 1

14 3) Un ilo ettilineo pecoso a una coente stazionaia, ietta in veso uscente ispetto al piano ella igua, è isposto lungo l asse i un anello i mateiale conuttoe i aggio inteno 1 e aggio esteno. apeno che l anello si sposta con velocità costante v ietta lungo lo stesso veso ella coente, calcolae la ieenza i potenziale pesente ta il boo inteno e quello esteno ell anello. Dati: A, v1 m/s, 31. v 1 All inteno ell anello è pesente un campo elettomotoe moulo pai a: v E ( ) v( ), ove è la istanza al cento ell anello. All equilibio, all inteno ell anello, si instaua un campo elettostatico v a ieenza i potenziale è petanto V E o ln s V 1 4) Un conensatoe a acce piane e paallele ha le amatue i oma cicolae i aggio poste a istanza. ulle amatue è pesente una caica. apeno che all istante i tempo t, il conensatoe viene collegato a una esistenza, calcolae: 1) l intensità ella coente i spostamento che attavesa lo spazio ta le amatue al tempo t1; ) l espessione el campo i inuzione pesente all inteno el conensatoe a istanza / ai centi elle ue amatue cicolai. Tascuae gli eetti i boo. Dati: 1 cm, 3 mm, 1-6 C, 1 MΩ e t15 s. l valoe ella capacità el conensatoe è 1 C pesente sulle amatue vaia secono la legge t e All inteno el conensatoe è pesente un campo elettico ietto veso il cento ell anello i.9 pf. A patie all istante t la caica t ove C s. E t t ietto otogonalmente alle t amatue. a coente i spostamento all inteno el conensatoe è icavabile all espessione - - v E - t v E - - Dalla elazione a cui si ottiene che al tempo t1 vale in moulo s ( t 1 ).63 A. si ottiene, t, t J t s t e ietto lungo la ciconeenza i aggio / 4 a cui si icava che l espessione el campo magnetico vale

15 FCA GENEAE 1 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Una caica positiva è istibuita all inteno i una sea i aggio in moo a poue al suo inteno un campo elettico aiale E( ) k, ove è la geneica istanza el punto consieato al cento O ella sea mente k è una costante positiva. Calcolae: 1) il potenziale elettostatico V(O) al cento ella sea assumeno nullo il potenziale a istanza ininita; ) l enegia potenziale i tale coniguazione i caica. Assumee il sistema i caiche nel vuoto. Dati: k1 V/m, 1 cm 3 Applicano il teoema i Gauss alla supeicie limite si ottiene E 4πk ε a cui si ottiene la caica complessivamente contenuta all inteno ella sea. n altenativa la ensità i caica può essee icavata a ρ ε ive 3ε k ovveo ρτ π ρ 4πε k τ 3 l potenziale al cento ella sea è k 3k V ( O) E( ) k V 4πε 4 πε enegia potenziale è ( ) 4 k k U ε ε π ε π πε E 4π 4πk 4πk + + 4πε 5 5 ostitueno i ati si ottiene U J ) Una sea conuttice i aggio contenente una caica è pe metà immesa all inteno i un ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica ε mente l alta metà è immesa nel vuoto. icavae l espessione: 1) el campo elettico in tutti i punti ello spazio; ) ella capacità el conuttoe. ε l campo elettico all inteno ella sea (<) è nullo. Nello spazio esteno (>) il campo elettico segue in tutti punti lo stesso anamento esseno ietto aialmente e, i conseguenza, paallelo alla supeicie i sepaazione vuotoielettico. Detti D ε E e D 1 ε ε E i vettoi spostamento elettico E pesenti ispettivamente nel vuoto e nel ielettico e applicano D a un supeicie seica concentica al conuttoe i aggio > si ottiene π ( D + D1 ) πε E( 1+ ε ) ovveo E. a sea si tova a un potenziale πε ( 1+ ε ) V E( ) πε ( 1+ ε ). a capacità è petanto C πε ( 1+ ε ) V

16 3) Un conuttoe cilinico ineinito è pecoso a una coente istibuita con ensità ( ) k J ietta veso il basso, ove è la istanza el geneico punto all asse el cilino mente k è una costante positiva. All inteno i tale cilino è isposta una spia ettangolae i altezza h con ue lati paalleli all esse el cilino ispettivamente a istanza 1 e. apeno che la spia è pecosa a una coente ietta in veso antioaio calcolae:1) la oza agente sui lati A e C ella spia; ) l enegia potenziale meccanica ella spia. Dati: k1 A/m 4, 1 5 cm, 1, A, h cm J 1 A C h Applicano il teo. i Ampee lungo una ciconeenza i aggio contenuta all inteno el cilino e concentica con l asse si ottiene: C 3 l J k 3 µ π ( ) µ µ π ovveo ( ) k 4 F C ietto in veso uscente ispetto al piano ella spia ettangolae. A F A Da F il si ottiene che la oza agente sul lato A i moulo 4 4 ( 1 ) µ ( ) k FA N è ietta veso il basso. a oza agente sul lato C i 1 3 µ kh F C N è ietta veso l esteno µ kh U h 1 m J 16 moulo ( ) h ( ) enegia potenziale meccanica è Φ( ) ( ) 1 4) Una spia cicolae i aggio a, i esistenza complessiva. collega le amatue i un conensatoe i capacità C inizialmente scaico. a spia è inseita all inteno i un lungo solenoie lungo un piano otogonale all asse el solenoie stesso. apeno che nell avvolgimento i ensità n el solenoie scoe nell intevallo i tempo (,T) una coente (t)kt, con k costante positiva, calcolae:1) il coeiciente i mutua inuzione ta solenoie e spia; ) la coente inotta all istante tt/ nella spia in moulo e veso giustiicanone il motivo. Tascuae gli eetti i autoinuzione. Dati k1 A/s, a5 cm, n1 4 spie/cm, T s, MΩ, C1 µf a C n(t) l lusso concatenato con la spia ( ) ( µ n ) πa Φ( ) M µ nπ a Φ. l coeiciente i mutua inuzione H. Nella spia viene inotta una oza elettomotice i M km t che pouce una coente oientata in veso oaio. A patie all istante t la caica pesente sulle amatue el conensatoi vaia come ( t) t τ i C 1 e con τc. T T i a coente è quini ata a e τ A t T t

17 FCA GENEAE Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti Esecizio n. 1 All inteno ella zona i spazio elimitata a ue piani illimitati posti in V - e + è istibuita una caica secono la ensità i volume ρ ( ) k, ove k è una costante positiva. apeno che la ieenza i potenziale ta il piano meiano in ρ() e il piano in + V()-V(+) V, calcolae: a) il valoe i k, b) l espessione el - + campo elettico in tutti punti con >. Dati: cm, V1 V Applicano il Teo. i Gauss al cilino ipotato nella igua accanto si ottiene pe -<< 3 E E( ) A NT Ak ove NT Ak' ' e quini ε 3 E() A E() 3 k pe-< < E ( ) 3ε 4 k 1ε a ieenza i potenziale è V E( ) a cui si ottiene V k.66 C/m 5 1ε Pe > e <- E E( ) A NT Ak k ove NT Ak' ' e quini E ( ). ε + 3 3ε Esecizio n. Una sea conuttice i aggio 1 è ciconata a un guscio seico i mateiale ielettico omogeneo e isotopo i aggio inteno 1 e aggio esteno 1 con costante ielettica elativa ε. apeno che sulla sea conuttice si tova una caica libea, calcolae: a) il potenziale a cui si tova il conuttoe, b) l enegia elettostatica el sistema, c) le caiche i polaizzazione complessivamente pesenti sulle supeici e nel volume el guscio ielettico. Dati 1-6 C, 1 3 cm, ε 4. ε l potenziale ella sea è V V πε 4 4 ε πε πε 1 ε 1 ε a capacità ella sea è ata a C 8πε pf mente l enegia immagazzinata V ε + 1 U.94 J. C ulle supeici el ielettico è pesente una caica i polaizzazione tale che p ( ) p ( 1 ) con p ( ) P( ) 4π ( ε 1) C. ε a caica i polaizzazione nel volume el guscio è nulla in quanto ρ p iv( P) esseno il vettoe P popozionale a che ha ivegenza nulla. 3

18 Esecizio n. 3 A patie all istante t un conuttoe è pecoso a una coente ( t) ep( t / τ ) uniomemente istibuita sulla sua sezione cicolae i aggio 1 secono il veso ipotato nella igua accanto. Una spia cicolae i aggio << 1 è posta a istanza 1 / all asse el conuttoe, pepenicolamente alla sezione el conuttoe in moo che la sua nomale sia otogonale al aggio. apeno che la esistenza complessiva ella spia è s, calcolae. a) la coente inotta all istante tτ, b) l enegia complessivamente issipata sulla spia. Tascuae gli eetti i autoinuzione e assumee valia l ipotesi i quasi stazionaietà. Dati 1 4 cm, s5 Ω, A, τ s,.5 mm Applicano il Teo. i Ampee a un geneica ciconeenza i aggio concentica con il conuttoe si ottiene l ( )π µ ( ) ove la coente concatenata con la ciconeenza è ata a ( ) ( t) J µ π. i ottiene quini a istanza ( ) ( t) µ ( t). l lusso π1 π1 4π 1 concatenato con la spia Φ( ) ( ) ( t) i ( ) e ( t τ ) µ µ π ( t) 41 mente la coente inotta è ata a 1 Φ. enegia complessivamente issipata è s t 41τ s 1 ( ) µ U D si t t. ostitueno i ati numeici si ottiene i(tτ) A mente τs 4 1 U D J 1 (t) n Esecizio 4. Deteminae: a) il valoe ella capacità i un conensatoe piano con amatue quaate i lato a poste a istanza alle misue singole a(1.4±.1) cm e (1.3±.3) mm. uccessivamente a N misue i a e aette a eoi casuali e inipenenti si ottengono i seguenti valoi mei e eviazioni stana: a cm, σ a.84.. cm, mm, σ.6.. mm. Calcolae:b) la pobabilità che un ulteioe misua i onisca un valoe 1.3 mm<< 1.4 mm, c) il valoe ella capacità con una conienza el 95.4 %. ε a a) C F ; a a δc ε + δa δ F C(1.3±.5) pf b) z , z.615, P(1.3<<1.4)F(z )-F(z 1 ).4 σ σ ε a C σ F, a σ σ a, σ N N δc a + a σ a σ C(1.3±.13) pf F

19 FCA GENEAE 1 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) All inteno i un guscio seico i aggio inteno 1 e aggio esteno è istibuita una caica secono la istibuzione volumica ρ()a/, ove a è una costante positiva mente è la geneica istanza i un punto al cento el guscio. a supeicie estena el guscio è tenuta a potenziale nullo ponenola in contatto elettico con una sea concentica i 1 O mateiale conuttoe i aggio e spessoe tascuabile collegata a tea. apeno che il cento O ella sea è a potenziale V e assumeno il sistema i caiche nel vuoto, eteminae il valoe ella costante a. Dati V 5 V, 1 4 cm, 1 a caica contenuta nell geneica sea i aggio 1 << ( ) è NT ( ) ρ( )4π πa 1 Applicano il teoema i Gauss si ottengono pe il moulo el campo elettico le seguenti espessioni: pe << 1 E ; 1 << ( ) a E NT 1 1 ; > 4 E πε ε 1 l potenziale al cento ella sea caica è 4ε cui si ottiene V a C/m 1 a 1 a V 1 E( ) 1 ε 4ε 1 a ) Un conensatoe piano, le cui amatue i aea sono a istanza, è iempito totalmente a un ielettico isotopo la cui suscettività ielettica vaia secono la + elazione χ ( ) b ( 1 b), ove b è una costante positiva e la istanza i un punto geneico inteno al conensatoe ispetto all amatua caica positivamente. apeno che sulle amatue è pesente una caica i moulo, icavae: 1) l espessione ella - capacità el conensatoe; ) l espessione ella caica i polaizzazione ispettivamente pesente sulle supeici e nel volume el ielettico. l campo elettico D e lo spostamento elettico E sono entambi ietti otogonalmente ispetto alle amatue. Applicano la continuità ella componente nomale ello spostamento elettico si ottiene D σ εε ( ) E( ) ove ε ( ) 1+ χ( ) 1 ( 1 b) ovveo E( ) ( 1 b) ε a ieenza i potenziale ta le amatue ( ) ( 1 ) b V E b ε ε ε a capacità el conensatoe C V b l vettoe intensità i polaizzazione è ietto lungo l asse e ha un moulo b P( ) ε ( ε ( ) 1) E( ). e caiche i polaizzazione supeiciali sono pesenti solo nella supeicie in contatto con l amatua caicata negativamente. a caica complessivamente pesente in tale supeicie è ps σ p P( ) b. Nel volume è pesente un caica i polaizzazione con ensità P b ρ p. e caica i polaizzazione pesente nel volume pv ρ pτ b p. τ

20 3) n una egione ello spazio iniviuata al sistema i ieimento i cooinate catesiane ipotato nella igua accanto, è pesente un campo magnetico H i componenti H -ay, H y b, H z ove a e b sono elle costanti positive. icavae: 1) l espessione elle componenti el vettoe ensità i coente pesente in tale egione; ) l espessione ella coente concatenata con il quaato i lato l avente un vetice coinciente con l oigine O el sistema e ue lati appatenenti ai semiassi > e y>. Dalla elazione J ot(h ) si ottiene J ( a + b)k O z y l l al + a coente concatenata J ( a + b) cicuitazione Hl l 3 bl o stesso isultato si ottiene calcolano la 4) Da una seie i 1 misue i esistenza elettica e coente elettica, inipenenti e aette a eoe casuale, si itiene con un livello i conienza ell 88 % che il valoe veo ella potenza issipata sulla esistenza è compeso all inteno ell intevallo 81 W P 99 W. apeno che il valoe meio 5.5 Ω e che la eviazione stana σ 1.5 Ω, eteminae: 1) la pobabilità i ottenee un singolo valoe i misua >.3 A; ) la pobabilità i ottenee un singolo valoe i misua i che non isti al coisponente valoe veo più i.3 A a ascia i valoe è centata attono al valoe P 9 W a cui si icava P.4 A incetezza δp 9 W P kσ kσ + con k tale che F( k) F( k).88 ovveo k apeno σ σ 1.15 Ω, all espessione ell incetezza si icava σ σ σ 1.4 A.3 1) a pobabilità P(>.3 A) P z > z F(-.4)F(.4).66 σ ) a pobabilità P (.3 µ +.3) P( 1.5 z.1. 5) µ F(1.5) A ovveo

21 FCA GENEAE 3 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti Esecizio n. 1 Della caica statica è istibuita nel vuoto con ensità lineae uniome λ 1 e λ ispettivamente su un ilo semicicolae posto nel piano ella igua accanto e su un ilo ettilineo i lunghezza ininita pepenicolae alle stesso piano e passante pe il cento ella semiconeenza. i calcoli la oza agente sul ilo semicicolae. Dati numeici : λ C/m, λ C/m λ λ 1 λ F E q 1 λ1θ πε F F F cos( θ ) π λλ1 F u cos( θ ) θ u πε π λ λ πε 1, F.9 N θ θ F Esecizio n. Un conensatoe piano con amatue i aea mantenute a una ieenza i potenziale V, è isposto pepenicolamente all asse z con l amatua positiva in z e quella negativa in z. o spazio compeso ta z e z/ è iempito con un ielettico omogeneo e isotopo i constante ielettica elativa ε, mente nella V pate imante c è il vuoto. i icavi:1) la caica pesente sulle amatue; ) la ensità supeiciale ella caica i polaizzazione; 3) l espessione ell anamento el potenziale V(z) nello spazio compeso ta le amatue assumeno V(). Dati: V1 V, ε 3, 1 cm, mm ε - z / + 1 3ε a capacità el conensatoe è ata a +, C 6.6 pf C εε ε a caica sulle amatue si ottiene alla elazione C V C mponeno la continuità ello spostamento elettico D ε ε E1 εe si ottiene il campo elettico nel ielettico E1 e nel vuoto E. ε ε ε a ensità elle caiche i polaizzazione è ata a ( ) ( ε ) P E 1 σ p ε ε C/m ε l potenziale V(z) può essee icavato alle seguenti elazioni: z z pe z V ( z) E1z ε ε z pe z V V ( z) Ez ; V ( z) z ε εε

22 Esecizio n. 3 Nel sistema i ieimento catesiano ella igua accanto, ue ili ineiniti istanti, paalleli all asse z, sono pecosi a coente 1 e iette ispettivamente in senso uscente e entante ispetto al piano ella igua. Un caica puntiome q tansita nel punto P(/,,) con velocità v ietta in veso entante ispetto al piano ella igua. Calcolae la oza F agente sulla caica q. Dati : 1 4 A, 3 A, 5 cm, q1-6 C, v1 4 m/s 1 y z P v v Nel sistema i ieimento aottato, il campo 1 + nel punto P ha le seguenti componenti: 1 cos( θ ), sen( θ ) y 1, z ove µ µ T, π π T mente θπ/4. a oza F q v ha le componenti pai a : θ 1 v α F 1 F qv y ; Fy qv, F z a oza isultante ha moulo F qv + y N e oma con la iezione positiva paallela Fy all asse un angolo α a tan F Esecizio 4. A patie all istante t, la coente cicolante in una spia i aggio 1 t immesa nel vuoto viene atta vaiae secono la legge 1 ( t). Deteminae l enegia T issipata nell intevallo i tempo (,T) in un spia i aggio >> 1 e esistenza complanae e concentica con la spia i aggio 1.Dati: 1 1 mm, 1 cm, 5 Ω, 5 A, T1-6 s. 1 (t) 1 ( ) 1 Φ l coeiciente i mutua inuzione ta le ue spie è 1 µ M π Nella spia i aggio viene inotta una em i M 1 M. t T enegia complessivamente issipata è T M U i t T J

23 FCA GENEAE 5 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1 u una sbaetta sottile i lunghezza, posta nel vuoto, è istibuita uniomemente una caica elettica. Nel sistema i ieimento catesiano A y mostato in igua eteminae l espessione el campo elettico E nei punti: 1) A(,D); ) (D,). Pe quanto iguaa il campo nel punto A, con ieimento alla igua posta accanto si ottiene α ( ) ( ) ( ) sen α E A Ey Ey cos α α 8πε D 4πε D 4 α πε D D + Con ieimento alla igua ipotata sotto, il campo elettico nel punto è y E A α α E ( ) 1 1 E E 8πε 4 ( ) 8 D D D πε + πε ( D ) y E l cicuito ACD mostato in igua, pecoso a una coente stazionaia, è costituito a ue achi i ciconeenza i cento O e aggio ispettivamente pai a (tatto A) e 1 (tatto CD) mente i tatti AD e C sono ei aggi i lunghezza - 1. icavae: 1) il campo i inuzione magnetica pootto al cicuito nel cento O; ) l enegia meccanica el cicuito se questo si tova immeso in un campo i inuzione magnetica est uniome e ietto in veso uscente ispetto al piano ella igua. Dati: A, est T, θ3, 1 cm, 1. A D 1 θ C O Dalla 1 a µ legge i aplace si ottiene che il tatto A genea un campo θ A ietto in veso entante 4π µ ispetto al piano ella igua, il tatto CD genea un campo θ CD ietto in veso uscente mente i 4π1 tatti AD e C non anno contibuto in quanto l //. l campo pesente nel punto O ha moulo O µ θ T e è ietto in veso uscente. 4π 1 l cicuito possiee un momento magnetico i moulo m θ ( 1 ) ietto in veso entante. 3 enegia meccanica U mest θ 1 est J

24 3) Calcolae il coeiciente i autoinuzione el cicuito ipotato in igua sapeno che, a patie all istante t in cui si cotocicuita il geneatoe, nel cicuito cicola una caica complessivamente pai a. Dati: 1-4 C, 1 Ω, V. t Pima el coto nel cicuito scoe una coente /3 a cui coispone un lusso concatenato Φ N ( ) 3. Dopo un intevallo i tempo suicientemente lungo a patie alla cotocicuitazione la coente iventa e petanto anche Φ FN ( ). Φ Dalla legge i Felici N Φ FN TOT 9 Altenativamente, a patie all anamento ella coente uante la scaica ell inuttoe, si ottiene 3t ( t) t e 9 t a cui ottiene H 3 9 4) l valoe meio e la eviazione stana ella meia ottenuti a 4 misue i esistenza aette a eoe casuale sono ispettivamente 3 Ω e σ 3 Ω. Deteminae la pobabilità: 1) che svolgeno un ulteioe misua si ottenga un valoe i maggioe i 31 Ω; ) che svolgeno un ulteioe misua si ottenga un valoe i che isti a valo meio più i 15 Ω. a eviazione stana elle misue σ 4σ 19 Ω 31 3 P ( > 1 ) P z > z F(.53).7 19 P 15 ( > 15Ω) P( < 15Ω) P( z < Z.79) 1 F(.79) ( ).43 19

25 FCA GENEAE 5 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Nel sistema catesiano ella igua accanto, una caica è istibuita y uniomemente nell intevallo (-,) ell asse. Un ipolo elettico è posto nel punto (,) ell asse y con il momento i ipolo p isposto paallelamente p all asse. Calcolae il lavoo elle oze estene necessaio pe uotae il momento i ipolo ino a potalo in iezione paallela all asse y manteneno la posizione el ipolo invaiata. Dati: 5 cm, C p1-6 Cm l moulo el campo elettico geneato al geneico elemento i caica ininitesimo iniviuato all angolo α è ato a E ove λ y α, 4πε ( α ) cos cos( α ) E a cui si ottiene E α 8πε α e compenti el campo elettico lungo gli assi sono - O α α sin( α ) cos E α ( 1 cos( α )) ( α ) ; E sin( ) y α α 8πε 8πε 8πε 8πε ove tan 1 α ( ) l lavoo elle oze estene è ato a v p ( pe) ( pe) pe pe 1 cos( α ) FN N y 8πε (( ) sin( α )) -4.9 J - O ) Un conensatoe piano con amatue quaate i lato poste a istanza h, isolato e iempito con un ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica elativa ε, è caicato con caica. Calcolae la massima istanza alla quale può essee estatto il ielettico ainché il campo elettico nel conensatoe si mantenga ineioe al valoe E. Tascuae gli eetti i boo. Dati: cm, 1-1 C, ε 4, E 15 V/m h ε Estaeno il ielettico i una quantità la ieenza i potenziale pesente ta le amatue isulta pai a: ε ( ) V ( ) ove C( ) ε ε ) +. l coisponente campo elettico all inteno el C( ) h h V conensatoe è ( ) ( ) E h ε ( + ε ( ) ) l campo E() E si ottiene pe ε Eε ε cm

26 3) Un isco conuttoe sottile, i aggio e conucibilità σ, è immeso in un campo i inuzione magnetica cos(ωt) uniome e paallelo all asse el isco. icavae l espessione ella ensità i coente inotta J in unzione ella istanza all asse el isco. Calcolano la cicuitazione el campo elettico lungo una ciconeenza i aggio < si ottiene ( ) E l E t ( ) π π ω sin( ωt) ovveo E( ) ( ω ) ω sin t a ensità i coente inotta è J ( ) σe( ) σω sin( ) moulo è pai a ( ) ωt J isulta tangente alla geneica ciconeenza i aggio e in 4) Un conuttoe cilinico molto lungo, i aggio, è pecoso a una coente con ensità J istibuita uniomemente sulla sezione. icavae l espessione ell enegia magnetica immagazzinata all inteno i un tatto i lunghezza i conuttoe. Applicano il teoema ella cicuitazione i Ampee a una ciconeenza i aggio < concentica con l asse el conuttoe si ottiene ( ) l π µ J µ Jπ ovveo ( ) µ J enegia magnetica immagazzinata è ata a U ( ) π µ µ 3 J π 4 4 πµ J 16

27 FCA GENEAE 5 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Due lunghi ili conuttoi paalleli, ciascuno i sezione cicolae i aggio, sono isposti con i popi assi a istanza. u un ilo è istibuita una caica con ensità p A uniome λ, sull alto la ensità opposta λ. Calcolae: 1) la ieenza i potenziale ta i ue ili; ) il momento meccanico M agente su un ipolo p +λ -λ isposto veticalmente nel punto A equiistante ai ili secono lo schema ella igua accanto. Dati 5 mm ; 1 cm; p5 1-1 Cm; λ 1-1 C/m. Detta la geneica istanza i un punto P ispetto all asse el ilo caicato positivamente, il campo elettico è ato alla sovapposizione ei campi geneati sepaatamente ai ue ili i cui mouli, lungo la congiungente, sono λ λ ispettivamente pai a E+, E πε πε Pe calcolae la ieenza i potenziale si può integae il campo elettico lungo la congiungente i ue assi otteneno E + p θ E - E +λ -λ E + E - + λ 1 1 λ V ln.1 V πε πε λ Nel punto A il campo isultante ha moulo E cos( θ ) ove θactan() 63 e è πε + oientato oizzontalmente. l momento agente M p E ha moulo MpE Nm e è ietto in veso entante ispetto al piano ella igua. ) Nel sistema i ieimento ipotato nella igua accanto, all inteno i un paallelepipeo i sezione elimitato ai piani e costituito a un ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica ε è pesente un campo elettico ietto paallelamente all asse E ( a + b ) i, ove a e b sono ue cosanti positive. icavae l espessione 1) ella caica libea ) ella caica i polaizzazione pesente complessivamente all inteno el volume el ielettico. z E y All inteno el ielettico è pesente un campo el vettoe spostamento elettico D ε ε E εε ( a + b ) i Attaveso la elazione iv( D ) ε ε b ρ è possibile icavae la caica libea complessiva ρτ εε b bεε. All inteno el ielettico è pesente un τ ε ( 1) ( 1) +. a ensità elle caiche i polaizzazione è ρp iv( P) ε ( ε 1) b campo el vettoe intensità i polaizzazione P ε E ε ε ( a b ) i p ρ pτ a cui si icava ε ( ε 1) b bε( 1). Altenativamente poteva essee utilizzata la ε τ elazione ρp ( ε 1) ε ρ

28 3 Un cicuito ettangolae i imensioni a e b è in moto con velocità uniome quano enta in una zona ove è pesente un campo uniome ietto in iezione entante ispetto al piano ella igua. apeno che la esistenza complessiva el cicuito è, icavae l espessione ella oza magnetica complessivamente agente sul cicuito. a b + v Detta la istanza pecosa alla spia all inteno ella zona in cui è pesente il campo, il lusso concatenato con la spia è ( ) Φ a, ove il veso ella nomale pe il calcolo el lusso è stato scelto in veso concoe a quello i ovveo entante. Dalla legge ell inuzione si icava che nel cicuito si inuce 1 Φ( ) a av una coente che coispone a un coente i t t moulo cicolante in veso antioaio. Nei lati el cicuito immesi nel campo si oigina una oza meccanica in accoo alla a legge i aplace. Nei lati i imensione b la isultante elle oze è nulla ato che F F3. Nel lato i imensione a v a si oigina la oza isultante i moulo F F1 a che agisce in veso opposto a v F F 3 F 1 4) Un conensatoe i capacità C4 mf inizialmente a ieenza i potenziale V V si scaica a patie all istante t attaveso un esistenza 5 Ω. Assumeno che l incetezza elativa i V sia pai al % e che quella i C e i sia tascuabile, eteminae il valoe ella coente che scoe attaveso il cicuito all istante t6.±.1 ms. V t t ep C a coente che scoe nel cicuito è espessa alla elazione ( ) 3.88 A δv. V 4 V δ V t 1 t δt + δv ep δt ep δv A t V C C C (3.9±.1) A

29 FCA GENEAE 4 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1 Un ipolo elettico i momento p si tova nel campo elettico geneato a un cilino illimitato, i sezione cicolae i aggio, uniomemente caico con ensità i p caica positiva ρ. Deteminae l espessione: 1) ella oza esecitata sul ipolo nella posizione A a istanza 1 > ispetto all asse el cilino con p // 1 ; ) el lavoo che le ρ 1 p oze estene evono compiee pe potae il ipolo alla posizione A alla posizione a istanza > con p A. ρ Applicano il teoema i Gauss si ottiene campo elettico E ( ) µ pe >. ε E 1 ρ p ε 1 Nella posizione A la oza F ga( pe) p u u 1 l lavoo elle oze estene ( pe) ( pe) ET ρ p A ε 1 ontano a alti copi, un sea conuttice i aggio a è ivestita a un guscio seico i mateiale ielettico omogeneo e isotopo i costante ielettica ε i aggio inteno a aggio esteno b. a sea è collegata a tea attaveso un geneatoe i oza elettomotice come mostato nella igua accanto. icavae: 1) l espessione ello spostamento elettico D pesente in un geneico punto all esteno ella sea conuttice; ) il lavoo compiuto al geneatoe pe caicae la sea. Dati: 1 V, ε, a cm, b3a Nel conuttoe seico è pesente un caica C 1 ove C 6πε a E( ) + 4πε ε a b b è la capacità el conuttoe. a ε b a 3ε a Dalla elazione iv( D) ρ si icava lo spostamento elettico D u u pe >a che non 4π subisce iscontinuità all inteaccia ielettico-aia. l lavoo eogato al geneatoe GEN C 6πε a J

30 3) Ta le amatue i un conensatoe piano cicolae pieno i un ielettico i costante ielettica elativa ε è pesente una ieenza i potenziale V(t) V sen(ωt). apeno che la istanza ta le amatue è pai a, si calcoli l espessione el campo magnetico H() pesente ta le amatue in unzione ella istanza all asse i simmetia el conensatoe. ε + - V(t) All inteno el conensatoe è pesente una istibuzione uniome i coente i spostamento che genea un campo H le cui linee i oza sono isposte lungo le ciconeenze concentiche all asse el conensatoe εe t ( ) Dalla cicuitazione Hl calcolata lungo la geneica coneenza i E π. t aggio concentica all asse el conensatoe si ottiene H ( ) ε π Teneno conto che si icava H ( ) V ω cos( ωt) E V ε ε l 4) Da una seie i misue i coente elettica aette a eoe casuale si ottengono seguenti valoi: 3.9, 3.88, 4.3, 3.91, 3.96 A. Con un livello i conienza ell 85% icavae: 1) la misua i ; ) l intevallo a cui appatiene un ulteioe misua i ; 3) quali ta i valoi peceentemente ipotati i sono signiicativamente ivesi al valo veo. A patie alle misue i si ottiene: A; σ.6 A; σ.69 A 1) ( ± kσ ) con k tale che F(k)-F(-k).85 ovveo F(k).95 coisponente a k 1.44 a cui si ottiene (3.936±.39) A ) intevallo è ( ± kσ ) ovveo (3.936±.87) A 3) valoi signiicativamente ivesi sono quelli che non appatengono nell intevallo ipotato al punto n.. l valoe 4.3 A non ienta in tale intevallo

31 FCA GENEAE 4 Appello A.A Cognome Nome n. mat. Coso i tui itiato Voto 1 ceiti 9 ceiti 1) Una caica puntiome q itova inizialmente sul piano meiano i una istibuzione i ρ caica con ensità volumica costante ρ compesa ta ue piani paalleli ineiniti istanti. q Calcolae il lavoo ichiesto pe taspotae q in un punto P situato all esteno ella egione P ella caica a una istanza al piano più vicino. Dati: q-1-6 C, ρ1-6 C/m 3, 4 cm, cm. Applicano il teoema i Gauss si ottengono pe il campo elettico geneato alla istibuzione i caica le seguenti espessioni: q ρ ρ ρ pe <</ E ; pe >/ E. l lavoo elle oze estene è est q( VFN VN ) ove ε ε VN VFN P + ρ ρ ρ + El + ε ε ε 4 O / qρ ostitueno si ottiene ET J ε 4 ) Nel cicuito in igua il conensatoe piano con amatue i aea poste a t istanza è iempito con un ielettico omogeneo non peetto i costante ielettica elativa ε e esistività ρ. l cicuito è a egime quano all istante t l inteuttoe viene apeto. icavae: (a) l anamento ella coente che scoe C attaveso la esistenza speciicano i valoi ei temini che compaiono nell espessione; (b) il valoe ell enegia complessivamente issipata nella esistenza. Dati: ρ 1 3 Ωm, cm, 1 mm, ε 4, 1 V, 1 kω a pesenza elle peite nel ielettico può essee appesentata a una t esistenza intena i ρ 1 kω in paallelo alle amatue el conensatoe i capacità ε ε C F C i Nel conensatoe è inizialmente pesente una caica C C che in accoo al cicuito t ipotato accanto pe t> iminuisce come ( t) e τ ove τ C i + i s a coente che tavesa la esistenza è t ( ) ( t) t e τ. enegia complessivamente issipata è C τ U D ( t) t J 3) Un anello i mateiale i pemeabilità magnetica µ è coassiale a una coente ettilinea stazionaia. l aggio inteno ell anello è mente la sezione è quaata i lato. icavae: (a) l espessione el vettoe intensità i magnetizzazione; (b) il valoe ell enegia immagazzinata nell anello. Dati: 1 A, 5 cm, 1 cm; µ 1