M = T R = Iα = I a R. a. Dall equazione lungo l asse x si ricava quindi F A = Mgsinθ m 2 a Ma. µ D Mgcosθ = Mgsinθ ( m 2 + M)a.

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1 Esecizio 1 Un copo di dimensioni tascuabili e di massa M si tova in cima ad un piano, inclinato di un angolo θ e alto h. È collegato tamite una coda inestensibile di massa tascuabile ad una caucola cilindica di massa m e aggio R. La coda si sotola dalla caucola senza scivolae mente il copo scende lungo il piano. Calcolae il valoe del coefficiente di attito dinamico ta copo e piano, se l acceleazione del copo è pai ad b. Calcolae la velocità del copo in fondo al piano inclinato. Calcolae quale altezza deve avee un piano liscio con la medesima inclinazione in modo tale che il copo aivi in fondo con la velocità calcolata al punto b. Compito A: M = 4.9 g, θ = 40 o,h = 1 m, m = 1.8 g, R = 11 cm, a = 2.8 m/s 2 Compito B: M = 4.5 g, θ = 35 o, h = 1 m, m = 1.6 g, R = 9 cm, a = 2.4 m/s 2 Consideiamo un sistema di ifeimento in cui cui l ass x sia paallelo al piano inclinato in diezione discendente, l asse y in diezione pependicolae al piano, l asse z sia uscente dal foglio. Scomponiamo le foze che agiscono sul copo di massa M lungo gli assi x e y: x : Mgsinθ T F A = Ma y : N = Mgcosθ dove T è la tensione esecitata dalla fune e F A è la foza di attito, F A = µ D N. Olte a µ D, anche la tensione T non è nota, ma possiamo icavala analizzando il moto della caucol Il momento (M) delle foze che agiscono su di essa, calcolati ispetto al suo cento, è un vettoe dietto lungo l asse z, e vale M = T R = Iα = I a R α ha un valoe negativo nel sistema di ifeimento consideato (otazione in senso oaio). Si deduce che T = I R 2 a = m 2 Il peso della caucola e la eazione del vincolo che la sostiene (e che impedisce una sua taslazione) hanno momento nullo ispetto al suo cento. Dall equazione lungo l asse x si icava quindi F A = Mgsinθ m 2 a Ma µ D Mgcosθ = Mgsinθ ( m 2 + M)a µ D = tgθ ( m 2M + 1) a gcosθ

2 b. Poichè l acceleazione del copo è costante, vale la elazione vf 2 = v2 i + 2a x, dove v i e v f sono le velocità iniziali e finali in due momenti del moto duante i quali si pecoe un tatto x con acceleazione Nel nosto caso a è un dato del poblema, v i = 0 e x = h v f = sinθ : 2ah sinθ NOTA. Si poteva pocedee anche facendo consideazioni enegetiche, tenendo conto dell attito e senza dimenticae (!) l enegia cinetica della caucola (o equivalentemente il lavoo della tensione T ). La vaiazione di enegia meccanica del sistema è pai al lavoo delle foze non consevative: da cui si icava E f E i = ( 1 2 Mv Iω2 ) Mgh = µ D Mgcosθ h sinθ = µ DMgh tgθ 2gh(1 µ D /tgθ) 1 + m/2m Se il piano è liscio, agiscono solo foze consevative e l enegia meccanica del sistema (fomato dal copo e dalla caucola) si consev Ponendo lo zeo dell enegia potenziale gavitazionale alla base del piano: (1) E i = Mgh = 1 2 Mv Iω2 = E f Mgh = 1 2 Mv2 + 1 ( mr2)( v ) 2 1 = R 2 Mv2( 1 + m ) 2M ( h = v2 1 + m ) 2g 2M NOTA. Si poteva pocedee anche utilizzando la soluzione tovata al punto b. (eq 1), applicandola nel caso in cui non ci sia attito: 2gh 1 + m/2m da cui, uguagliando le due velocità tovate si icava ( h = h 1 µ ) D tgθ NOTA CONCLUSIVA: l equivalenza delle soluzioni pe v e h tovate con i due divesi metodi descitti ichiede solo di utilizzae la soluzione algebica tovata pe µ D al punto SOLUZIONI NUMERICHE: Compito A: µ D = 0.40, b m/s, h = 0.53 m Compito B: µ D = 0.35, b m/s, h = 0.50 m

3 Esecizio 2 Una stazione spaziale obita attono ad un pianeta di aggio R e massa M ad una quota di R/2 sopa la supeficie. Calcolae la velocità della stazione spaziale. b. Calcolae il peiodo di ivoluzione della stazione spaziale attono al pianet Gli occupanti della stazione spaziale lanciano oa un azzo. Calcolae la velocità minima che deve avee tale azzo ispetto alla stazione spaziale pe fuggie al campo gavitazionale del pianet G = m 3 g 1 s 2 A: R = 6300 m, M = g B: R = 3400 m, M = g Se la stazione spaziale obita ad altezza = 3 2 R dal cento del pianeta, la foza di gavità (F G) esecitata dal pianeta su di essa deve fonie l acceleazione centipeta necessaia pe pemettee questa obita cicolae. Indichiamo con m la massa della stazione spaziale, con v la sua velocità lineae e con ω la sua velocità angolae (v(d) = ωd). da cui si icava GM 2GM = 3R F G = G mm 2 = m v2 = mω2 = F C (2) b. Utilizzando la elazione ta ω e il peiodo di ivoluzione T, ω = 2π/T, dall eq.(2) si icava anche da cui G mm 2 ( 2π ) 2 = m T 3 27R T = 2π GM = π 3 2GM La velocità di fuga -v F, ispetto al pianeta- pe un azzo che si tova ad altezza dal cento dello stesso si icava ponendo la sua enegia totale pai a zeo: 1 2 mv2 F G Mm = 0 4GM da cui v F = 3R. La velocità minima ispetto alla stazione spaziale (v R) coisponde al caso in cui il azzo sia lanciato nella medesima diezione di moto della stazione e vale quindi v R = v F v SOLUZIONI NUMERICHE: Compito A: m/s, b. T = s = 2.54 h, v R = m/s Compito B: m/s, b. T = s = 3.07 h, v R = m/s

4 Esecizio 3 Un copo di dimensioni tascuabili e massa m si tova su un piano oizzontale scabo. Il coefficiente di attito dinamico ta il piano e il copo µ D. Viene spinto conto una molla di massa tascuabile e costante elastica compimendola di x. Il copo viene dunque lasciato, la molla si decompime e dal momento in cui il copo si stacca dalla molla si muove lungo il piano pe un tatto d, pima di femasi utando un copo di massa M, che successivamente cade in un buone pofondo h. Deteminae: il tempo t tascoso ta il distacco della massa m dalla molla e il suo uto con M; b. quale velocità acquista il copo di massa M subito dopo l uto; a quale distanza dalla base del buone attea il copo di massa M. A: m = 2.0 g; = 400 N/m; x = 0.22 m; d = 1.7 m; M = 1.8 g, µ D = 0.1, h = 2m B: m = 2.3 g; = 300 N/m; x = 0.24 m; d = 1.3 m; M = 1.9 g, µ D = 0.1, h = 2m Dalla compessione della molla al momento in cui il copo m si stacca da essa (con velocità v), la vaiazione dell enegia meccanica del sistema è pai al lavoo delle foze non consevative (c è attito, il piano è scabo). Poniamo lo zeo dell enegia potenziale gavitazionale al livello del piano, quello dell enegia potenziale elastica nella posizione di iposo della molla: E f E i = 1 2 mv2 1 2 x2 = µ D mg x da cui m x2 2µ D g x NOTA. Sono state consideate esatte anche le soluzioni che non consideavano la pesenza dell attito nel tatto x, come indicato a voce duante la pova scitt Se la foza di attito agisce solamente dopo il distacco della massa m dalla molla, l enegia cinetica del copo dopo il distacco deve essee pai all enegia potenziale accumulata dalla molla in fase di compessione: e quindi m x. E f = 1 2 mv2 = 1 2 x2 = E i Il copo poi si stacca dalla molla (non agisce più quindi la foza elastica) e pecoe un tatto d in cui è pesente l attito, e valgono le medesime consideazioni appena fatte sulla vaiazione di enegia meccanic Aiva al temine del piano con velocità v 1 che si icava da E f E i = 1 2 mv mv2 = µ D mgd

5 e quindi si tova v 1 = v 2 2µ D gd = m x2 2µ D g( x + d) Mente pecoe il tatto d il copo si muove di moto unifomemente acceleato con a = µ D g patendo con velocità v e aivando con velocità v 1 : il tempo impiegato a pecoee questo tatto si può icavae dalla elazione pe le velocità del moto unifomemente acceleato v 1 = v + at da cui t = v v 1 µ D g b. Quando m uta M, si fema e duante l uto si conseva la quantità di moto: mv 1 = Mv dove indichiamo con v la velocità acquisita dal copo di massa M a causa dell uto. Vale quindi v = m M v 1 Appena utato il copo M compie una taiettoia paabolica con velocità iniziale paallela al teeno e in modulo pai a v. Sia x un asse dietto come v, posto all altezza del teeno del buone e oigine all inizio dello stesso, e y un asse pependicolae al teeno e dietto veso l alto (in questo sd la posizione iniziale della massa M è (0,h)). In questo sd le equazioni del moto sono x : x = v t y : y = h 1 2 gt2 Il tempo di volo si icava dalla seconda equazione ponendo y = 0 (la posizione di atteaggio), da cui 2h t = g : la posizione lungo l asse x in cui il copo attea è quindi x : x = v 2h g. SOLUZIONI NUMERICHE (NB nel caso in cui si considei l attito anche nel tatto x): Compito A: t = 0.63 s, b. v = 2.70 m/s x = 1.73 m Compito B: t = 0.54 s, b. v = 2.57 m/s x = 1.64 m