TEORIA DELLA GRAVITAZIONE

Transcript

1 LEGGI DI KEPLEO EOI DELL GVIZIONE Dopo la ivoluzionaia teoia eliocentica del monaco polacco Copenico, Giovanni Kepleo fomulò te leggi a coeggee e miglioae ulteiomente il modello copenicano. Egli è infatti il pimo a fomulae una teoia eliocentica in cui le obite dei pianeti non sono cicolai ma lievemente ellittiche. L enunciato delle te leggi di Kepleo è:. Le obite dei pianeti sono ellittiche e il sole occupa uno dei due fuochi. Peielio Sole felio. Il aggio vettoe che unisce il sole al pianeta spazza aee uguali in tempi uguali. nalogamente la velocità aeale è costante. Si può dimostae la legge utilizzando il pincipio di consevazione del momento angolae. attandosi di un sistema di foze centali, tali cioè pe cui F 0 in ogni punto, il momento angolae si conseva. Infatti: L M f (il momento della foza è uguale alla vaiazione del momento angolae nel tempo). t Se M 0 L 0 quindi L cost. Si avà alloa che, consideate due posizioni qualsiasi sull obita, L L, cioè: m / v m /. v Se moltiplichiamo pe t avemo: v t v t e, dato che v t s, alloa: s s s s ee pecose in tempi uguali sono uguali.. I quadati dei peiodi di ivoluzione sono popozionali ai cubi dei semiassi maggioi delle obite. K a

2 LEGGE DELL GVIZIONE UNIVESLE DI NEWON Consideiamo pe semplicità cicolae l obita di un pianeta P intono al sole. La foza che tiene il pianeta sulla sua obita è una foza centipeta: Sole Pianeta F dove a c ω, petanto c ma c F c mω. icodando che la velocità angolae è ω π e sostituendo avemo: F m Ma, secondo la teza legge di Kepleo, K, cioè: K. alloa F m / /. K m e K sono costanti; quindi F C, dove C è una costante. Da qui deduciamo che la foza di gavità deve essee diettamente popozionale alla massa e invesamente popozionale al quadato del aggio. Pe il pincipio di azione e eazione questa foza deve essee la stessa anche consideando la foza di attazione della tea agente sul Sole. M s F C, quindi la foza è popozionale anche alla massa del Sole. La foza di inteazione gavitazionale è alloa: F G. La foza di gavità agisce lungo la congiungente le due masse, è popozionale alle masse e invesamente popozionale al quadato della distanza ta i loo baicenti. Nm G è la costante di gavitazione univesale, fu deteminata da Cavendish e vale 6,67 0. Kg PES DELL E ILNCI DI CVENDISH Le masse M e m si attaggono ecipocamente con la stessa foza: F G. Si cea una coppia di foze Il sistema gia ma il filo si oppone alla otazione; il a momento di tosione elastica è M K α. d un ceto punto il momento di tosione e il momento della coppia di foze gavitazionali si eguagliano, il sistema è in equilibio. Misuo l angolo α coispondente alla situazione di equilibio ed eguagliando i due momenti posso icavae gli elementi incogniti: Kα G baccio. Da qui si può icavae il valoe di G e, di conseguenza, la massa della tea. P mg La foza peso sulla ea coisponde alla foza di attazione gavitazionale ta M P G mg la massa del copo e la massa della ea. / L acceleazione di gavità sulla tea è espessa da questa fomula. Nota g, noto (misuato già da Eatostene intono al 00 a.c.), misuata G, si g 4 può calcolae la massa della ea, che isulta cica 0 kg.

3 CONCEO DI CMPO e CMPO GVIZIONLE Il concetto di campo fu elaboato da Faaday e Maxwell nella seconda metà del 800 in elazione agli studi sull elettomagnetismo, quando si tovò che le foze elettiche si compotavano come quelle gavitazionali, agivano cioè a distanza. Newton non aveva fatto ipotesi pe isolvee il poblema dell azione a distanza, su cui pue si inteogava. Pe secoli si continuò ad ipotizzae l esistenza di un etee, stana sostanza con popietà contaddittoie che avebbe dovuto taspotae l impulso della foza gavitazionale e le onde luminose. Il concetto di campo è fondamentale in tutta la fisica contempoanea, elimina il poblema dell azione a distanza sostituendo al vuoto inteposto ta i copi l idea di un ente fisico continuo che pemea lo spazio ed è eale, nel senso che taspota enegia e quantità di moto. Petanto l azione ta masse e caiche non è istantanea ma viene tasmessa da punto a punto vicino, da istante a istante vicino in modo continuo dal campo. CMPO GVIZIONLE GENEO D UN SOL MSS Pe veificae l esistenza del campo gavitazionale utilizzo una massa di pova. La massa subisce una foza F dietta veso il cento. In ogni punto potei appesentae il campo con un vettoe. Definisco in modo opeativo campo gavitazionale g il appoto ta la foza gavitazionale e la massa su cui agisce: F g m m Il campo gavitazionale è quindi la foza gavitazionale agente pe unità di massa. Si misua in, s ha le dimensioni di una acceleazione. Se M è la massa che genea il campo: G / g se il copo è sulla supeficie della tea: g 0, acceleazione di gavità e campo gavitazionale coincidono. d una quota h, g. + h ( ) Le linee del campo o linee di foza sono linee tangenti in ogni punto al vettoe campo, nel nosto caso sono semiette oientate veso il cento della tea.

4 LVOO NEL CMPO GVIZIONLE Ipotizzo di spostae una massa m da un punto a un punto del campo e calcolo il lavoo svolto dalla (o conto la) foza gavitazionale.. Gli unici pezzi di tagitto che contibuiscono al lavoo sono quelli adiali, in quanto sugli achi di ciconfeenza foza e spostamento sono pependicolai. In definitiva lo spostamento utile pe il calcolo del lavoo è: s M M. La foza in è F G La foza in è F G Devo utilizzae un valoe medio della foza, consideo la media geometica, che è la adice del podotto F F F G quindi il lavoo saà: L G ( ) cioè L G G U U. il lavoo è la diffeenza ta l enegia potenziale gavitazionale nel punto e l enegia potenziale gavitazionale nel punto. L enegia gavitazionale in un punto è definita a meno di una costante U G + c ; è peò lecito ipotizzae che, a distanza infinita dalla massa M, la foza e l enegia gavitazionale tendano a zeo: U 0 pe. Quindi: 0 G + c che implica c 0. Petanto l enegia gavitazionale in un punto è data da U G ; l enegia potenziale gavitazionale è negativa. ende a zeo all infinito e tende a - avvicinandosi al cento della tea. PINCIPIO DI CONSEVZIONE DELL ENEGI NEL CMPO GVIZIONLE L G G L + U E E (teoema dell enegia cinetica) U Uguagliando le due espessioni del lavoo, si tova che la somma dell enegia cinetica e dell enegia potenziale gavitazionale è costante in ogni punto, essendo e scelti a caso: G cost. 4

5 MOO DEI SELLII Pincipio di consevazione dell enegia nel campo gavitazionale teeste G cost Se lancio una massa dalla tea, questa potà pecoee taiettoie divese a seconda della velocità impessa cioè dell enegia iniziale. Potà fae obite chiuse (ellissi, ciconfeenze) che potanno intesecae o meno la tea, a seconda che il copo icada o stia in obita. Saanno obite apete (paabole, ipeboli) se il copo sfugge al campo gavitazionale e non tona indieto. OI CICOLE La foza centipeta coincide con la foza di gavità v m G / / ottengo un alto modo pe espimee l enegia cinetica. G mm pplico il pincipio della consevazione dell enegia E tot G G G < 0. Pe un obita cicolae l enegia totale è negativa. Questo isultato può essee genealizzato a tutte le obite chiuse. Significa che non ho dato abbastanza enegia al copo pe potalo veso. Vince l enegia gavitazionale e quindi E tot < 0. OIE PEE Poiché in questo caso la massa aggiunge il punto all infinito, si ha che in quel punto l enegia gavitazionale è zeo e quindi l enegia totale è: E 0 L enegia totale, pe il pincipio di consevazione, è sempe maggioe o uguale a zeo in ogni punto. E tot 0 v 0 coisponde all obita paabolica. E tot 0 v 0 coisponde all obita ipebolica. > PIM VELOCIÀ COSMIC La pima velocità cosmica è quella che possiede un satellite in gado di obitae intono alla tea su un obita di aggio uguale a quello della tea. Uguaglio ancoa foza di gavità e foza centipeta: / / v / la velocità è di 7,9 ks. 5

6 SECOND VELOCIÀ COSMIC O VELOCI DI FUG È la minima velocità necessaia affinché l oggetto non toni indieto e vada fino all infinito. Pe questo è detta velocità di fuga. Coisponde all obita paabolica, pima obita apeta, in cui E tot 0. v / / 0 la velocità è di, ks. SELLIE GEOSZIONIO O SINCONO Un satellite è geostazionaio se obita intono alla tea con lo stesso peiodo di otazione della tea. In tal modo può stae sempe sulla veticale dello stesso luogo sulla supeficie teeste. Vogliamo calcolae che velocità deve avee e a che altitudine deve stae. Uguagliamo la foza centipeta e la foza di gavità: / / + h/ v ( + h) + h G / otteniamo: La velocità nel moto cicolae ea v π Uguaglio le due espessioni pe la velocità: ovo : ( + h) + h ( + h) π ( + h) + h + h (si icava pe inciso veifica della teza legge di Kepleo ( ) ) Sapendo che s, icavo ( + h) ; l altitudine h è alloa cica 6000 chilometi. Posso sostituie il dato nella fomula e ottengo v ks. 6