Vista dall alto. Vista laterale. a n. Centro della traiettoria

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1 I poblema Un ciclista pedala su una pista cicolae di aggio 5 m alla velocità costante di 3.4 km/h. La massa complessiva del ciclista e della bicicletta è 85.0 kg. Tascuando la esistenza dell aia calcolae a) l intensità della foza di attito esecitata dalla pista sulla bicicletta (specificae se attito statico o dinamico); b) Le componenti della foza complessiva esecitata dalla pista sulla bicicletta (componente tangente alla taiettoia, nomale alla taiettoia e veticale). c) Come cambiano le isposte ai punti pecedenti quando il ciclista inizia a fenae facendo diminuie la sua velocità con un acceleazione di 0.50 m/s? Vista dall alto Vista lateale a n a n Cento della taiettoia Domanda a) Il ciclista pecoe una taiettoia cicolae con modulo della velocità costante. Questo significa che il moto è acceleato con acceleazione centipeta data da: a n acceleazione nomale (pependicolae) alla taiettoia dietta veos il cento di cuvatua 44 a c 443 acceleazione centipeta Ci deve essee una foza che fonisce questa acceleazione. Deteminiamo le foze agenti sul copo (ciclista + bicicletta). Bisogna cecae ta i copi pesenti intono al copo e che possono inteagie con esso. Inteazioni a distanza: foza peso (veticale dovuta alla tea) Inteazioni pe contatto: l unico copo a contatto con il ciclista+bicicletta è la pista. La pista eseciteà quindi una eazione vincolae. Questa foza è composta dalla componente nomale (che vuol die pependicolae al vincolo, in questo caso il piano della pista) N e da una componente tangente al vincolo (paallela al piano della pista) che è la foza di attito. Nel nosto caso la foza di attito saà una foza di attito statico, peché i punti di contatto della uota della bicicletta sono femi ispetto alla pista. Il diagamma del copo libeo saà petanto: v R Vista dall alto Vista lateale F as Cento della taiettoia F as N P

2 Si ossevi che solo la foza di attito, ta quelle agenti, è dietta oizzontalmente, paallelamente al piano della pista, quindi è l unica in gado di fonie l acceleazione centipeta. Sciviamo la seconda legge di Newton (vettoiale): P + N + F as ma Poiettiamo la seconda legge di Newton lungo la diezione tangente, u t, la diezione nomale (nel piano della taiettoia, ad essa pependicolae e dietta veso il cento di cuvatua), u n, e la diezione veticale, y. u t F ast ma 4 t u t y L'acceleazione tangeziale è nulla pechè il modulo della velocità è costante F asn ma n m v R N P 0 ( veticale non c'è moto nella diezione ) Vista dall alto u n u t Vista lateale u n y Cento della taiettoia La foza di attito ha solo la componente nomale (o centipeta, al limite anche adiale va bene tenendo pesente che la diezione adiale è opposta a u n ) e vale: F asn ma n m v R Poiché la taccia fonisce il valoe della velocità in km/h, pima di tovae la foza di attito occoe tasfomala in m/s. v 3.4 km h 000m s 3.4 0m 36s 9 m s Petanto: F asn ma n m v R 8m 85kg s 5m 75.4N Domanda b) La foza applicata dalla pista sul ciclista è la eazione vincolae, le cui componenti sono la nomale N e la foza di attito. Petanto: La componente tangenziale F ast 0 Non c è acceleazione tangenziale: il moto è cicolae unifome. La componente nomale F asn 75.4N La componente veticale N833.9N Dalla poiezione sull asse y si ottiene: N mg 85kg 9.8 m s 833.9N Domanda c) La foza applicata dalla pista sul ciclista è la eazione vincolae, le cui componenti sono la nomale N e la foza di attito. Petanto:

3 La componente tangenziale (tangente alla taiettoia) F ast ma t F ast ma t 85kg ( 0.50) m s 4.5N in questo caso la componente tangente dell acceleazione non è nulla. La componente nomale (nel piano della taiettoia ma pependicolae ad essa) F asn 75.4N All inizio della deceleazione la velocità è cica uguale a quella iniziale. Quando il ciclista inizia a deceleae, la componente nomale o centipeta della foza di attito è uguale a quella già calcolata. La componente veticale N833.9N Dalla poiezione sull asse y si ottiene: N mg 85kg 9.8 m s 833.9N In conclusione non appena il ciclista inizia a deceleae la foza di attito esecitata dalla pista avà una componente tangente alla taiettoia di 4.5 N dietta in veso opposto al moto, ed una componente nomale (o centipeta, al limite adiale, ecc) di 75.4 N. Man mano che passa il tempo il modulo della velocità diminuisce e quindi diminuisce anche la componente centipeta della foza di attito.

4 II poblema Due casse, di massa 75 kg e 0 kg ispettivamente, sono in contatto ta loo e feme su di una supeficie oizzontale. Una foza di 730 N viene esecitata sulla cassa di 75 kg. Se il coefficiente di attito dinamico è 0.5, calcolate l acceleazione delle casse e la foza che ciascuna cassa esecita sull alta. F 75 kg 0 kg Applichiamo la legge di Newton ai due copi massa 75 kg e 0 kg. Dobbiamo innanzitutto individuae le foze agenti sui due copi. La iceca delle foze agenti su un paticolae copo può essee effettuata individuando i copi pesenti nell ambiente cicostante il copo in esame e tenendo conto che i copi pesenti nell ambiente cicostante possono inteagie a distanza (foza peso) o pe contatto. I copi pesenti nell ambiente cicostante il copo da 75 kg sono: l agente esteno: la taccia ci dice che una agente esteno applica la foza F al copo di massa 75 kg. la tea: la pesenza della tea è deducibile dall aggettivo oizzontale pesente nella taccia. Questo aggettivo ha significato solo sulla supeficie della tea (o di un alto pianeta). Ci dobbiamo attendee che sul copo di massa 75 kg agisca la foza peso. La supeficie oizzontale: il copo di massa 75 kg è a contatto con la supeficie oizzontale. Ci aspettiamo quindi che la supeficie oizzontale eseciti una foza, del tipo eazione vincolae, sul copo di massa 75 kg. Come tutte le eazioni vincolai essa avà sicuamente la componente nomale (pependicolae al vincolo e cioè alla supeficie oizzontale) e potà avee anche una componente tangente al vincolo e quindi paallela alla supeficie oizzontale che è la foza di attito. Questa foza saà di attito statico se i due copi imangono femi dopo l applicazione della foza F, dinamico se i copi si muovono. Il fatto che la taccia fonisca ta i dati solo il coefficiente di attito dinamico ci pota a pensae che, dopo l applicazione della foza F, i due copi si muovano sulla supeficie oizzontale. Salvo veificae a posteioi che sia effettivamente così, possiamo isolvee il poblema in questa ipotesi. Il copo di massa 0 kg: il copo di massa 75 kg è anche a contatto con il copo di 0 kg. E lecito attendesi che ci sia una foza agente sul copo da 75 kg dovuta all alto copo. Questa foza saà una eazione vincolae, che sicuamente avà una componente pependicolae alla supeficie del copo da 0 kg a contatto con il copo da 75 kg, ma potebbe anche esseci una componente tangente a questa supeficie, del tipo foza di attito (possiamo comunque povae a isolvee il poblema supponendo assente questa foza). Concludendo, il diagamma delle foze agenti sul copo da 75 kg è mostato in figua. In maniea analoga pe il copo di massa0 kg, i copi pesenti nel sua ambiente cicostante sono: la tea: ci dobbiamo attendee che anche sul copo di massa 0 kg agisca la foza peso. La supeficie oizzontale: il copo di massa 0 kg è a contatto con la supeficie oizzontale. Ci aspettiamo quindi che la supeficie oizzontale eseciti una foza, del tipo eazione vincolae, sul copo di massa 0 kg con una componente nomale e una di attito (dinamico)

5 Il copo di massa 75 kg: il copo di massa 0 kg è anche a contatto con il copo di 75 kg. E lecito attendesi che ci sia una foza agente sul copo da 0 kg dovuta all alto copo del tipo eazione vincolae con la sola componente nomale. Questa foza foma con quella agente sul copo da 75 kg e dovuta al copo da 00 kg una coppia di azione e eazione: le due foze sono uguali pe quanto iguada i moduli e le diezioni ma opposte in veso. F F ad 75 kg N F F F ad 0 kg N P P Sciviamo la seconda legge di Netwon pe i due copi: 75kg : F + N + P + F ad + F m a 0kg: F + N + P + F ad m a Intoducendo una sistema di ifeimento e passando alle componenti: y 75kg : F F ad F m N - m g 0 0kg: F F ad m N - m g0 F 75 kg 0 kg x Ossevando che duante il moto i due copi imangono a contatto, quindi, e che le foze di inteazione hanno lo stesso modulo, si ottiene: N m g75kg 9.8 m s 735N N m g 0kg 9.8 m s 079N F F ad F m F F ad m sommando membo a membo F F ad F ad m + m sostituendo le espeesioni delle foze di attito F µn µn ( m +m )

6 sostituendo le espeesioni delle Nomali F µm g µm g ( m +m ) F m + m si ( )µg ( m + m ) L'acceleazione comune vale: F µm ( +m )g m +m 730N 0.5 ( 75kg + 0kg )9.8 m s 75kg +0kg 730N 7N 85kg.48 m s Sostituendo in una delle due elazioni di patenza possiamo ottenee la foza di inteazione: F m + F ad m + µm g m ( +µg)0kg(.48 m s m s ) 434.7N In conclusione possiamo notae che l acceleazione comune è positiva, dietta cioè nello stesso veso della foza applicata. Vuol die che applicando la foza F effettivamente i due copi si mettono in moto. Questo giustifica a posteioi la nosta scelta di consideae l attito dinamico e con i vesi mostati nel diagamma delle foze. Se l acceleazione fosse isultata di segno opposto, concode cioè con le foze di attito, alloa l ipotesi di un egime di attito dinamico non è veificata. Il poblema andebbe isolto supponendo che la foza F non iesca a mettee in moto i due copi e, di conseguenza, consideae l attito statico.

7 III poblema L acobata di un cico, di massa 75 kg, salta veso l alto dalla cima di una piattafoma con una velocità di 5 m/s (si supponga l angolo fomato dalla tangente alla taiettoia con il piano oizzontale nel punto di stacco sia di 60 ). Quale saà l altezza massima, al di sopa della piattafoma, aggiunta? Quale saà la sua velocità nell atteae su un mateasso elastico te meti (h) più in basso? Se il mateasso si compota come una molla di costante elastica 5.x0 4 N/m, di quanto si abbasseà? Come cambiano le isposte ai punti pecedenti pe un angolo di stacco di 45? h Duante il moto dell acobata, le foze agenti su di esso, la foza peso e la foza elastica quando è a contatto col il mateasso elastico, sono consevative. Conviene petanto isolvee questo poblema con la consevazione dell enegia meccanica. Domanda Consideiamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui viene aggiunta la massima altezza. E i E f consevazione dell'enegia meccanica totale K i + U i K f + U f mv i + 0 mv i cos L'enegia cinetica al top della taiettoia è data dal moto lungo l'asse x, che è un moto a velocità costante + mgh max da cui si icava h max v i ( cos 60 ) v i sen 60 g g 5 m s m s 0.94m Domanda Consideiamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui l acobata tocca il mateasso. E i E f consevazione dell'enegia meccanica total K i + U i K f + U f da cui si icava v f v i + gh 5 m + s 9.8m 3m s mv i + 0 mv 5 f mgh m s m 3m 9.5 s m s Domanda 3 Consideiamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui l acobata si fema sul mateasso elastico.

8 E i E f consevazione dell'enegia meccanica totale K i + U i K f + U f mv i mg h + x ( ) + kx da cui si icava kx mgx mgh mv i x, mg ± m g + mghk + mkv i 735.7N ± N N 3m N/ m + 75kg N /m5m /s N /m 735.7N ± 8099N N /m +0.36m 0.33m k Nel nosto caso x deve avee lo stesso segno di h, quindi deve essee positivo, va dunque scelta la soluzione x0.36 m Domanda 4 Cambia soltanto la massima altezza. E i E f consevazione dell'enegia meccanica totale K i + U i K f + U f mv i + 0 mv i cos L'enegia cinetica al top della taiettoia è data dal moto lungo l'asse x, che è un moto a velocità costante + mgh max da cui si icava h max v i ( cos 45 ) v i sen 45 g g 5 m s m s 0.6m

9 IV poblema L intensità della esistenza aeodinamica è dalla elazione D/ CρAv In cui C è il coefficiente di esistenza aeodinamica, ρ è la densità, A è l aea della sezione tasvesale massima del copo e v è la sua velocità. Stabilie le dimensioni di C e la sua unità di misua nel Sistema Intenazionale. C è un numeo puo. [ C] D CρAv C D ρav [ ] D ρ [ ] [ ][ v] [ ][ D] ρ [ ] A MLT [ ] A [ ] [ v] [ ][ ML 3 ] [ L ] [ LT ] [ MLT M L 3 L L T ]