Sistemi inerziali Forza centripeta e forze apparenti Forza gravitazionale. 03/11/2011 G. Pagnoni 1

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1 Sistemi ineziali Foza centipeta e foze appaenti Foza gavitazionale 03/11/011 G. Pagnoni 1

2 Sistemi ineziali Sistema di ifeimento ineziale: un sistema in cui è valida la pima legge di Newton (I legge della dinamica) Qualunque sistema di ifeimento in moto ettilineo unifome ispetto ad un ifeimento ineziale è un sistema ineziale Un sistema fisso o in moto ettilineo unifome ispetto alle stelle fisse è un sistema di ifeimento ineziale 03/11/011 G. Pagnoni

3 Sistemi ineziali La ea uota intono al popio asse e intono al Sole, peciò un sistema fisso ispetto alla ea non è un sistema ineziale a a c-iv. = c-ot. = m s m s Nella maggio pate delle situazioni saà possibile tascuae queste piccole acceleazioni e consideeemo ineziale un sistema solidale con la ea 03/11/011 G. Pagnoni 3

4 I Pincipio della dinamica In un sistema di ifeimento adeguato, un punto mateiale non soggetto a foze imane immobile o conseva il suo stato di moto ettilineo unifome. Il pimo pincipio della dinamica ha due aspetti: 1) In un sistema adeguato (ineziale) un moto non ettilineo ed unifome indica la pesenza di foze; ) Il ilievo di moto non ettilineo ed unifome in assenza di foze indica l inadeguatezza del sistema di ifeimento. 03/11/011 G. Pagnoni 4

5 I Pincipio della dinamica Un sistema di ifeimento è adeguato (ineziale) quando è immobile o si muove di moto ettilineo unifome ispetto ad un sistema ineziale Sole ea 03/11/011 G. Pagnoni 5

6 Sistemi di ifeimento non ineziali L opeatoe che descive un fenomeno in un sistema di ifeimento non ineziale pecepisce foze appaenti. Rv mg Fc mg 03/11/011 G. Pagnoni 6

7 Supponiamo che la isultante delle foze agenti su un punto mateiale pesenti una componente nomale alla taiettoia, questa componente causa l acceleazione centipeta dell oggetto: F N Foze centipete = ma N v = m R = mω R Dove R è il aggio di cuvatua della taiettoia. In geneale foze centipete sono podotte da otaie, pneumatici, fili ossia vincoli che consentono di incuvae la taiettoia oppue da foze gavitazionali 03/11/011 G. Pagnoni 7

8 Foze centipete Una paticella in moto cicolae unifome è soggetta ad una acceleazione centipeta a = v /R Una foza centipeta accelea un copo causando una vaiazione della diezione della velocità ma non del modulo Esempio: la foza che pemette ad un automobile di pecoee una cuva è l attito statico ta i pneumatici e l asfalto N f as P cento della cuva 03/11/011 G. Pagnoni 8

9 Foze centipete N f as Equazioni del moto: N Mg f as = M = 0 v R P cento della cuva Velocità massima: f as µ s N M v R µ s Mg v µ s gr 03/11/011 G. Pagnoni 9

10 Foza centifuga Una paticella in moto cicolae unifome è soggetta ad una acceleazione centifuga pe un ossevatoe non ineziale solidale con la paticella stessa Una foza centifuga tiene il copo femo nel sistema di ifeimento non ineziale. Esempio: l attito statico ta i pneumatici e l asfalto cessa (pedita di adeenza) la macchina esce fuoi stada in cuva: Equazioni del moto: N f Appaente v = M R P f as cento della cuva 03/11/011 G. Pagnoni 10

11 Nei sistemi di ifeimento che uotano di moto cicolae unifome ispetto ad un sistema di ifeimento ineziale è pesente una foza f C data da: a 0 : è l acceleazione centipeta (segno -) ispetto al sistema di ifeimento ineziale : distanza dall asse di otazione ω: velocità angolae del sistema di ifeimento v = ω: velocità del punto f C Foza centifuga f c mv = ma ˆ m ˆ 0 = = ω cesce al cescee di ed è dietta vesol esteno: FORZA CENRIFUGA 03/11/011 G. Pagnoni 11

12 Esempio Moto cicolae unifome di un copo vincolato ad un palo da una fune: 1) Nel sistema di ifeimento ineziale: = mv / ) Nel sistema di ifeimento in otazione: = mv / fc = mv / m 03/11/011 G. Pagnoni 1 m

13 Sistemi non ineziali Si dicono non ineziali un ossevatoe e il elativo sistema di ifeimento quando sono animati di moto acceleato. Sistema acceleato in moto ettilineo. Consideiamo ancoa l esempio del vagone e della palla. Vincoliamo oa la palla al bodo del tavolo mediante un dinamometo, appendiamo un pendolo al soffitto ed acceleiamo il vagone. 03/11/011 G. Pagnoni 13

14 Sistemi non ineziali Sia l ossevatoe ineziale A che quello non ineziale vedono il dinamometo allungasi e il pendolo allontanasi dalla veticale fino a aggiungee una nuova posizione di equilibio; tuttavia ciascun ossevatoe fonisce una spiegazione divesa. 03/11/011 G. Pagnoni 14

15 L ossevatoe femo spiega l aetamento della palla e del pendolo affemando che questi due copi tendono pe inezia a mantenee inalteate le popie velocità; pe essee più peciso, l ossevatoe O può anche die che, dovendo sia la palla che il pendolo muovesi di moto unifomemente acceleato, dovanno essee sottoposti all azione di due foze F el e x ' F = ma e = m a 03/11/011 G. Pagnoni 15 el x

16 L ossevatoe sul vagone inconsapevole di essee in moto unifomeete acceleato vede i copi in quiete: la condizione di equilibio viene spiegata intoducendo due foze appaenti tali che: ' ' F = F e F = 1 el x 03/11/011 G. Pagnoni 16

17 Sistemi non ineziali Sistemi in moto cicolae unifome. Un sistema in moto cicolae unifome non costituisce un sistema ineziale poiché in esso sono pesenti acceleazioni centipete. Pendiamo in consideazione una piattafoma otante a velocità angolae costante dove sono stati collocati i due copi già pesi in esame. 03/11/011 G. Pagnoni 17

18 Come nel caso pecedente sia i due ossevatoi ilevano lo spostamento dei due copi, ma danno intepetazioni divese di questi fenomeni. Pe l ossevatoe femo i copi, entambi animati di moto cicolae unifome, devono essee sottoposti a foze centipete: F = mω R = mω R el ' x 03/11/011 G. Pagnoni 18

19 Secondo l ossevatoe sulla piattafoma, i copi sono in quiete: la condizione di equilibio viene spiegata intoducendo due foze appaenti, dette centifughe, tali che: F = F F = F ' '' centifuga el centifuga x 03/11/011 G. Pagnoni 19

20 Esempio: foza di tascinamento Supponiamo di avee un sistema di ifeimento che si muova di moto unifomemente acceleato ispetto ad un sistema ineziale con acceleazione a. Pe quanto detto in pecedenza, l acceleazione di un punto mateiale nel sistema non ineziale saa data dalla isultante delle foze eali con in aggiunta l effetto di una foza fittizia che saa definita da: F' = ma' Questa foza e detta foza di tascinamento, o foza di inezia. Ne abbiamo tutti espeienza dietta: quando siamo in un veicolo in acceleazione, sentiamo di essee spinti all indieto, mente se il veicolo fena siamo sospinti in avanti. Ovviamente in nessuno dei due casi su di noi agisce una foza eale. Quello che osseviamo e l effetto di una foza fittizia in un sistema non ineziale. 03/11/011 G. Pagnoni 0

21 Esempi Pe capie meglio, facciamo un alto esempio: supponiamo di avee una cassa di massa m appoggiata sul pianale liscio di un caello inizialmente femo. Ad un ceto istante t 0 il caello inizia ad acceleae con acceleazione a 0. y a 0 x Sistema del laboatoio Cassa: non agiscono foze estene, imane fema nella posizione iniziale; Caello: si muove di moto ettilineo unifomemente acceleato. 03/11/011 G. Pagnoni 1

22 Esempi y -ma 0 x Sistema solidale con il caello Cassa: sente l effetto di una foza fittizia F =-ma 0 e si muove di moto unifomemente acceleato in veso opposto a quello del caello nel sistema del laboatoio. Caello: femo. 03/11/011 G. Pagnoni

23 Esempi Supponiamo oa di voleci pesae con una bilancia all inteno di un ascensoe che si muova con acceleazione a 0. La classica bilancia pesa-pesone misua in ealta la foza peso che esecitiamo su di essa. Se la nosta massa e m=75kg, che valoe indichea la bilancia? 7 5 a 0 Ascensoe in salita Nel sistema dell ascensoe la foza totale esecitata sulla bilancia saa F=mg-ma 0, il cui modulo e F=m(g+a): il peso segnato dalla bilancia e maggioe. 03/11/011 G. Pagnoni 3

24 Esempi 7 5 a 0 Ascensoe in discesa Nel sistema dell ascensoe la foza totale esecitata sulla bilancia saa sempe F=mg-ma 0, ma oa il modulo e F=m(g-a): il peso segnato dalla bilancia e minoe. Cosa succede se a 0 =g? 03/11/011 G. Pagnoni 4

25 M F g Gavitazione univesale F g F g m = G Mm Ogni copo esistente nell univeso attia ogni alto copo con una foza gavitazionale. G è la costante di gavitazione univesale Le foze di gavitazione esistenti ta due punti mateiali (ta loo opposte pe il pincipio di azione e eazione) hanno come etta di applicazione la etta individuata dalle posizioni dei due punti. L intensità della foza è popozionale al podotto delle masse dei punti mateiali e invesamente popozionale al quadato della loo distanza. Costante di gavitazione univesale: 03/11/011 G. Pagnoni 5 F g G = ˆ N m Kg

26 Gavitazione univesale M R m P = mg Mm F = G g g = G M ˆ ˆ ea F = G P = 686 R N M R m Sulla supeficie: Luna F = G L P = 113 N M RL R L L m 03/11/011 G. Pagnoni 6

27 SAELLII ARIFICIALI IN ORBIE CIRCOLARI v m sat M Gandezze petinenti al moto obitale dei satelliti Moto cicolae unifome: acceleazione centipeta di modulo costante v /. Sul satellite agisce la foza gavitazionale: alef impatisce al un acceleazione centipeta: l obita del satellite è un cechio. v a = F = G F a = m sat ˆ msatm ˆ M = G ˆ 03/11/011 G. Pagnoni 7

28 SAELLII ARIFICIALI IN ORBIE v m sat M CIRCOLARI Velocità alla quale la foza gavitazionale teeste fa sì che lo spazio che il satellite pecoe cadendo sia tale da mantenelo nella sua obita. 4π a = ω = 3 4π = GM GM a = Gandezze petinenti al moto obitale dei satelliti GM 03/11/011 G. Pagnoni 8 v =

29 03/11/011 G. Pagnoni 9 Esecizi(Esame 4/07/011) ( ) ( ) ( ) h R gr v M gr R M g R Mm F mg P h R M v h R v m h R Mm + = = = = = + = + = + γ γ γ γ γ

30 Esecizi(Esame 0/06/011) 03/11/011 G. Pagnoni 30

31 Esecizi 03/11/011 G. Pagnoni 31