Se i corpi 1 e 2 interagiscono solo fra loro e non con altri corpi si ha quindi l importante principio di conservazione della quantità di moto: dp r

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1 3. Dinamica Leggi di Newton Si intoduce il concetto di foza come misua della vaiazione dello stato di moto di un copo, ossevato in un sistema di ifeimento di pe se stesso non soggetto a foze (sistema ineziale). Le leggi della dinamica (leggi di Newton) definiscono in paticolae: - il tipo di sistema di ifeimento da usae pe misuae le foze (pincipio d inezia): sistema ineziale = sistema non soggetto a foze, in cui i copi non soggetti a foze si muovono a velocità costante. (esistono infiniti sistemi ineziali, tutti in moto unifome uno ispetto all alto) - come misuae la foza speimentata da un copo, ossevando il moto del copo: F dp / dt avendo definito la quantità di moto p = m v, essendo m = massa ineziale. Si noti che F = m a se la massa del copo è costante duante il suo moto (situazione più fequente in questo Coso). L unità di misua della foza nel Sistema Intenazionale è il Newton (N), mente quella della massa ineziale è il kilogammo (kg). - legge di azione-eazione: da constatazioni empiiche su espeimenti con uti fa copi si ha che F = F Se i copi e inteagiscono solo fa loo e non con alti copi si ha quindi l impotante pincipio di consevazione della quantità di moto: dp = d p dt dt d( p + p ) = 0 dt p + p =costante Misua della massa ineziale Concettualmente la massa ineziale espime la esistenza di un copo a modificae il suo stato di moto quando è soggetto a una foza. Consideando espeimenti con uti fa copi, dall ossevazione empiica che ha suggeito la legge di azione-eazione si ha un metodo pe

2 misuae la massa ineziale (che non è necessaiamente la stessa massa che si pesa con la bilancia, come vedemo discutendo la gavitazione successivamente!). In paticolae, supponiamo di condue una seie di espeimenti del tipo uto con due masse m e m. Secondo la legge di azione-eazione, ispettata fedelmente in questi espeimenti, dv m dt = m d v dt si tova sempe v = m v m avendo misuato pe ogni uto la diffeenza di velocità v = v (dopo) v (pima) pe i due copi. Supponiamo di non conoscee i valoi delle masse ineziali in gioco: negli espeimenti si tova semplicemente che il appoto m /m è costante in tutti gli uti. Quindi, se definiamo pe esempio una massa campione ineziale m = kg, da questi espeimenti si misua di fatto la massa m (in elazione a m ). Sostituendo in seguito m con m 3, si può ipetee l espeimento fa m e m 3 misuando quindi m 3, e così via. OSSEVAZIONE: spesso si usa il temine paticella invece di copo. Questo pe intendee un copo appossimativamente puntifome ma dotato di massa ineziale: si tatta di un utile semplificazione pe molti poblemi di dinamica elementae. Copi estesi dotati di massa veanno studiati successivamente nell ambito della dinamica del copo igido. Esempio: concetto di diagamma del copo libeo. Pe descivee coettamente la dinamica di un copo occoe definie con chiaezza l insieme di foze che agiscono su di esso. In un sistema con più copi inteagenti fa loo occoe ipetee la pocedua pe ciascuno di essi. Consideiamo ad esempio le due masse m, M spinte da una foza F su un piano liscio, e calcoliamo: a) acceleazione, b) foza pemente N fa le due masse. M y F m m M a x mg Mg

3 Pe pima cosa conviene identificae la diezione del moto (evidentemente veso desta) e scegliee vesi positivi (x,y) pe indicae foze e acceleazioni secondo la diezione del moto e secondo una diezione nomale ad essa. Tutte le foze e acceleazioni, che sono gandezze vettoiali, vengono così indicate come semplici quantità algebiche, con un segno +/- a seconda che siano diette secondo la diezione di ifeimento o opposte ad essa. Iniziamo con la massa m (la foza N podotta da M spinge m in modo da ostacolane il moto). Diezione oizzontale: ma= F N Diezione veticale: 0 = m mg Analogamente pe la massa M (si noti che pe la legge azione-eazione una foza di uguale intensità N podotta da m spinge in diezione opposta, cioè nel veso del moto). Diezione oizzontale: Ma= N Diezione veticale: 0 = M Mg Le due equazioni lungo la diezione veticale (dove non c è moto) stabiliscono semplicemente il valoe delle eazioni vincolai di appoggio esecitate dal piano su ciascuna massa, ovviamente uguali al peso delle ispettive masse. Le due equazioni nella diezione del moto invece foniscono le isposte alle domande poste dal poblema: a = N = Ma= F m + M M m + M F Esempio: funi inestensibili e pive di massa. Consideiamo una fune tesa, cioè pe definizione soggetta a foze A e B alle due estemità. A m B x Essendo la massa della fune m=0 e la sua acceleazione cetamente finita e 0: ma= 0 = B A Quindi le tensioni ai capi di un tatto di fune inestensibile e piva di massa devono essee uguali (A=B).

4 N.B.: lo stesso isultato vale pe un asta igida piva di massa, con la diffeenza che l asta può essee compessa invece che tesa (in ogni caso le foze applicate dall esteno alle due estemità devono essee uguali!) Foza di attito statico f s Dipende dallo stato delle supefici a contatto (che non stisciano) ed il suo valoe massimo è collegato alla foza pemente N pependicolae alla supeficie di contatto. Il valoe massimo della foza di attito statico è f s,max = μ s N il coefficiente di attito statico μ s dipende dalle popietà delle supefici a contatto. Consideiamo pe esempio una cassa di massa M fema e appoggiata su una supeficie oizzontale con coefficiente μ s. Supponiamo di spingee M con una foza F. Finchè F < f s,max la massa M imane in stato di quiete (v=0 e quindi a=0), cioè ma= 0 = F f s. Quindi la foza di attito è semplicemente uguale e opposta a F (appunto quello che occoe pe tenee M fema). Se F > f s,max l attito statico non iesce più a contastae totalmente la spinta F, quindi la massa M si muove oa in condizioni di attito dinamico. In questo esempio è f s,max = μ s Mg, ma la foza peso non è sempe la esponsabile della foza di attito massima (esempio: un copo che stiscia conto una paete veticale). Foza di attito dinamico f d Si sviluppa in condizioni di slittamento fa due supefici a contatto, e dipende dalle loo caatteistiche (sintetizzate dal coefficiente μ d ) e dalla foza pemente N nomale alle supefici. Puchè le supefici slittino, si può sempe scivee f d = μ d N

5 Esempio: deteminae l acceleazione delle masse (m= kg, M= kg) e la tensione della fune. Coefficiente di attito dinamico μ d =0.. T diezione del moto mg T Mg Pe la massa m: Diezione del moto: ma= T f d con f d = μ d N Diezione nomale: 0 = N mg Massa M (si noti l oppotunità di scegliee la diezione di moto comune pe le due masse) Diezione del moto: Ma= Mg T Quindi a, T sono la soluzione del sistema ma= T μ d mg Ma= Mg T a = (M μ m) d g =5.9 m/s m + M T = M( g a)=7.84 N Esempio: un caello di massa m lanciato a velocità v 0 nel piano oizzontale stiscia conto un muetto veticale cicolae (aggio della taiettoia = ), che esecita attito con un coefficiente μ d. Deteminae quanto spazio deve pecoee il caello pechè la sua velocità dimezzi. f d m v 0 piano oizzontale In questo caso la foza di attito dinamico non è assolutamente collegata alla foza peso, ma semplicemente alla foza pemente N conto la paete veticale (muetto). Anzi, è popio la

6 pesenza di N a pemettee alla massa m di compiee la taiettoia cicolae (seve una componente di acceleazione nomale o centipeta!). Specificando le foze nella diezione del moto e in quella nomale (dietta veso il cento della taiettoia): ma T = m dv dt = f d essendo f d = μ d N abbiamo: ma N = m v = N dv dx m dv dt = μ m v d dx dt = v dv dx = μ v d v (x ) dv dx = μ d v dv dx = μ d v v 0 x ln[ v(x)/ v 0 ]= μ d e infine: x = μ d ln pe v = v 0 / x 0 Moto elativo (sistemi di ifeimento in moto taslatoio) Consideiamo un sistema di ifeimento ineziale Oxy, e uno invece non necessaiamente ineziale, O x y. Supponiamo pe semplicità che quest ultimo si muova comunque mantenendo gli assi paalleli a quelli di Oxy (moto taslatoio, non necessaiamente unifome!). Pe esempio, Oxy potebbe essee un sistema solidale con la teafema, O x y un sistema solidale con una tavola galleggiante taspotata dalla coente di un fiume, e P una baca che si muove ispetto all acqua (l acqua è fema ispetto alla tavola!). y y P O x O x

7 Il vettoe posizione (t) misuato dall ossevatoe O è collegato a quello (t) misuato dall ossevatoe O dalla elazione (t) = (t) + (t) Pendendo la deivata ispetto al tempo di entambi i membi si ha la elazione fa le velocità misuate dagli ossevatoi O, O e quella di taslazione del sistema O x y ispetto a Oxy: v (t) = V (t) + v (t) Questa elazione è utile pe isolvee poblemi come il seguente: Esempio: un fiume scoe con velocità di 5 km/h. Una baca deve attavesalo pependicolamente: sapendo che la velocità massima in acqua fema è di 0 km/h, in che diezione deve puntae la baca? Qual è la velocità effettiva di attavesamento del fiume? v b/t v b/c v c/t Pe essee espliciti indichiamo: v c / t = velocità della coente ispetto a tea v b / t = velocità della baca ispetto a tea v b / c = velocità della baca ispetto alla coente (cioè ispetto all acqua) Quindi abbiamo: v b / t = v c / t + v b / c. Il poblema assegna v c / t (modulo v c / t = 5 km/h e diezione nel veso di scoimento) e v b / c =0 km/h. La diezione non è data esplicitamente, ma sappiamo che la somma vettoiale deve chiudee il tiangolo, peciò il disegno è quello sopa, da cui: v b / t = v b / c v c / t = 8.7 km/h. Sistemi non ineziali e foze appaenti Consideiamo nuovamente i due sistemi di ifeimento Oxy e O x y disegnati pima. Supponiamo di vole descivee anche le acceleazioni, pe cui basta deivae un alta volta: a (t) = A (t) + a (t) Secondo le leggi di Newton, essendo Oxy ineziale esso misua una foza totale F = ma agente sulla massa m che si tova in P. Quindi l ossevatoe O x y (che in geneale si muove con acceleazione A ispetto a Oxy senza sapee di essee non-ineziale) ceca di attibuie il

8 moto di P a una foza che enda conto dell acceleazione a che misua pe P nel suo ifeimento: m a = F m A È chiao che O x y iesce a intepetae il moto di P soltanto se alla foza vea F aggiunge una foza appaente di intensità e diezione pai a m A, che magai non sa spiegae, ma che pe l ossevatoe ineziale Oxy è chiaamente dovuta all acceleazione A di O x y. NOTA: dato che in geneale si fa spesso confusione nel isolvee poblemi di dinamica ponendosi in sistemi acceleati (non-ineziali) che ichiedono l uso coetto delle foze appaenti (dovute solo ad acceleazioni del sistema di ifeimento scelto), si consiglia di scivee sempe l equazione fondamentale della dinamica usando un sistema ineziale, femo ispetto a tea. Esempio: calcolae il peso appaente di una massa m indicato da una bilancia posta in un ascensoe che sale con acceleazione A=5 m/s. ispetto al sistema ineziale (asse x) su m agiscono due foze: la foza peso mg e la eazione vincolae della bilancia, N. Pe la legge di azione-eazione, N è pue la foza applicata dalla massa m sulla bilancia, ed è la foza pemente che la bilancia intepeta come il peso dell oggetto che le sta sopa. Sciviamo la legge di Newton pe m secondo l ossevatoe ineziale femo a tea (solidale con l asse x), che vede l ascensoe acceleae veso l alto: ma= N mg A m x pesa mg Quindi la foza pemente e di conseguenza il peso appaente egistato dalla bilancia è N = m(g + A)=48 N. In patica le bilance sono fatte pe indicae la massa, anche se in ealtà misuano una foza: in condizioni nomali una bilancia è fema in un sistema ineziale (A=0), e la massa che indica è la foza pemente diviso g. Se A 0, la massa indicata dalla bilancia saà m( + A / g). Se l ascensoe fosse in caduta libea (quello che si veifica pe

9 esempio in una navicella in obita attono alla Tea), A=-g e il peso appaente (o la massa misuata dalla bilancia) isulta nullo. Esempio: foza appaente centifuga in un sistema di ifeimento che descive una taiettoia cicolae. Consideiamo un sasso di massa m legato a una fune lunga, che viene fatto oteae in un piano oizzontale attono al punto O. Consideiamo due sistemi di ifeimento: quello ineziale (femo) Oxy, e un secondo O x y centato sul sasso, che mantiene gli assi x y paalleli a xy. Desciviamo la dinamica del sasso ispetto ai due sistemi. Oxy : vede m attaccata alla fune descivee una taiettoia cicolae di aggio (moto cicolae unifome). Quindi attibuisce l acceleazione centipeta alla tensione della fune, unica foza oizzontale all opea: m v = T O x y : vede m attaccata a una fune tesa, quindi sa che c è una tensione T all opea su m, ma siccome m imane fema nell oigine O deve ipotizzae un alta foza all opea, in modo che la velocità e l acceleazione di m ispetto al sistema O x y siano nulle: m a = 0 = T F Dal disegno isulta chiao che la foza F che O x y è costetto a inventasi pe pote usae la legge di Newton (in ealtà concepita pe ossevatoi ineziali) è sempe opposta alla tensione (di uguale intensità), e dietta veso l esteno della taiettoia cicolae: si pala di foza centifuga (ovviamente F = mv / ). La foza centifuga è chiaamente il temine m A nell equazione geneale intodotta pima, ed è dovuta all acceleazione centipeta del sistema di ifeimento O x y.