4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO

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1 4 L AMPO MAGNTO STATO Analogamente al caso dei fenomeni elettici anche i fenomeni magnetici eano noti sin dagli antichi geci i quali denominaono αγνητης λιθος il mineale poveniente dalla egione di Μαγνης in Macedonia esponsabile di tali fenomeni. Nel 6 a.c. Talete pe pimo fomulò una teoia dei fenomeni magnetici che attibuiva le azioni attattive al possesso di una sota di anima; sia Platone che Lucezio invece itenevano che come nel caso elettico i fenomeni magnetici eano dovuti all emissione di effluvi da pate dei mateiali magnetici. Sant Agostino nel 48 pe pimo descisse il fenomeno secondo cui quando un magnete solleva una catena di feo ogni anello esecita un attazione magnetica sugli anelli successivi inolte ilevò come un pezzo di feo situato su un piatto d agento viene posto in movimento dall azione di un magnete al di sotto del piatto. Sant Agostino non fomulò paticolai ipotesi sull oigine di tali fenomeni attibuendone geneicamente l oigine ad una manifestazione della divinità. Nell secolo si scopì che un ago di feo oppotunamente magnetizzato sevendosi di una calamita quando veniva deposto sull acqua sopa una tavoletta di legno si oientava nella diezione nodsud. L ago di feo così pepaato fu successivamente sostituito da un magnete pemanente e il dispositivo dotato di un sistema di sospensioni tale da mantenelo sempe disposto oizzontalmente malgado le sollecitazioni cui poteva essee soggetto fu chiamato bussola. Nel 6 Petus Peeginus da Maincout con l obiettivo di descivee una macchina che ealizzava il moto pepetuo scisse sotto foma di epistola il tattato sul magnetismo De magnete. n questo documento Peeginus elencava le pincipali caatteistiche dei magneti pemanenti e spiegava come identificae le polaità di un magnete pemanente sagomato a foma di sfea. nolte in questo tattato è descitto il fenomeno dell induzione magnetica secondo cui un copo di feo diventa esso stesso un magnete quando è posto in possimità di una calamita e il fenomeno secondo cui una calamita spezzata in due pati continua ad essee una calamita consevando le polaità. Peeginus igetta un ipotesi alloa comune che attibuiva l oientazione dell ago della bussola alla pesenza di gossi giacimenti di mateiale magnetico nelle egioni settentionali della Tea attibuendo invece questo fenomeno ad un influsso del cielo. Peeginus ileva anche la declinazione magnetica cioè l angolo ta la diezione indicata dall ago della bussola e il meidiano geogafico in talia. Solo all inizio del 6 secolo quando diventaono comuni i viaggi tansoceanici si compese che la declinazione magnetica vaia da luogo a luogo e nel 635 eny Geliband mostò che tale gandezza in uno stesso luogo è soggetta a lente deive tempoali. Nel 544 Geog atmann costatò il fenomeno dell inclinazione magnetica secondo cui un ago calamitato in gado ussola ipodotta da Petus Peeginus da Maincout nel tattato De magnete ussola del 7 secolo con sospensione cadanica (Robet Dudley Dell acano del mae Fienze 646) di uotae attono ad un asse oizzontale oienta il polo nod veso il basso nell emisfeo boeale. spiato ai lavoi di Peeginus Gilbet ealizzò quale modello Pe indicae il nod magnetico l ago ea sagomato a foma di feccia calamus in latino da cui deivò il temine calamita pe denominae i magneti pemanenti.

2 4 l campo magnetico statico della Tea un magnete di foma sfeica al quale attibuì il nome di teella. Spostando sulla supeficie della teella un piccolo ago magnetico Gilbet ea in gado di ipodue l oientamento della bussola veso il nod teeste. Da tale isultato Gilbet dedusse che la Tea si compota come una gande calamita. Attualmente si itiene che il cento della Tea sia costituito da mateiali feosi allo stato fuso i quali tascinati dalla otazione teeste geneano delle coenti elettiche che come si vedà nel seguito oiginano un asse dipolae nodsud. Nel De magnete di Gilbet viene ipotata anche l ossevazione secondo cui un pezzo di feo fucinato mente è oientato nella diezione nodsud si magnetizza secondo tale diezione. Pe quanto iguada le ipotesi sull oigine del fenomeno magnetico Gilbet si ifà alle idee animistiche di Talete. Nel 75 il fisico inglese John Michell scopì che la foza epulsiva ta i poli omologhi di due magneti vaia con l inveso del quadato della distanza. Tale legge fu confemata indipendentemente nel 789 da oulomb adopeando una bilancia di tosione. L analogia ta i fenomeni di epulsione elettica e magnetica aveva suggeito già ai pimi speimentatoi l idea dell esistenza di un qualche legame ta questi due fenomeni. Fanklin aveva notato l effetto di magnetizzazione di una cassa contenente stoviglie metalliche colpita da un fulmine e eccaia iusciva a magnetizzae un pezzo di feo utilizzando la ans histian Østed Diezione dell ago della bussola in coispondenza di vai punti sulla teella di Gilbet scaica di una bottiglia di Leyda. La disponibilità di coenti costanti di fote intensità seguita all invenzione della pila fonì un nuovo impulso alla iceca della connessione ta il fenomeno elettico e quello magnetico. Pima del 8 i soli fenomeni magnetici noti eano podotti dalle calamite o dal feo magnetizzato nel luglio di quell anno il fisico danese ans histian Østed nel coso di un espeienza dimostativa pesso la popia abitazione finalizzata a povae il iscaldamento di un filo conduttoe pecoso da coente si accose della deviazione dell ago di una bussola in coispondenza del passaggio della coente attaveso il filo. n paticolae in disaccodo con l opinione comune che iteneva che tutte le inteazioni di natua elettica o magnetica si popagavano lungo la congiungente le caiche elettiche o i poli magnetici Østed ossevò che l ago della bussola si dispone sempe pependicolamente al filo pecoso da coente. n elettostatica è stato intodotto il campo elettico come mediatoe dell inteazione ta caiche così in pincipio potebbe essee peseguito un metodo analogo pe l intoduzione del campo magnetico tuttavia non essendo mai state ossevate delle caiche magnetiche isolate tale appoccio isulta nella patica insoddisfacente. L espeienza di Østed ivela che i campi magnetici sono podotti da caiche in moto e come si vedà ta beve i campi magnetici hanno effetto sulle caiche in moto; petanto un analogia al caso elettostatico più adeguata alla descizione dei fenomeni magnetici compota l assunzione che il campo magnetico media l inteazione ta caiche in movimento ovveo ta coenti. L espeienza di Østed

3 l campo magnetico statico Foza di Loentz Pescindendo pe il momento dalle sogenti del campo magnetico valutiamo come si esplica l inteazione ta un campo magnetico ed una paticella caica. Allo scopo assumiamo che la paticella non sia soggetta ad alti campi al di fuoi di quello magnetico che assumiamo sia unifome. Speimentalmente si veifica che qualoa la caica sia in quiete su di essa non si esecita alcuna foza. Supponiamo che la paticella sia posta in movimento; in tal caso si osseva che il moto della paticella non si mantiene ettilineo unifome; l assenza pe ipotesi di alti campi suggeisce l esistenza di un inteazione ta la paticella in moto ed il campo magnetico pesente nella egione consideata. n una teoia sull elettone nel 89 il fisico olandese endik Antoon Loentz povò che se appesenta il vettoe associato al campo magnetico q e v sono ispettivamente la caica e la velocità della paticella la foza F agente sulla paticella vale: e in modulo F = qv F = qvsinϑ se ϑ è l angolo compeso ta v e. Si noti che la elazione (4.) ende impossibile la deteminazione del vettoe attaveso una singola misua; infatti mente in elettostatica la foza F agente su una caica q pe effetto di una campo elettico vale q misuando F si può isalie sia all intensità che all oientazione di ; nel caso del magnetismo la foza F è sempe pependicolae al piano definito dai vettoi v e indipendentemente dall angolo ϑ così non può essee stabilita l oientazione di attaveso una misua di F. A tale scopo si può ad esempio icecae l angolo in coispondenza del quale la foza espessa dalla (4.) si annulla pe poi stabilie con una seconda misua l intensità di. Poiché la foza è sempe pependicolae alla diezione della velocità il lavoo elementae eseguito da tale foza vale: dl = F dl = F v dt = q v v dt = ( ) cioè il lavoo compiuto dalla foza magnetica su una paticella in moto è nullo; ne segue che l enegia cinetica della paticella esta invaiata duante tale moto e di conseguenza la velocità cambia in misua tale da lasciae invaiato il modulo. L unità di misua del campo magnetico è il tesla (T) anche noto come webe pe meto quado ( Wb m ) ed è definito attaveso l espessione (4.); T appesenta l intensità del campo magnetico che detemina una foza di N su di una caica di che si muove col la velocità di ms pependicolamente al campo così: Wb N N = = = = ; m m A m s [ ] T F v (4.)

4 44 l campo magnetico statico 4 un alta unità di uso comune è il gauss (G) e isulta che T è uguale a G. Se agiscono contempoaneamente un campo elettico ed un campo magnetico su una paticella di caica q in moto con velocità v la foza totale agente sulla paticella è data da: F = q qv ; benché venne ottenuta in questa foma nel 889 dall ingegnee inglese Olive eaviside come genealizzazione di isultati speimentali F è detta foza di Loentz e appesenta la somma della foza elettica e magnetica cui può essee in geneale sottoposta una paticella caica. sempio: (Moto di una caica in un campo magnetico unifome) onsideiamo una paticella di piccola massa m e caica q immesa in un campo magnetico unifome il cui vettoe velocità iniziale v giace su di un piano Ξ pependicolae alla diezione di. n queste condizioni tascuando la gavità la foza F agente sulla paticella è la sola foza di Loentz espessa dalla elazione (4.). Poiché questa foza lascia invaiato il modulo della velocità isulta vt ( ) = v. nolte F giace sempe nel piano Ξ otogonale a. Quindi nel suo moto la paticella è sottoposta ad una foza di modulo costante nomale alla velocità petanto possiamo concludee che la paticella compie un moto cicolae unifome la cui acceleazione centipeta è: F qv a = = ; m m d alta pate in un moto cicolae l acceleazione centipeta vale v R dove R è il aggio della taiettoia dunque: v R da cui segue: qv m = mv R = ; q il aggio di cuvatua R è quindi popozionale alla quantità di moto della paticella mv. La velocità angolae ω è tale che v = ωr da cui: v q ω = = R m così il peiodo di ivoluzione della paticella è: π π m T = = ω q R F X v L inveso di tale espessione: f q = π m pende il nome di fequenza di ciclotone pe agioni che veanno spiegate in seguito.

5 l campo magnetico statico 45 e isulta indipendente dalla velocità v. Supponiamo che il vettoe velocità v fomi un angolo ϑ con la diezione del campo magnetico. Decomponendo il vettoe v lungo le diezioni paallela e pependicolae a si hanno ispettivamente i vettoi v che: v = v sin ϑ v = v cos ϑ tali e v X R v J v ^ v P alloa dalla elazione (4.) siccome v e sono paalleli segue: F = qv = q v v = qv qv = qv ( ) e in modulo: F = qv = qvsin ϑ. p v Quindi il moto della paticella lungo la diezione paallela a è ettilineo unifome con velocità pai a v cosϑ mente otogonalmente a il moto è cicolae unifome con aggio di cuvatua R e peiodo T dati ispettivamente dalle elazioni: mv sin mv ϑ R = = q q π m T =. q Petanto la taiettoia descitta dalla paticella è un elica cilindica il cui passo p vale: π mv cosϑ p= v T =. q L esempio pecedente mosta un appoccio pe lo studio del moto di una paticella caica in un campo magnetico tuttavia è possibile isolvee questo tipo di poblemi in maniea più fomale poiettando sugli assi coodinati l equazione del moto: d d m = q q. (4.) dt dt sempio: Relativamente al caso tattato nel pecedente esempio il campo elettico è assente mente il campo magnetico è unifome; ponendo l asse z paallelamente alla diezione di la poiezione della (4.) sui te assi si scive: d x dy m = q dt dt d y dx m = q dt dt d z m = ; dt Taiettoie spialeggianti di un elettone (a sinista) e un positone (a desta) in una camea a bolle. l mezzo sensibile di questo ivelatoe di paticelle è costituito da un liquido ad una tempeatua possima al suo punto di ebollizione. l passaggio di una paticella ionizzante attaveso il liquido è evidenziato dalla scia di bolle podotte nel liquido lungo la taiettoia. Pependicolamente al piano del foglio e uscente da questo è disposto un campo magnetico che detemina il pecoso cicolae delle paticelle e consente di stabiline la caica; la foma delle taiettoie è in effetti a spiale in quanto duante il loo pecoso le paticelle pedono enegia negli uti col mezzo e di conseguenza il aggio di cuvatua delle taiettoia tende a idusi. l positone e l elettone sono stati ceati in coppia dal decadimento di un fotone poveniente dal basso invisibile peché essendo pivo di caica non poduce bolle nel liquido.

6 46 l campo magnetico statico si peviene quindi ad un sistema di equazioni diffeenziali che può essee isolto in modo tadizionale una volta definite le condizioni iniziali. sempio: (il ciclotone) Le speimentazioni di fisica nucleae vengono solitamente condotte adopeando delle macchine acceleatici in cui paticelle caiche sono potate ad elevate enegie cinetiche pima di essee utilizzate quali poiettili conto nuclei; l analisi degli effetti delle collisioni fonisce delle indicazioni sulle caatteistiche delle foze nucleai e delle paticelle elementai. Nel ciclotone inventato da nest Olando Lawence nel 93 un campo elettico di piccola estensione viene ipetutamente attavesato da paticelle caiche in modo che ad ogni passaggio esse vengono acceleate mente un campo magnetico nomale alla diezione della velocità delle paticelle viene adopeato pe incuvae la taiettoia e ipotae le paticelle sotto l azione del campo elettico pe una successiva acceleazione. n figua è mostato lo schema di tale macchina. Le paticelle si muovono sotto vuoto in una camea fomata da due semiscatole cilindiche conduttici cave (D) sepaate ta loo in modo che mediante l applicazione di un oppotuna vt nella zona libea ta le due D si stabilisce un diffeenza di potenziale ( ) campo elettico ( t) la cui funzione è quella di acceleae le paticelle caiche che attavesano tale zona. stenamente alle due semiscatole cilindiche è pesente un campo magnetico unifome e costante che pe effetto della foza di Loentz impone una taiettoia semicicolae alle paticelle. Una paticella caica emessa da una sogente di ioni S posta al cento del dispositivo viene acceleata dal campo elettico ( t) acquistando enegia cinetica. La velocità della paticella è dietta veso una cavità dove il campo le impone la taiettoia cicolae. t T t e petanto detemina un ulteioe All uscita della cavità il campo elettico ( ) è invetito ispetto a ( ) aumento dell enegia cinetica ed il moto veso l alta cavità. La fequenza di ivoluzione pai a q ( π m) essendo indipendente dalla velocità della paticella consente di sinconizzae i suoi successivi passaggi attaveso la egione in vt e quindi con il vaiae del veso del cui è pesente il campo elettico con l altenasi della diffeenza di potenziale ( ) campo elettico. iò ichiede che la fequenza del geneatoe coincida con la fequenza di ciclotone. Siccome il aggio di cuvatua vale mv R = q in coispondenza di ogni semigio al cescee di v aumenta anche R pe cui le paticelle dopo ave descitto una ( t T ) S v( t) () t foglio di gomma flessibile scanalatue a spiale pallina "D" nel punto più alto della cosa "D" nel punto più basso della cosa camma motoe Modello meccanico di ciclotone. n questo modello la pallina subisce una acceleazione ad ogni otolamento lungo la sezione inclinata in gomma che congiunge le due piattafome mobili coispondenti agli elettodi acceleatoi della macchina eale. l meccanismo a camme solleva ciascuna piattafoma mente la pallina pecoe la scanalatua a spiale così la pallina conseva la sua velocità e ad ogni successivo tansito compie un passaggio sempe in discesa. (adattato da R. Wilson R. Littaue Acceleatos: Machines of Physics New Yok Doubleday Ancho 96).

7 l campo magnetico statico 47 taiettoia spialeggiante vengono espulse attaveso un oppotuno deflettoe. L enegia cinetica aggiunta delle paticelle è popozionale al numeo n di ivoluzioni: nqv mv k = M = max dove V è la diffeenza di potenziale ta le D e M v max appesenta la massima velocità aggiunta. Siccome: R max mv = q max alloa: qr k = mvmax = m max. Pimo ciclotone costuito da Lawence con aggio di cica 4.5 cm in gado di acceleae potoni sino ad un enegia 8 kev. D alta pate dalla elazione: qrmax k = nqvm = m è possibile icavae il numeo di ivoluzioni nell inteo pocesso di acceleazione: q R n = 4mV max M. Questo dispositivo funziona nel modo descitto finché la velocità v max si mantiene tascuabile ispetto alla velocità della luce nel vuoto peché altimenti la massa diventa significativamente dipendente dalla velocità impedendo di fatto la sinconizzazione del campo elettico acceleante con la fequenza di ciclotone. sempio: (lo spettometo di massa) Lo spettometo di massa ealizzato nel 9 dal chimico inglese Fancis Williams Aston è uno stumento usato pe valutae la massa di paticelle caiche. n paticolae con tale dispositivo è possibile ottenee elevate pecisioni in misue elative ossia qualoa si vogliano deteminae piccole diffeenze di massa di atomi agguppati in un medesimo sistema come accade pe gli isotopi di uno stesso elemento. Si noti che gli isotopi di un elemento sono atomi che diffeiscono ta loo unicamente pe il numeo di neutoni pesenti nel nucleo e non sono distinguibili ta loo attaveso metodi chimici peché avendo la medesima stuttua atomica posseggono le stesse popietà chimiche. Pima di entae nello spettometo gli atomi vengono peventivamente ionizzati ad esempio vengono fatti diventae degli ioni monovalenti di caica e e la loo velocità è potata ad un oppotuno valoe attaveso dei campi elettici acceleatoi e degli oppotuni filti che eliminano le paticelle con velocità diffeente da quella stabilita. l fascio collimato di ioni positivi della oppotuna velocità v è intodotto in una egione in cui è pesente un campo magnetico unifome nomale a v. Petanto ciascuno ione desciveà una taiettoia cicolae di aggio: mv R =. q q < v q > m m m 3 Spettometo di massa ealizzato da Aston nel 95 (avendish Laboatoy museum ambidge) Siccome il appoto v è uguale pe tutti gli atomi attaveso la misua di R è possibile stabilie il appoto qm e inolte se q è noto si può deteminae m. ome anticipato il metodo isulta paticolamente peciso nelle misue elative; se il fascio è costituito da ioni di uguale caica e diffeente massa m m m 3 si ha:

8 48 l campo magnetico statico R m R m = = R m R m 3 3 pe cui nota una delle masse ad esempio m dai appoti ta i aggi di cuvatua R R è possibile deteminae le alte k masse m. La deteminazione speimentale dei valoi di R viene effettuata o attaveso una lasta fotogafica che viene a k sensibilizzasi a seguito dell uto degli ioni oppue con un ivelatoe elettonico di ioni. 4. ffetto di un campo magnetico su una coente onsideiamo un tatto di conduttoe ettilineo di lunghezza l e sezione S pecoso da una coente immeso in un campo magnetico esteno unifome; la foza agente sulle caiche del conduttoe pe effetto di tale campo è qvd in cui v d è la velocità di deiva delle caiche. Se n appesenta la concentazione delle caiche disponibili la foza pe unità di volume f agente sulle caiche è: ˆt f = qn v = J d dove J è la densità di coente nel conduttoe. La foza agente su ciascuna caica viene tasfeita a tutta la massa del filo conduttoe attaveso gli uti con gli atomi che lo costituiscono. Petanto la foza che si esplica su di un volume elementae dv pai a Sdl è: df = f dv = J Sdl. Nell ipotesi che il conduttoe possa itenesi filifome se ˆt è il vesoe tangente a tale conduttoe il vettoe densità di coente J può espimesi come Jt ˆ inolte siccome l elemento dl vale dl t ˆ la elazione pecedente diviene: df = J Sdl = J tˆ Sdl = J t dl S = JS dl. ( ˆ ) Nell ipotesi che la densità di coente sia unifome in tutto il conduttoe e pependicolae alla sua sezione il podotto JS è pai alla coente attaveso il conduttoe petanto: df = dl (4.3) espessione icavata da Andé Maie Ampèe nel 8 che pe pimo ebbe l idea di descivee il conduttoe pecoso da coente come un insieme di elementi di coente dl. nfine pe ottenee la foza totale agente sull inteo filo conduttoe se U e V indicano gli estemi del filo integando l equazione pecedente si ha: q v d S

9 l campo magnetico statico 49 V. (4.4) F = dl U sempio: onsideiamo un filo conduttoe cuvo pecoso da una coente posto in un campo magnetico unifome. La foza agente sul filo di estemi U e V vale: V V F dl = = dl U U U l dl l V cioè è stato potato fuoi dal segno di integale poiché essendo unifome assume lo stesso valoe in coispondenza di ciascun elemento dl del conduttoe. D alta pate l integale ta paentesi appesenta il vettoe isultante l di tutti gli elementi dl del conduttoe: V l dl U così la foza F può essee espessa come 3 : F = l. Supponiamo oa che il filo conduttoe sia chiuso su se stesso in modo da fomae una spia ; in questo caso la foza agente su tale conduttoe vale: F = dl = dl d alta pate siccome l insieme dei vettoi dl foma un poligono chiuso alloa: dl 3 Questo isultato può essee conseguito in maniea più fomale calcolando diettamente l integale (4.4); allo scopo supponiamo pe semplicità che il pecoso da U a V sia piano alloa isulta: dl = xˆdx yˆ dy inolte il campo può essee espesso come: = x ˆ y ˆ z ˆ x y z alloa sostituendo nella (4.4) si ha: xˆ yˆ zˆ V V F = dl = dx dy = U U x y z V V V V V = xˆ ˆ ˆ( ) ˆ ˆ zdy y zdx z ydx xdy = x z dy y z dx zˆ y dx zˆ x dy = U U U U U xˆ yˆ zˆ = ( x ˆ ˆ z y yz x z ˆ y x z ˆ x y) = x y = l in cui si è posto: l xˆ x yˆ y. x y z

10 4 l campo magnetico statico dl = così di conseguenza: F =. Tale isultato ci pota a concludee che la foza magnetica totale che si esecita su una spia pecosa da coente immesa in un campo magnetico unifome è nulla. sempio: (foza magnetica su una spia ettangolae) Sempe nel 8 Østed sospendendo una piccola pila ad un filo e chiudendo il cicuito ne costatò la otazione in coispondenza dell avvicinamento di un magnete. onsideiamo una spia ettangolae igida immesa in un campo magnetico unifome dietto nomalmente ad una coppia dei suoi lati e pecosa da una coente. Tascuiamo il campo magnetico podotto dalla spia stessa. Alla luce di quanto visto nell esempio pecedente l azione del campo magnetico unifome sulla spia detemina una foza isultante nulla; supponiamo quindi che tale spia sia vincolata ad un asse passante pe il punto medio di una coppia dei suoi lati in modo da pote uotae attono a questo asse (si veda la figua). Analizziamo le singole foze agenti su ciascun tatto della spia ossevando che il vettoe dl è dietto in ogni punto paallelamente ai lati. Le foze agenti sui lati infeioe e supeioe di lunghezza L hanno intensità: π F = L sin ϑ = L cos ϑ in cui ϑ appesenta l angolo ta la nomale ˆn alla spia e la diezione del vettoe ; il veso di queste foze è opposto pe cui giacendo lungo la stessa etta di applicazione non deteminano effetti dinamici sulla spia. Le intensità delle foze agenti sui lati veticali della spia sono: F = L ; (4.5) anche in questo caso le due foze hanno lo stesso modulo e la stessa diezione con veso opposto tuttavia tali foze non condividono la medesima etta di applicazione. Pe la coppia di foze F isulta quindi in geneale diveso da zeo il momento tocente; pe la singola foza questo momento ha intensità: L τ F = F sinϑ e siccome entambi i momenti hanno uguali intensità diezioni e vesi il momento totale τ isulteà doppio del momento τ così pe il modulo isulta: F L τ = τf = F sinϑ = FL sinϑ = LL sin ϑ (4.6) L O L F J F ˆn J L F O ˆn J F in cui si è sostituita l espessione di F dalla (4.5). D alta pate il podotto LL appesenta l aea S della spia pe cui intoducendo un vettoe così definito: m Snˆ (4.7) la elazione (4.6) diventa: τ = m sinϑ ; anco di Ampèe dispositivo pe lo studio dell inteazione di un campo magnetico con una spia pecosa da coente.

11 l campo magnetico statico 4 infine a questa espessione può essee fatta coispondee la elazione vettoiale: τ = m. Dall esame di queste ultime due espessioni possiamo ossevae che il sistema aggiunge l equilibio meccanico quando τ = ovveo pe ϑ = cioè quando la spia si dispone pependicolamente al campo magnetico ed i vettoi e m isultano allineati. l vettoe m definito nella elazione (4.7) dell esempio pecedente pende il nome di momento di dipolo magnetico; il suo veso segue la egola della mano desta nel senso che se si associa il veso della coente nella spia a quello delle dita della mano desta che si chiudono sul palmo della mano il veso di m punta nella diezione indicata dal pollice. Dimensionalmente il momento di dipolo magnetico si espime in Am. l fatto che una spia pecosa da coente si compoti come un dipolo magnetico le cui popietà saanno appofondite in seguito fu indicato da Ampèe nel 8 e va sotto il nome di teoema di equivalenza di Ampèe 4. on ifeimento ad una spia di supeficie S pecosa da una coente oientando il veso di un vettoe S come quello che vede cicolae la coente in senso antioaio il teoema di equivalenza di Ampèe si espime come: m= S (4.8) S e appesenta una popietà geneale delle spie chiuse pecose da coente. S sempio: (Galvanometo a bobina mobile) Uno degli stumenti più comuni pe la misua di coenti continue è costituito dal galvanometo a bobina mobile; la ealizzazione di questo dispositivo nella foma qui indicata ichiese molto tempo. Ad esempio pe misuae l intensità di coente Ohm utilizzava una sota di bilancia di tosione costituita da un ago magnetico sospeso veticalmente tamite un filo metallico appiattito; quando una coente paallela all ago ne causava la deviazione Ohm toceva il filo ipotando l ago nell oiginale posizione di iposo ed assumeva l angolo di tosione popozionale all intensità della coente. Nel 8 Ampèe ealizzò un galvanometo insensibile all azione magnetica teeste tale dispositivo venne sensibilmente miglioato da Leopoldo Nobili nel 85. Lo stumento qui descitto fu sviluppato da Jacques Aséne D Asonval nel 886. l funzionamento di tale dispositivo è basato sull azione di una foza su di una spia pecosa da coente immesa in un campo magnetico di modulo costante. l campo magnetico detemina la otazione della spia in modo che il suo piano si disponga pependicolamente alle linee di campo e l angolo ϑ compeso ta la diezione di e la nomale alla spia è nullo. Se attaveso una coppia di molle si esecita sulla spia un momento elastico esistente kϑ tale da opposi alla otazione; dalla (4.6) segue che la posizione di equilibio si aggiungeà quando: kϑ = Ssin ϑ dove è la coente attaveso la spia e S la supeficie LL. Da tale espessione si evince che la elazione ta l angolo ϑ e la coente vale: k ϑ =. S sinϑ La misua della coente attaveso una misua dell angolo ϑ isulta poco patica in quanto la elazione pecedente non è lineae. Se il campo magnetico avesse simmetia cilindica cioè fosse ancoa pependicolae ai lati L e contenuto nel piano della spia pe un ampio insieme di valoi L O L F F ˆn L F O ˆn F 4 ome vedemo nel seguito l equivalenza della spia chiusa pecosa da coente sottolineata dal nome attibuito a tale teoema e messa in luce da Ampèe è da intendesi con i magneti pemanenti.

12 4 l campo magnetico statico dell angolo ϑ il momento tocente avebbe modulo: L τ = L = S così la condizione di equilibio diventa: k = S ϑ che espime una elazione lineae ta la coente e l angolo ϑ. ome si vedà nel seguito un campo magnetico con le caatteistiche ichieste si ottiene sagomando le espansioni polai di un magnete pemanente in modo da alloggiae un cilindo veticale di feo dolce intono al quale sono avvolte un numeo N di spie. Ta cilindo e magnete il campo isulta costante in modulo ed otogonale alla supeficie del cilindo. L ave avvolto N spie consente di aumentae la sensibilità σ dello stumento intesa come la vaiazione dϑ dell angolo ϑ coispondente ad una vaiazione d della kϑ NS ; petanto: coente. nfatti dalla elazione pecedente si ha in questa cicostanza che la coente vale ( ) dϑ NS σ = = d k che isulta quindi N volte più gande ispetto al caso in cui fosse pesente una sola spia. Si noti infine che σ può essee accesciuta diminuendo k; ciò piò ottenesi sostituendo le molle con una coppia di fili. Se i fili isultano abbastanza sottili la loo costante elastica coispondente alla tosione è minoe di quella delle molle. La misua dell angolo ϑ di deviazione dalla posizione di iposo elativa ad una coente nulla viene effettuata ilevando lo spostamento s di un indice solidale alla bobina su una scala gaduata posta a distanza d dalla bobina. Se la scala ha n divisioni e s è l ampiezza di quella più piccola lo spostamento si può espimee come: e siccome: s = ns s ns ϑ = = d d la coente vale: k ks = ϑ = n NS NSd ottenendo quindi una elazione di popozionalità dietta ta l intensità di coente e il numeo di divisioni di cui si sposta l indice sulla scala gaduata. s J d 4.3 La legge di iotsavat Alla fine del 8 Jean aptiste iot e Félix Savat dedusseo speimentalmente le caatteistiche della foza magnetica podotta dal filo pecoso da coente. onsideiamo un geneico filo conduttoe pecoso da una coente stazionaia; sia dl un tatto elementae del conduttoe oientato nel veso di il campo magnetico d deteminato da tale tatto in coispondenza di un punto P posto a distanza da dl vale: ˆ dl d P

13 l campo magnetico statico 43 ˆ dl d = (4.9) 4π dove ˆ è un vesoe che spicca dal tatto dl e punta veso P e è la pemeabilità magnetica del vuoto e vale: T m 4π.57 A T m A 7 6. La elazione (4.9) appesenta l espessione della legge di iotsavat sebbene sia stata icavata analiticamente da Ampèe. Se ˆt indica il vesoe tangente punto pe punto al filo conduttoe siccome dl può essee espesso come ˆt dl dalla (4.9) segue: ˆ ˆ ˆ dl t d = = dl. 4π 4π Jean aptiste iot Natualmente queste elazioni che foniscono l espessione di d sebbene di validità geneale devono essee intese soltanto quali stumenti di calcolo Félix Savat in quanto speimentalmente non è possibile misuae in alcun modo il contibuto di un elemento infinitesimo di filo che a sua volta non può esistee indipendentemente dal esto del filo. Petanto consideando la sovapposizione dei contibuti di tutti gli elementi dl in cui può essee suddiviso il conduttoe si ha: dl 3 = 4π L dove l integale è da intendesi esteso a tutto il filo conduttoe. Occoe notae le somiglianze ta l espessione della legge di iotsavat elativa al magnetismo e l espessione della legge di oloumb dell elettostatica. Mente una caica puntifome detemina un campo elettico un elemento di coente dl poduce un campo magnetico; inolte l intensità del campo magnetico dipende dall inveso del quadato della distanza dall elemento di coente analogamente a come il campo elettico podotto da una caica puntifome dipende dalla distanza dalla caica. Tuttavia come fu evidenziato speimentalmente da iot e da Savat le diezioni dei due campi isultano completamente diffeenti. l campo elettico geneato da una caica puntifome è adiale cioè è dietto come il aggio vettoe mente il campo magnetico podotto da un elemento di coente è pependicolae sia all elemento di coente che al aggio vettoe. Qualoa il conduttoe non fosse filifome si considea un elemento di conduttoe di lunghezza dl e sezione ds pecoso da una coente di densità J ; l elemento di coente può essee espesso come: d dl = J dsdl = J dτ dove dτ è il volume dsdl dell elemento consideato e J è paallelo a dl. Petanto nel punto P situato a distanza dall elemento consideato dalla (4.9) si ha: ds dl ˆ J P d

14 44 l campo magnetico statico ˆ J d = dτ 4π (4.) così integando in tutto il volume V in cui J è diveso da zeo isulta: = π J 4 V ˆ dτ. sempio: (ampo magnetico podotto da una caica in moto) La densità di caica J è legata alla velocità dei potatoi di caica v ed alla loo concentazione n dalla elazione: J = nqv dove q indica la caica dei potatoi; così sostituendo nella (4.) si ha: ˆ ˆ J qv d = dτ = ndτ. 4π 4π q ˆ v Siccome il podotto ndτ indica il numeo di caiche contenute nel volume dτ qualoa si considei un unica caica l integazione di tale temine deve deteminae un isultato unitaio quindi: ˆ qv =. 4π Si ossevi che il campo elettico geneato dalla stessa caica nel medesimo punto in cui è calcolato il campo magnetico vale: = 4πε q ˆ nell ipotesi in cui pe le caiche in moto continuino a valee le fomule petinenti all elettostatica. Quindi confontando queste ultime due elazioni si tova: dove si è posto: = ε v = v c 8 c.998 m s (4.) ε cioè c è pai alla velocità della luce nel vuoto. Occoe altesì aggiungee che tali elazioni hanno validità solo nel limite in cui la velocità v è molto minoe di c così l inteesse nelle pecedenti deivazioni isiede unicamente nel fatto che le elazioni icavate mettono in luce come il z campo magnetico podotto da una caica in movimento non dipenda dalle cause P d che ne oiginano il moto. sempio: (ampo magnetico podotto da un conduttoe ettilineo filifome) onsideiamo un conduttoe ettilineo pecoso da una coente stazionaia e stabiliamo il campo magnetico pesente in un punto P posto a distanza R dal filo conduttoe. Nel sistema di ifeimento di figua isulta: dl ˆ= dl ˆ xˆ = dy xˆ ( sinϑ) ˆ dl x J O R y

15 l campo magnetico statico 45 dove ϑ è l angolo compeso ta la diezione del vesoe ˆ e quella dell asse y; facendo uso di tale identità nella elazione (4.9) si ha: z P ˆ dl dysinϑ d = = xˆ. 4π 4π nolte siccome vale R sinϑ e Ry= tanϑ da cui segue che dy = R sin ϑ dϑ sostituendo nella pecedente espessionesi tova: ( ) x J O R J y sin ϑ R d = dϑ sinϑxˆ= sin ϑdϑxˆ. 4π R sin ϑ 4πR ntegando su tutti gli elementi di coente che costituiscono il conduttoe cioè ta gli angoli ϑ e ϑ indicati in figua si ha: ϑ = sinϑ dϑ xˆ ( cosϑ cos ϑ) xˆ. 4πR = 4πR ϑ Dalla elazione pecedente segue in paticolae che pe un filo di lunghezza infinita siccome ϑ vale e ϑ vale π isulta: Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da un filo conduttoe pecoso da coente. = xˆ ; (4.) π R quindi pe un filo di lunghezza infinita le linee di foza del campo magnetico sono ciconfeenze concentiche con il cento del filo e disposte nel piano pependicolae alla diezione del filo. l veso del vettoe segue la egola della mano desta nel senso che se il pollice punta nel veso della coente il vettoe campo magnetico punta nella diezione delle quatto dita. Si noti infine che questa elazione ha la stessa foma funzionale del campo elettico geneato da una distibuzione ettilinea indefinita di caica elettica. sempio: (ampo magnetico podotto sull asse di una spia cicolae) onsideiamo una spia cicolae di aggio R pecosa da una coente. ntoduciamo un sistema di ifeimento catesiano con oigine nel cento della spia ed asse z coincidente con l asse della spia. Stabiliamo l intensità del campo magnetico in coispondenza del punto P posto sull asse alla coodinata z. l contibuto al campo magnetico da pate di un elemento di coente dl è dato dalla elazione (4.9); d alta pate siccome il vettoe dl ed il vesoe ˆ sono pependicolai il modulo del podotto dl ˆ coincide con dl quindi: dl ˆ dl d = =. 4π 4π l vettoe d è pependicolae al piano definito da ˆ e da dl ; quando si consideano i contibuti d di tutti gli elementi dl che fomano la spia si osseva che le componenti paallele all asse z si sommano mente quelle pependicolai si elidono a due a due pe la simmetia del poblema. Nei punti dell asse della spia il campo magnetico è dunque paallelo all asse stesso e concode a questo se l oientazione coisponde a quella della coente secondo la egola della mano desta. l contibuto al campo da pate della componente dietta lungo l asse z è: x d J d ˆ x z J O dl d P z z R y

16 46 l campo magnetico statico dl dz = d = 4π cosϑ cos ϑ dove cosϑ può essee espesso come il appoto R; petanto integando lungo tutta la spia si ha: (4.3) dl R R R = cos = dl = R=. 4π 4π 4π ϑ π spia spia nfine poiché = = R z alloa: R ( R z ) 3 zˆ. Dispositivo pe lo studio del campo magnetico podotto da una spia pecosa da coente. Al cento della spia pe z pai a il campo assume la massima intensità e isulta: max max = zˆ R mente pe z il campo si annulla. Quando è soddisfatta la condizione z R l espessione del campo diventa: ( π R ) R = zˆ= zˆ; 3 3 z 4π z (4.4) Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da una spia cicolae pecosa da coente. d alta pate dalla elazione (4.8) segue che alla spia può essee associato un momento di dipolo magnetico dato da: m= R zˆ ( π ) così sostituendo nell espessione di pe z R segue: m = 3. 4π z Questa elazione è simile a quella tovata pe campo elettico a gande distanza da un dipolo elettico dove isulta ( ) ( 3 = 4πε ) p z ; pe similitudine con questo caso si deduce che l enegia potenziale del dipolo magnetico quando questo è immeso in un campo magnetico è data dalla elazione: U = m. 4.4 lettomagnetismo e sistemi di ifeimento onsideiamo una paticella di caica q > situata a distanza da un filo conduttoe pecoso dalla coente. Supponiamo che sia la paticella che il filo siano in quiete in un sistema di ifeimento ineziale S. Sia v la velocità di deiva degli elettoni nel filo. onsideato un tatto geneico l del filo al suo inteno ci saà un uguale numeo di caiche positive e negative Q pe cui il filo isulteà complessivamente neuto. n paticolae assumendo che la caica sia distibuita unifomemente le densità delle caiche positive e negative vaanno ispettivamente:

17 l campo magnetico statico 47 Q λ = l Q λ = l petanto si ha λ = λ ; indicando con il campo elettico podotto dalle caiche positive e con quello podotto dalle caiche negative il campo elettico in coispondenza della caica q avà intensità: q S v λ λ = = = πε πε Q Q = = πε l πε l (4.5) pe cui non influenza lo stato della paticella. La coente attaveso il filo è: Q Q = = v= λ v T l dove T appesenta il tempo impiegato dagli elettoni pe pecoee il tatto l del filo alla velocità v. Petanto dalla (4.) segue che il campo magnetico in coispondenza della paticella ha intensità pai a: v F' q F' S' v λv π π = = ; tale campo non poduce effetti dinamici sulla paticella caica essendo questa a iposo. onsideiamo oa il punto di vista di un ossevatoe solidale con un sistema di ifeimento S in moto assieme agli elettoni nel filo. n questo caso la coente è podotta dal moto degli ioni positivi del conduttoe e inolte la caica q saà in moto con F di natua magnetica. Tuttavia se l acceleazione velocità v. Petanto saà soggetta ad una foza della paticella è nulla nel sistema di ifeimento S lo deve essee anche in S siccome l acceleazione è una gandezza invaiante in coispondenza del passaggio da un sistema di ifeimento ad un alto in moto ettilineo unifome ispetto al pimo; petanto in S la paticella deve essee soggetta ad un ulteioe foza tale da annullae la isultante delle foze agenti sulla paticella. Questa foza deve essee di natua elettica. Pe stabilie l oigine di tale foza consideiamo il filo nel sistema di ifeimento S come costituito da due sbaette di lunghezze l e l uguali e pai a l una caica positivamente a iposo e l alta caica negativamente in moto. n questo sistema di ifeimento dalla (4.5) si ha: q S l

18 48 l campo magnetico statico = e petanto deve isultae λ = λ. Nel sistema di ifeimento S pe pote bilanciae la foza magnetica F i campi elettici e devono necessaiamente essee in modulo divesi e in paticolae deve isultae: v ' q ' F' l' S' l' > pe cui in questo caso deve avesi: λ > λ. Se assumiamo che la caica contenuta nelle sbaette sia la stessa in entambi i sistemi di ifeimento dalla elazione pecedente si ha: Q Q > l l dove si sono indicate con l e l la lunghezza delle due sbaette in S ; così in tale sistema di ifeimento deve isultae: l > l. È possibile quantificae la elazione pecedente a patie dal bilancio delle foze agenti sulla paticella nel sistema di ifeimento S. La foza magnetica F in tale sistema ha intensità: vλ v λ v Q F = qv = qv = q = q π π π l e la foza elettica F ha intensità: λ λ Q Q F = q = q q. πε πε πε l πε l mponendo l uguaglianza ta queste due intensità segue: l l v = c

19 l campo magnetico statico 49 essendo c ( ε ) quindi: = dalla (4.). Pe ottenee l identità ta i moduli di < > ; ciò si avà se: λ < λ ovveo se: λ > λ F e F deve isultae Q Q < l l Q Q > l l e quindi se: l > l l < l. ioè la sbaetta caica negativamente a iposo in S ha lunghezza maggioe ispetto a S dove è in moto; al contaio la sbaetta caica positivamente in moto in S ha lunghezza minoe ispetto a S dove si tova a iposo. Pe simmetia possiamo ipotizzae che l entità dell allungamento di l ispetto a l sia uguale all entità della contazione di l ispetto a l. Posto: γ v c facendo seguito all ipotesi testé fomulata deve isultae: l = l γ (4.6) l l = γ. (4.7) Siccome in S isulta: l l' l = l = l l l' si ha: S S'

20 4 l campo magnetico statico l l l v = = = = l l γ γ γ c in accodo con la pecedente elazione. Quanto veificato mosta che pe mantenee l identità di ossevazioni nei due sistemi di ifeimento è necessaio assumee che le sbaette in moto abbiano lunghezza infeioe di un fattoe γ ispetto alla stesse sbaette a iposo. Tale isultato dedotto da una esigenza di natua dinamica può essee icavato dai pincipi della Relatività istetta. ome abbiamo constatato l oigine di un campo elettico pe effetto di un cambiamento di sistema di ifeimento è possibile veificae in alte cicostanze l oigine di un campo magnetico sempe in elazione al cambiamento di sistema di ifeimento. Questo ci pota a concludee che quale conseguenza della Relatività i campi elettico e magnetico non esistono quali entità indipendenti e un campo puamente elettico o magnetico in un ceto sistema di ifeimento ha componenti sia magnetiche che elettiche in un alto sistema di ifeimento. Un ulteioe conseguenza delle ipotesi fatte può essee icavata attaveso l esempio successivo. sempio: onsideiamo una caica negativa q < a distanza da un filo conduttoe pecoso dalla coente. Supponiamo che la paticella sia in moto con velocità v paallelamente al filo ispetto ad un sistema di ifeimento ineziale S ed assumiamo pe semplicità che v sia pai alla velocità di deiva degli elettoni nel filo. La coente può espimesi attaveso la densità di caica degli elettoni come = λ v pe cui dalla (4.) il campo magnetico podotto dal filo avà intensità: q v F v S λv = = π π e dalla (4.) la foza agente sulla caica vale quindi: λ v λv F = qv = qv = q π π (4.8) ossia la paticella isulteà attatta veso il filo. onsideiamo un sistema di ifeimento S solidale alla paticella; siccome qui la caica è in quiete non è pesente alcuna foza magnetica sulla paticella. Tuttavia siccome l acceleazione è la stessa in entambi i sistemi di ifeimento essendo uno in moto ettilineo unifome ispetto all alto sulla caica in S deve agie una foza che saà di natua elettica. Pe valutae l entità di questa foza in S possiamo applicae le elazioni (4.6) e (4.7) allo scopo pe stabilie come cambiano le densità di caica in coispondenza del cambiamento di sistema di ifeimento. ioè: λ Q Q l l γ λ γ = = = Q Q λ λ = = =. l l γ γ Siccome λ λ in S la foza elettica agente sulla caica saà divesa da zeo ed avà modulo: q F' S'

21 l campo magnetico statico 4 λ λ λ λ q λ qλ F = q = q = q γ = λ γ = c γ = ( ) πε πε πε πε γ π ε γ π γ cq cq v v γ q F. γ λ λ λ = = = = π γ π v c π v c c onfontando tale elazione con la (4.8) possiamo veificae che pe piccole velocità ossia nel limite v c i isultati sono identici. Tuttavia gli ossevatoi in S e in S devono constatae gli stessi effetti fisici dalle due foze ovveo entambe devono deteminae le stesse vaiazioni della quantità di moto. ioè se: alloa p= F t p = F t = F γ t dove si è assunto che gli intevalli di tempo nei due sistemi di ifeimento S e S sono diffeenti. Affinché isulti deve avesi: p = p t t = γ ioè gli intevalli di tempo che si ifeiscono alla paticella in moto isultano più lunghi di quelli misuati nel sistema in cui la paticella è in quiete. Anche questo isultato può essee dedotto dai pincipi della Relatività istetta. 4.5 Foza magnetica ta due conduttoi paalleli Siccome un conduttoe pecoso da coente genea un campo magnetico ed è soggetto ad una foza quando è immeso in un campo magnetico due conduttoi pecosi da coente isulteanno sottoposti a foze magnetiche ecipoche; tale popietà fu veificata speimentalmente da Ampèe nel 8. onsideiamo due conduttoi e ettilinei indefiniti e paalleli posti alla distanza d uno dall alto e pecosi ispettivamente dalle coenti e diette nel medesimo veso (si veda la figua). Pe effetto del campo magnetico podotto dal conduttoe pecoso da coente l elemento di coente dl saà soggetto alla foza (4.3): d onduttoe onduttoe df dl z y df = dl x dove dalla (4.) il campo vale: π d = zˆ.

22 4 l campo magnetico statico D alta pate con ifeimento al sistema di ifeimento adottato il vettoe dl isulta pai a dl y ˆ così: df ˆ ˆ = dl y zˆ = dl x. πd πd Quindi la foza esecitata pe unità di lunghezza dal conduttoe sul conduttoe vale: df = xˆ. dl π d Se si considea il campo magnetico podotto dal conduttoe la foza pe unità di lunghezza df dl isulteà uguale in modulo e diezione a df dl ma in accodo con la teza legge della dinamica opposta in veso: df df =. dl dl Quando le coenti nei due conduttoi scoono in veso opposto le foze si invetono e a diffeenza del caso pecedente i due fili tendono a espingesi. Petanto conduttoi paalleli in cui scoono coenti nello stesso veso si attaggono mente conduttoi paalleli in cui scoono coenti in veso opposto si espingono. La foza agente ta fili conduttoi paalleli pecosi da coente è usata pe definie l Ampèe nella maniea seguente: se due fili paalleli di lunghezza indefinita posti alla distanza di m e 7 pecosi dalla stessa coente inteagiscono con una foza pe unità di lunghezza di N m la coente che li attavesa è pe definizione di A. Di fatto tale definizione fissa il valoe della 7 pemeabilità magnetica del vuoto che vale petanto 4π ( T m) A. sempio: (ffetto all) Nel 879 il fisico ameicano dwin ebet all scopì che un conduttoe pecoso da coente sviluppa una foza a elettomotice tasvesa alla coente in pesenza di un campo magnetico pependicolae al flusso di coente. Attaveso tale espeimento si veificò b l ipotesi che i potatoi di coente avesseo caica negativa in accodo con la scopeta successiva da pate di Thomson della caica negativa degli elettoni. Tuttavia alcuni metalli come lo zinco mostavano che i potatoi di caica avevano segno opposto cioè paeva che i potatoi fosseo dotati di caica positiva. La coente podotta da caiche positive fu di conseguenza definita anomala essendo a quei tempi omai accettata l idea che gli elettoni itenuti esponsabili della coente avesseo caica negativa. onsideiamo una sbaetta conduttice a foma di paallelepipedo di lati a e b pecosa da una coente unifomemente distibuita sulla sezione di tale conduttoe. La sbaetta è situata in una egione in cui è J z S y x pesente un campo magnetico unifome con le linee di foza disposte pependicolamente alla diezione della coente. La coente si espime come flusso del vettoe densità di coente J attaveso la sezione S del conduttoe consideato: = J ds; S poiché la coente è unifomemente distibuita su tale sezione si ha:

23 l campo magnetico statico 43 = JS = Jab. Siccome il vettoe J è dietto lungo l asse x di figua possiamo scivee: (4.9) J = xˆ. ab q < J z v d F e y x V Pe effetto del campo magnetico disposto pependicolamente alla diezione della coente ciascun potatoe di caica isulteà soggetto alla foza di Loentz: F = qv d dove v è la velocità di deiva dei potatoi. d Questa foza detemina un campo elettomotoe denominato campo di all pai a: F = = vd = J q nq dove la velocità di deiva è stata espessa attaveso la densità di coente J come nqv. l vettoe d è dietto lungo l asse z di figua ed il suo veso dipende dal segno della caica q; in paticolae isulta: q< zˆ < q > zˆ >. Petanto il campo di all detemina una deflessione delle caiche tasvesalmente alla diezione della velocità di deiva v. Ne segue che sulle due facce del conduttoe pependicolai a d si oiginano degli accumuli di caica di segno opposto. on l accumulasi di tali caiche ta tali facce si oigina un campo elettostatico che all equilibio impedisce ogni ulteioe accumulo. n tale cicostanza isulta: = q > J z F e v d y x V A v d A e e v d V < V > z ẑ z ẑ in analogia a quanto accade con un geneatoe di foza elettomotice a cicuito apeto. La diffeenza di potenziale ta due punti A e situati sulle due facce pependicolai a è data dalla elazione: V = V = dz = A=± b A A dove il segno di V dipende dal veso di dei potatoi di caica: q< V < q > V >. n modulo tale diffeenza di potenziale vale: e petanto dal segno V Jb b = b= = = (4.) nq ab nq naq

24 44 l campo magnetico statico in cui J è stato espesso tamite la (4.9). Se la coente è podotta da una batteia di foza elettomotice V applicata ai capi della sbaetta lunga d isulta: V = R in cui R è la esistenza offeta al passaggio della coente nella diezione consideata e vale petanto: V d d R = ρ ab così sostituendo la coente nella (4.) e tenendo conto di tale valoe della esistenza si ha: V ab bv V = = = V =. naq naq R naq ρd nq ρd Alla quantità nq che compae in questa espessione viene attibuito il nome di costante di all R : R nq pe cui l espessione pecedente si può scivee come: V = R bv. ρd 3 Valoi tipici di R sono dell odine di alcune unità di m e nella maggio pate dei conduttoi (come ad esempio pe u Ag e Au) si tova che la costante di all è negativa a confema del fatto che i potatoi di caica sono elettoni. nolte attaveso la misua di R si può stabilie in un conduttoe la densità n di elettoni libei ovveo degli elettoni disponibili alla conduzione; si tova che il numeo medio di elettoni libei è dell odine di pe atomo (.3 pe u.4 pe Ag.8 pe Au). nfine poiché la elazione pecedente espime una popozionalità fa la diffeenza di potenziale V e l intensità del campo magnetico l effetto all pemette la ealizzazione di dispositivi pe la misua del campo magnetico. La costante di popozionalità: V RbV k = ρd dwin ebet all può essee valutata analiticamente o meglio speimentalmente inseendo il dispositivo in un campo magnetico noto e misuando in coispondenza il valoe della tensione V. La coente podotta da caiche positive è spiegata da una paticolae modalità tamite la quale si esplica il moto di deiva degli elettoni in alcuni mateiali. n patica gli elettoni si muovono occupando delle posizioni vuote dette lacune ceando a loo volta delle lacune nelle posizioni lasciate; tale spostamento può essee iguadato come un moto di caiche positive nel veso opposto a quello degli elettoni. n coispondenza dell applicazione di un campo elettico al mateiale tali spostamenti si esplicano nella diezione del campo pe cui possono essee assimilati ad una coente di lacune immaginandole quali entità fisiche in moto e dotate di caica uguale in modulo ma opposta in segno a quella dell elettone e di massa divesa.