4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO

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1 4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO Analogamente al caso dei fenomeni elettici anche i fenomeni magnetici eano noti sin dagli antichi geci i quali denominaono il mineale poveniente dalla egione di in Macedonia esponsabile di tali fenomeni. Nel 6 a.c. Talete pe pimo fomulò una teoia dei fenomeni magnetici che attibuiva le azioni attattive al possesso di una sota di anima; sia Platone che Lucezio invece itenevano che come nel caso elettico i fenomeni magnetici eano dovuti all emissione di effluvi da pate dei mateiali magnetici. Sant Agostino nel 48 pe pimo descisse il fenomeno secondo cui quando un magnete solleva una catena di feo ogni anello esecita un attazione magnetica sugli anelli successivi inolte ilevò come un pezzo di feo situato su un piatto d agento viene posto in movimento dall azione di un magnete al di sotto del piatto. Sant Agostino non fomulò paticolai ipotesi sull oigine di tali fenomeni attibuendone geneicamente l oigine ad una manifestazione della divinità. Nell secolo si scopì che un ago di feo oppotunamente magnetizzato sevendosi di una calamita quando viene deposto sull acqua sopa una tavoletta di legno si oienta nella diezione nodsud. L ago di feo così pepaato fu successivamente sostituito da un Bussola del 7 secolo con sospensione cadanica (Robet Dudley Dell acano del mae Fienze 646) magnete pemanente e il dispositivo dotato di un sistema di sospensioni tale da mantenelo sempe disposto oizzontalmente malgado le sollecitazioni cui poteva essee soggetto fu chiamato bussola. Nel 6 Petus Peeginus da Maincout con l obiettivo di descivee una macchina che ealizzava il moto pepetuo ealizzò sotto foma di epistola il tattato sul magnetismo De magnete. In questo documento Peeginus elencava le pincipali caatteistiche dei magneti pemanenti e spiegava come identificae le polaità di un magnete pemanente sagomato a foma di sfea. Inolte in questo tattato è descitto il fenomeno dell induzione magnetica secondo cui un copo di feo diventa esso stesso un magnete quando è posto in possimità di una calamita e il fenomeno secondo cui una calamita spezzata in due pati continua ad essee una calamita consevando le polaità. Peeginus igetta un ipotesi alloa comune che attibuiva l oientazione dell ago della bussola alla pesenza di gossi giacimenti di mateiale magnetico nelle egioni settentionali della Tea attibuendo invece questo fenomeno ad un influsso del cielo. Peeginus ileva anche la declinazione magnetica cioè l angolo ta la diezione indicata dall ago della bussola e il meidiano geogafico in Italia. Solo all inizio del 6 secolo quando diventaono comuni i viaggi tansoceanici si compese che la declinazione magnetica vaia da luogo a luogo e nel 635 Heny Geliband mostò che tale gandezza in uno stesso luogo è soggetta a lente deive tempoali. Nel 544 Geog Hatmann costatò il fenomeno dell inclinazione magnetica secondo cui un ago calamitato in gado di uotae attono ad un asse oizzontale oienta il polo nod veso il Bussola ipodotta da Petus Peeginus da Maincout nel tattato basso nell emisfeo boeale. De magnete Ispiato ai lavoi di Peeginus Gilbet ealizzò quale modello Pe indicae il nod magnetico l ago ea sagomato a foma di feccia calamus in latino da cui deivò il temine calamita pe denominae i magneti pemanenti.

2 4- Il campo magnetico statico della Tea un magnete di foma sfeica al quale attibuì il nome di teella. Spostando sulla supeficie della teella un piccolo ago magnetico Gilbet ea in gado di ipodue l oientamento della bussola veso il nod teeste. Da tale isultato Gilbet dedusse che la Tea si compota come una gande calamita. Attualmente si itiene che il cento della Tea sia costituito da mateiali feosi allo stato fuso i quali tascinati dalla otazione teeste geneano delle coenti elettiche che come si vedà nel seguito oiginano un asse dipolae nodsud. Nel De magnete di Gilbet viene ipotata anche l ossevazione secondo cui un pezzo di feo fucinato mente è oientato nella diezione nod-sud si magnetizza secondo tale diezione. Pe quanto iguada le ipotesi sull oigine del fenomeno magnetico Gilbet si ifà alle idee animistiche di Talete. Nel 75 il fisico inglese John Michell scopì che la foza epulsiva ta i poli omologhi di due magneti vaia con l inveso del quadato della distanza. Tale legge fu confemata indipendentemente nel 789 da Coulomb adopeando una bilancia di tosione. L analogia ta i fenomeni di attazione e epulsione elettica e magnetica aveva suggeito già ai pimi speimentatoi l idea dell esistenza di un qualche legame ta questi due fenomeni. Fanklin aveva notato l effetto di magnetizzazione di una cassa contenente stoviglie metalliche colpita da un fulmine e Beccaia iusciva a magnetizzae un Hans Chistian Østed Diezione dell ago della bussola in coispondenza di vai punti sulla teella di Gilbet pezzo di feo utilizzando la scaica di una bottiglia di Leyda. La disponibilità di coenti costanti di fote intensità seguita all invenzione della pila fonì un nuovo impulso alla iceca della connessione ta il fenomeno elettico e quello magnetico. Pima del 8 i soli fenomeni magnetici noti eano podotti dalle calamite o dal feo magnetizzato; nel luglio di quell anno il fisico danese Hans Chistian Østed nel coso di un espeienza dimostativa pesso la popia abitazione finalizzata a povae il iscaldamento di un filo conduttoe pecoso da coente si accose della deviazione dell ago di una bussola in coispondenza del passaggio della coente attaveso il filo. In paticolae in disaccodo con l opinione comune che iteneva che tutte le inteazioni di natua elettica o magnetica si popagasseo lungo la congiungente le caiche elettiche o i poli magnetici Østed ossevò che l ago della bussola si dispone sempe pependicolamente al filo pecoso da coente. In elettostatica è stato intodotto il campo elettico come mediatoe dell inteazione ta caiche così in pincipio potebbe essee peseguito un metodo analogo pe l intoduzione del campo magnetico tuttavia non essendo mai state ossevate delle caiche magnetiche isolate tale appoccio isulta nella patica insoddisfacente. L espeienza di Østed ivela che i campi magnetici sono podotti da caiche in moto e come si vedà ta beve i campi magnetici hanno effetto sulle caiche in moto; petanto un analogia al caso elettostatico più adeguata alla descizione dei fenomeni magnetici compota l assunzione che il campo magnetico media l inteazione ta caiche in movimento ovveo ta coenti. L espeienza di Østed

3 Il campo magnetico statico Foza di Loentz Pescindendo pe il momento dalle sogenti del campo magnetico valutiamo come si esplica l inteazione ta un campo magnetico ed una paticella caica. Allo scopo assumiamo che la paticella non sia soggetta ad alti campi al di fuoi di quello magnetico che assumiamo sia unifome. Speimentalmente si veifica che qualoa la caica sia in quiete ispetto alle sogenti che oiginano il campo magnetico su di essa non si esecita alcuna foza. Supponiamo che la paticella sia posta in movimento; in tal caso si osseva che il moto della paticella non si mantiene ettilineo unifome; l assenza pe ipotesi di alti campi suggeisce l esistenza di un inteazione ta la paticella in moto ed il campo magnetico pesente nella egione consideata. In una teoia sull elettone nel 89 il fisico olandese Hendik Antoon Loentz povò che se B appesenta il vettoe associato al campo magnetico q e v sono ispettivamente la caica e la velocità della paticella ispetto alle sogenti del campo magnetico la foza F agente sulla paticella vale: e in modulo F qv B (4.) F qvb sin se è l angolo compeso ta v e B. Si noti che la elazione (4.) ende impossibile la deteminazione del vettoe B attaveso una singola misua; infatti mente in elettostatica la foza F agente su una caica q pe effetto di una campo elettico E vale qe misuando F si può isalie sia all intensità che all oientazione di E ; nel caso del magnetismo la foza F è sempe pependicolae al piano definito dai vettoi v e B indipendentemente dall angolo così non può essee stabilita l oientazione di B attaveso una misua di F. A tale scopo si può ad esempio icecae l angolo in coispondenza del quale la foza espessa dalla (4.) si annulla pe poi stabilie con una seconda misua l intensità di B. Poiché la foza è sempe pependicolae alla diezione della velocità il lavoo elementae eseguito da tale foza vale: dl F dl F v dt qv Bv dt cioè il lavoo compiuto dalla foza magnetica su una paticella in moto è nullo; ne segue che l enegia cinetica della paticella esta invaiata duante tale moto e di conseguenza la velocità cambia in misua tale da lasciane invaiato il modulo. L unità di misua del campo magnetico è il tesla (T) anche noto come webe pe meto quado ( Wb m ) ed è definito attaveso l espessione (4.); T appesenta l intensità del campo magnetico che detemina una foza di N su di una caica di C che si muove alla velocità di m s pependicolamente al campo così:

4 4-4 Il campo magnetico statico Wb N N ; m m C A m s B T un alta unità di uso comune è il gauss (G) e isulta che T è uguale a 4 G. Se agiscono contempoaneamente un campo elettico E ed un campo magnetico B su una paticella di caica q in moto con velocità v la foza totale agente sulla paticella è data da: F q E qv B ; benché venne ottenuta in questa foma nel 889 dall ingegnee inglese Olive Heaviside come genealizzazione di isultati speimentali F è detta foza di Loentz e appesenta la somma della foza elettica e magnetica cui può essee in geneale sottoposta una paticella caica. Esempio: (Moto di una caica in un campo magnetico unifome) Consideiamo una paticella di caica q e di piccola massa m immesa in un campo magnetico unifome B il cui vettoe velocità iniziale v giace su di un piano pependicolae alla diezione di B. In queste condizioni tascuando la gavità la foza F agente sulla paticella è la sola foza di Loentz espessa dalla elazione (4.). Poiché questa foza lascia invaiato il modulo della velocità isulta v t v. Inolte F giace sempe nel piano otogonale a B. Quindi nel suo moto la paticella è sottoposta ad una foza di modulo costante nomale alla velocità petanto possiamo concludee che la paticella compie un moto cicolae unifome la cui acceleazione centipeta è: F qv B a ; m m d alta pate in un moto cicolae l acceleazione centipeta vale v R dove R è il aggio della taiettoia dunque: v R da cui segue: qv B m mv R ; qb il aggio di cuvatua R è quindi popozionale al modulo della quantità di moto della paticella mv. La velocità angolae è tale che v R da cui: v qb R m così il peiodo di ivoluzione della paticella è: m T qb L inveso di tale quantità: f qb m pende il nome di fequenza di ciclotone pe agioni che veanno spiegate in seguito.

5 Il campo magnetico statico 4-5 e isulta indipendente dalla velocità v. Supponiamo che il vettoe velocità v fomi un angolo con la diezione del campo magnetico B. Decomponendo il vettoe v lungo le diezioni paallela e pependicolae a B si hanno ispettivamente i vettoi v e v tali che: v v sin v v cos alloa dalla elazione (4.) siccome v e B sono paalleli segue: e in modulo: F qv B q v v B qv B qv B qv B F qvb qvb sin. Quindi il moto della paticella lungo la diezione paallela a B è ettilineo unifome con velocità pai a v cos mente otogonalmente a B il moto è cicolae unifome con aggio di cuvatua R e peiodo T dati ispettivamente dalle elazioni: mv sin mv R qb qb m T. qb Petanto la taiettoia descitta dalla paticella è un elica cilindica il cui passo p vale: mv cos p v T. qb L esempio pecedente mosta un appoccio pe lo studio del moto di una paticella caica in un campo magnetico è possibile tuttavia isolvee questo tipo di poblemi in maniea più fomale poiettando sugli assi coodinati l equazione del moto: d d m qe q B. (4.) dt dt Esempio: Relativamente al caso tattato nel pecedente esempio il campo elettico è assente mente il campo magnetico è unifome; ponendo l asse z paallelamente alla diezione di B la poiezione della (4.) sui te assi si scive: Taiettoie spialeggianti di un elettone (a sinista) e un positone (a desta) in una camea a bolle. Il mezzo sensibile di questo ivelatoe di paticelle è costituito da un liquido ad una tempeatua possima al suo punto di ebollizione. Il passaggio di una paticella ionizzante attaveso il liquido è evidenziato dalla scia di bolle podotte nel liquido lungo la taiettoia. Pependicolamente al piano del foglio e uscente da questo è disposto un campo magnetico che detemina il pecoso cicolae delle paticelle e consente di stabiline la caica; la foma delle taiettoie è in effetti a spiale in quanto duante il loo pecoso le paticelle pedono enegia negli uti col mezzo e di conseguenza il aggio di cuvatua delle taiettoia tende a idusi. Il positone e l elettone sono stati ceati in coppia dal decadimento di un fotone poveniente dal basso invisibile peché essendo pivo di caica non poduce bolle nel liquido.

6 4-6 Il campo magnetico statico d x dy m q B dt dt d y dx m q B dt dt d z m ; dt si peviene quindi ad un sistema di equazioni diffeenziali che può essee isolto in modo tadizionale una volta definite le condizioni iniziali. Esempio: (il ciclotone) Le speimentazioni di fisica nucleae vengono solitamente condotte adopeando delle macchine acceleatici in cui paticelle caiche sono potate ad elevate enegie cinetiche pima di essee utilizzate quali poiettili conto nuclei; l analisi degli effetti delle collisioni fonisce delle indicazioni sulle caatteistiche delle foze nucleai e delle paticelle elementai. Nel ciclotone inventato da Enest Olando Lawence nel 93 un campo elettico di piccola estensione viene ipetutamente attavesato da paticelle caiche in modo che ad ogni passaggio esse vengono acceleate mente un campo magnetico nomale alla diezione della velocità delle paticelle viene adopeato pe incuvae la taiettoia e ipotae le paticelle sotto l azione del campo elettico pe una successiva acceleazione. In figua è mostato lo schema di tale macchina. Le paticelle si muovono sotto vuoto in una camea fomata da due semiscatole cilindiche conduttici cave (D) sepaate ta loo in modo che mediante l applicazione di un oppotuna diffeenza di potenziale vt nella zona libea ta le due D si stabilisce un campo elettico Et la cui funzione è quella di acceleae le paticelle caiche che attavesano tale zona. Estenamente alle due semiscatole cilindiche è pesente un campo magnetico B unifome e costante che pe effetto della foza di Loentz impone una taiettoia semicicolae alle paticelle. Una paticella caica emessa da una sogente di ioni S posta al cento del dispositivo viene acceleata dal campo elettico Et acquistando enegia cinetica. La velocità della paticella è dietta veso una cavità dove il campo B le impone la taiettoia cicolae. E t T E t e petanto detemina un ulteioe All uscita della cavità il campo elettico è invetito ispetto a aumento dell enegia cinetica ed il moto veso l alta cavità. La fequenza di ivoluzione pai a qb m essendo indipendente dalla velocità della paticella consente di sinconizzane i suoi successivi passaggi attaveso la egione in vt e quindi con il vaiae del veso del cui è pesente il campo elettico con l altenasi della diffeenza di potenziale campo elettico. Ciò ichiede che la fequenza del geneatoe coincida con la fequenza di ciclotone. Siccome il aggio di cuvatua vale mv R qb in coispondenza di ogni semigio al cescee di v aumenta anche R pe cui le paticelle dopo ave descitto una taiettoia spialeggiante vengono espulse attaveso un oppotuno deflettoe. L enegia cinetica aggiunta delle paticelle è popozionale al numeo n di ivoluzioni: E nqv mv k M max dove V è la diffeenza di potenziale ta le D e M v appesenta la massima max velocità aggiunta. Siccome: alloa: R max mv qb max Pimo ciclotone costuito da Lawence con aggio di cica 4.5 cm in gado di acceleae potoni sino ad un enegia 8 kev.

7 Il campo magnetico statico 4-7 q B R Ek mvmax m D alta pate dalla elazione: Modello meccanico di ciclotone. In questo modello la pallina subisce una acceleazione ad ogni otolamento lungo la sezione inclinata in gomma che congiunge le due piattafome mobili coispondenti agli elettodi acceleatoi della macchina eale. Il meccanismo a camme solleva ciascuna piattafoma mente la pallina pecoe la scanalatua a spiale così la pallina conseva la sua velocità e ad ogni successivo tansito compie un passaggio sempe in discesa. (adattato da R. Wilson R. Littaue Acceleatos: Machines of Physics New Yok Doubleday Ancho 96). max. q B Rmax Ek nqvm m è possibile icavae il numeo di ivoluzioni nell inteo pocesso di acceleazione: qb R n 4mV max M. Questo dispositivo funziona nel modo descitto finché la velocità v si mantiene tascuabile ispetto alla velocità max della luce nel vuoto peché altimenti la massa diventa significativamente dipendente dalla velocità impedendo di fatto la sinconizzazione del campo elettico acceleante con la fequenza di ciclotone. Esempio: (lo spettometo di massa) Lo spettometo di massa ealizzato nel 9 dal chimico inglese Fancis Williams Aston è uno stumento usato pe valutae la massa di paticelle caiche. In paticolae con tale dispositivo è possibile ottenee elevate pecisioni in misue elative ossia qualoa si vogliano deteminae piccole diffeenze di massa di atomi agguppati in un medesimo sistema come accade pe gli isotopi di uno stesso elemento. Si noti che gli isotopi di un elemento sono atomi che diffeiscono ta loo unicamente pe il numeo di neutoni pesenti nel nucleo e non sono distinguibili ta loo attaveso metodi chimici peché avendo la medesima stuttua atomica posseggono le stesse popietà chimiche. Pima di entae nello spettometo gli atomi vengono peventivamente ionizzati ad esempio vengono fatti diventae degli ioni monovalenti di caica e e la loo velocità è potata ad un oppotuno valoe attaveso dei campi elettici acceleatoi e degli oppotuni filti che eliminano le paticelle con velocità diffeente da quella stabilita. Il fascio collimato di ioni positivi della oppotuna velocità v è intodotto in una egione in cui è pesente un campo magnetico unifome B nomale a v. Petanto ciascuno ione desciveà una taiettoia cicolae di aggio: mv R. qb Siccome il appoto vb è uguale pe tutti gli atomi attaveso la misua di R è possibile stabilie il appoto qm e inolte se q è noto si può deteminae m. Come anticipato il metodo isulta

8 4-8 Il campo magnetico statico paticolamente peciso nelle misue elative; se il fascio è costituito da ioni di uguale caica e diffeente massa m m m si ha: 3 R m R m R m R m 3 3 Spettometo di massa ealizzato da Aston nel 95 (Cavendish Laboatoy museum Cambidge) pe cui nota una delle masse ad esempio m dai appoti ta i aggi di cuvatua R R è possibile deteminae le alte masse k m. La k deteminazione speimentale dei valoi di R viene effettuata o attaveso una lasta fotogafica che viene a sensibilizzasi a seguito dell uto degli ioni oppue con un ivelatoe elettonico di ioni. Esempio: (la scopeta dell elettone) Nel 838 M. Faaday ossevò la fomazione di un aco luminoso ta due elettodi collegati ad una seie di batteie posti in un tubo di veto in cui ea fatto il vuoto; Faaday notò inolte che l intensità della luce podotta in questa maniea aumentava col diminuie della pessione del gas contenuto nel tubo. L aco luminoso si oiginava dall elettodo posto a potenziale minoe (catodo) e teminava sull elettodo a potenziale maggioe (anodo). Col miglioae delle tecniche pe fae il vuoto si scopì che la luminosità anziché fomae un aco tendeva a satuae l inteo tubo. 6 Intono al 87 il fisico inglese William Cookes iuscì a idue al di sotto di atm la pessione all inteno di un tubo di veto pe lo studio della scaica accentuando un fenomeno già notato da Faaday cioè la fomazione di una egione piva di luminosità nelle vicinanze del catodo; Cookes scopì che in coispondenza dell estazione dell aia la egione oscua pendeva ad estendesi pe tutta la lunghezza del tubo e solo in possimità dell anodo si illuminava la egione di veto che costituiva il tubo. Questa luminosità veniva accentuata se la pate intena del tubo vicino l anodo veniva copeta da una venice a base di solfuo di zinco. Nel 869 il fisico tedesco Johann Hittof ipotizzò che tale fenomeno ea causato da qualcosa che veniva emesso dal catodo che viaggiando in linea etta attaveso il tubo povocava la luminescenza in possimità dell anodo. A queste entità venne attibuito il nome di aggi catodici. Alla fine del diciannovesimo fuono svolti molteplici espeimenti pe compendee la natua dei aggi catodici ovveo se si tattava di paticelle o di qualche foma di adiazione. La contovesia venne isolta nel 897 quando Joseph John Thomson al temine di una seie di espeimenti giunse alla conclusione che i aggi catodici hanno natua paticellae misuandone in paticolae il appoto ta la caica e la massa delle paticelle che li costituiscono. In figua è mostata una appesentazione schematica dell appaato adopeato da Thomson pe tale deteminazione. Un fascio di aggi catodici emesso dal catodo C focalizzato attaveso gli elettodi foati F e F passa attaveso gli elettodi A e A ta i quali è disposto un campo elettico E ; inolte un sistema di bobine estene al tubo non mostate nella figua detemina un campo magnetico B nella egione compesa ta gli elettodi A e A dietto pependicolamente sia al campo elettico che al fascio. Il fascio dopo ave attavesato gli elettodi A e A aggiunge lo schemo S dove viene ivelato attaveso la luminosità che poduce quando lo colpisce. Quando penetano nella egione ta gli elettodi in cui è pesente il campo elettico in assenza di campo magnetico le paticelle del fascio pe effetto della caica posseduta sono soggette ad una foza: F qe dove q è la caica delle paticelle del fascio; petanto il moto ta gli elettodi di tali paticelle è descitto dalla elazione: ma qe. Assumendo che le paticelle abbiano una velocità iniziale v dietta del veso positivo delle x di intensità v (si veda la x figua) e che penetino nella egione compesa ta le amatue in coispondenza del punto di coodinate ( dl ) dove d è la distanza ta il cento degli elettodi A e A di lunghezza l e lo schemo S integando l equazione pecedente si tova:

9 Il campo magnetico statico 4-9 l x d vxt l l d x d qe y t. m Eliminando il paameto t ta queste equazioni segue: qe qe d l qe d l l l y x x d x d mv mv 8mv x x x petanto nella egione compesa ta gli elettodi A e A il moto è paabolico. Le paticelle del fascio supeano la egione compesa ta tali elettodi al tempo lv nel punto di coodinata x pai a d l e coodinata y uguale a x x qel mv. Al di fuoi di tale egione non agendo foze il moto delle paticelle è ettilineo unifome; la velocità lungo la diezione x esta invaiata la velocità lungo y vale: v dy d qe qel dt dt m mv y t l t l t vx vx x. Le equazioni oaie del moto al di fuoi della egione compesa ta gli elettodi A e A sono quindi: l l x d vx t vx l d x qel qel l y t. mvx mvx vx Eliminando il paameto t ta queste equazioni si tova: qel qeld. l y x d x mv mv x x In questa elazione imponendo x si deduce la coodinata y di impatto delle paticelle sullo schemo: qeld y (4.3) mvx Da tale espessione è possibile dedue il appoto qm nota la velocità v ; pe icavae questa quantità si applica un x campo magnetico B pependicolamente al campo elettico E nella egione compesa ta gli elettodi A e A come indicato in figua e se ne egola l intensità in modo che il fascio di paticelle non subisca alcuna deviazione attavesando questa egione. Ciò significa che la isultante delle foze agenti sulle paticelle del fascio è nulla ovveo: qe qv B. Sviluppando tale elazione poiché i vettoi v e B sono pependicolai segue: E vx. B Infine sostituendo nella elazione (4.3) si ottiene: q ye m ldb.

10 4- Il campo magnetico statico Il valoe attualmente accettato pe questo appoto è.7588 C kg e coisponde al appoto ta la caica e la massa dell elettone. Alla luce dell identificazione degli elettoni quali costituenti dei aggi catodici è possibile dae una intepetazione della fenomenologia della scaica nei tubi a vuoto. L intenso campo elettico che si detemina ta catodo ed anodo nel tubo causa la ionizzazione delle molecole esidue pesenti nel tubo stesso; in paticolae gli ioni positivi attatti dal catodo collidendo con esso deteminano l emissione di elettoni. Avendo caica negativa gli elettoni sono espinti dal catodo e pecoono l inteo tubo veso l anodo a velocità cescente. Nei pimi espeimenti in cui il vuoto all inteno del tubo ea solo paziale si poteva ossevae una luminosità diffusa nel tubo dovuta agli uti degli elettoni con le molecole esidue del gas; in conseguenza di tali uti le molecole si ionizzavano e quando iacquistavano l elettone peso si tovavano in uno stato eccitato dal quale decadevano allo stato fondamentale attaveso l emissione della luce che veniva ossevata. Col miglioae del vuoto il numeo di molecole esidue si iduceva e petanto scompaiva la luminosità diffusa nel tubo. Il fenomeno che poduce l illuminazione dello schemo copeto dalla venice a base di Solfuo di Zinco quando è colpito dal fascio di elettoni è detto fluoescenza ed è analogo a quello che causa la diffusione della luminosità nel tubo pazialmente svuotato. A patie dalla scopeta dell elettone e pima che venisse identificato il nucleo dell atomo nel 94 Thomson popose un modello atomico detto plum pudding model (a panettone in italiano) in cui l atomo si assumeva fosse composto da elettoni immesi in una distibuzione unifome di caiche positive tali da neutalizzae la caica negativa degli elettoni. La successiva scopeta del nucleo atomico nel 9 da pate di Enest Ruthefod potò ad abbandonae questo Joseph John Thomson modello. 4. Effetto di un campo magnetico su una coente Consideiamo un tatto di conduttoe ettilineo di lunghezza l e sezione S pecoso da una coente I immeso in un campo magnetico esteno B unifome; la foza agente sulle caiche del conduttoe pe effetto di tale campo è qvd B in cui v d è la velocità di deiva delle caiche. Se n appesenta il numeo di caiche libee pe unità di volume disponibili la foza pe unità di volume f agente sulle caiche è: f qn vd B J B dove J è la densità di coente nel conduttoe. La foza agente su ciascuna caica viene tasfeita a tutta la massa del filo conduttoe attaveso gli uti con gli atomi che lo costituiscono. Petanto la foza che si esplica su di un volume elementae dv pai a Sdl è: df f dv J BS dl. Nell ipotesi che il conduttoe possa itenesi filifome se ˆt è il vesoe tangente a tale conduttoe il vettoe densità di coente J può espimesi come Jt ˆ inolte siccome l elemento dl vale dl t ˆ la elazione pecedente diviene: df J BS dl J tˆ BS dl J tˆdl BS JS dl B.

11 Il campo magnetico statico 4- Nell ipotesi che la densità di coente sia unifome in tutto il conduttoe e pependicolae alla sua sezione il podotto JS è pai alla coente I attaveso il conduttoe petanto: df I dl B espessione icavata da Andé Maie Ampèe nel 8 che pe pimo ebbe l idea di descivee il conduttoe pecoso da coente come un insieme di elementi di coente I dl. Infine pe ottenee la foza totale agente sull inteo filo conduttoe se U e V indicano gli estemi del filo integando l equazione pecedente si ha: V F I dl B. (4.5) U Esempio: Consideiamo un filo conduttoe pecoso da una coente I posto in un campo magnetico unifome B. La foza agente sul filo di estemi U e V vale: V V F I dl B I dl B U U cioè B è stato potato fuoi dal segno di integale poiché essendo unifome assume lo stesso valoe in coispondenza di ciascun elemento dl del conduttoe. D alta pate l integale ta paentesi appesenta il vettoe isultante l di tutti gli elementi dl del conduttoe: V l dl U così la foza F può essee espessa come 3 : 3 Questo isultato può essee conseguito in maniea fomale calcolando diettamente l integale (4.5); allo scopo supponiamo pe semplicità che il pecoso da U a V sia piano isulta alloa: dl xdx ˆ yˆ dy inolte il campo B può essee espesso come: B xˆb yˆb zˆ B x y z sostituendo nella (4.5) si ha quindi: V xˆ yˆ zˆ F I dl B I dx dy U V U B B B x y z V V V V V I xˆ B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ zdy y Bzdx z Bydx Bxdy I x Bz dy y Bz dx z By dx z Bx dy U U U U U xˆ yˆ zˆ I xˆb y yˆb x zˆb x zˆb y I x y I l B z z y x B B B x y z

12 4- Il campo magnetico statico F I l B. Supponiamo oa che il filo conduttoe sia chiuso su se stesso in modo da fomae una spia ; in questo caso la foza agente su tale conduttoe vale: F I dl B I dl B d alta pate siccome l insieme dei vettoi dl foma un poligono chiuso alloa: dl così di conseguenza: F. Tale isultato ci pota a concludee che la foza magnetica totale che si esecita su una spia pecosa da coente immesa in un campo magnetico unifome è nulla. Esempio: (foza magnetica su una spia ettangolae) Sempe nel 8 Østed sospendendo una piccola batteia ad un filo e chiudendo il cicuito ne costatò la otazione in coispondenza dell avvicinamento di un magnete. Consideiamo una spia ettangolae igida immesa in un campo magnetico unifome B dietto nomalmente ad una coppia dei suoi lati e pecosa da una coente I. Tascuiamo il campo magnetico podotto dalla spia stessa. Alla luce di quanto visto nell esempio pecedente l azione del campo magnetico unifome sulla spia detemina una foza isultante nulla; supponiamo quindi che tale spia sia vincolata ad un asse passante pe il punto medio di una coppia dei suoi lati in modo da pote uotae attono a questo asse (si veda la figua). Analizziamo le singole foze agenti su ciascun tatto della spia ossevando che il vettoe dl è dietto in ogni punto paallelamente ai lati. Le foze agenti sui lati infeioe e supeioe di lunghezza L hanno intensità: F IBL sin IBLcos in cui appesenta l angolo ta la nomale ˆn alla spia e la diezione del vettoe B ; il veso di queste foze è opposto pe cui giacendo lungo la stessa etta di applicazione non deteminano effetti dinamici sulla spia. Le intensità delle foze agenti sui lati veticali della spia sono: F IBL ; (4.6) anche in questo caso le due foze hanno lo stesso modulo e la stessa diezione con veso opposto tuttavia tali foze non condividono la medesima etta di applicazione. Pe la coppia di foze F isulta quindi in geneale diveso da zeo il momento tocente; pe la singola foza questo momento ispetto al punto O (si veda la figua) ha intensità: L F F sin in cui si è posto: l xˆ x yˆ y.

13 Il campo magnetico statico 4-3 e siccome entambi i momenti hanno uguali intensità diezioni e vesi il momento totale isulteà doppio del momento così pe il modulo isulta: F L F F sin FLsin IBLLsin (4.7) in cui si è sostituita l espessione di F dalla (4.6). D alta pate il podotto LL appesenta l aea S della spia pe cui intoducendo un vettoe così definito: m IS nˆ (4.8) la elazione (4.7) diventa: mbsin ; Banco di Ampèe dispositivo pe lo studio dell inteazione di un campo magnetico con una spia pecosa da coente. infine a questa espessione può essee fatta coispondee la elazione vettoiale: m B. Dall esame di queste ultime due espessioni possiamo ossevae che il sistema aggiunge l equilibio meccanico quando ovveo pe cioè quando la spia si dispone pependicolamente al campo magnetico ed i vettoi B e m isultano allineati. Il vettoe m definito nella elazione (4.8) dell esempio pecedente pende il nome di momento di dipolo magnetico; il suo veso segue la egola della mano desta nel senso che se si associa il veso della coente nella spia a quello delle dita della mano desta che si chiudono sul palmo della mano il veso di m punta nella diezione indicata dal pollice. Dimensionalmente il momento di dipolo magnetico si espime in Am. Il fatto che una spia pecosa da coente si compoti come un dipolo magnetico le cui popietà saanno appofondite in seguito fu suggeita da Ampèe nel 8 e va sotto il nome di teoema di equivalenza di Ampèe 4. Con ifeimento ad una spia di supeficie S pecosa da una coente I oientando il veso di un vettoe S come quello che vede cicolae la coente in senso antioaio il teoema di equivalenza di Ampèe si espime come: m IS (4.9) e appesenta una popietà geneale delle spie chiuse pecose da coente. 4.3 La legge di Biot-Savat Alla fine del 8 Jean Baptiste Biot e Félix Savat dedusseo speimentalmente le caatteistiche della foza magnetica podotta dal filo pecoso da coente. Consideiamo un geneico filo conduttoe pecoso da una coente I stazionaia; sia dl un tatto elementae del conduttoe oientato nel veso di I il campo magnetico db deteminato da tale tatto in coispondenza di un punto P posto a distanza da dl vale: 4 Come vedemo nel seguito l equivalenza della spia chiusa pecosa da coente sottolineata dal nome attibuito a tale teoema e messa in luce da Ampèe è da intendesi con i magneti pemanenti.

14 4-4 Il campo magnetico statico db I dl ˆ 4 (4.) dove ˆ è un vesoe che spicca dal tatto dl e punta veso P e è la pemeabilità magnetica del vuoto che vale: T m 4.57 A T m A 7 6. La elazione (4.) appesenta l espessione della legge di Biot-Savat sebbene sia stata fomalizzata da Ampèe. Se ˆt indica il vesoe tangente punto pe punto al filo conduttoe siccome dl può essee espesso come ˆt dl dalla (4.) segue: I dl ˆ ˆ ˆ I t db dl. 4 4 Natualmente queste elazioni che foniscono l espessione di db sebbene di validità geneale devono essee intese soltanto quali stumenti di calcolo in quanto speimentalmente non è possibile misuae in alcun modo il contibuto di un elemento infinitesimo di filo che a sua volta non può esistee indipendentemente dal esto del filo. Petanto consideando la sovapposizione dei contibuti di tutti gli elementi dl in cui può essee suddiviso il conduttoe si ha: Jean Baptiste Biot I dl ˆ I dl B (4.) dove l integale è da intendesi esteso a tutto il filo conduttoe. Occoe notae le somiglianze ta l espessione della legge di Biot-Savat elativa al magnetismo e l espessione della legge di Coulomb dell elettostatica. Mente una caica puntifome detemina un campo elettico un elemento di coente I dl poduce un campo magnetico; inolte l intensità del campo magnetico dipende dall inveso del quadato della distanza dall elemento di coente analogamente a come il campo elettico podotto da una caica puntifome dipende dalla distanza dalla caica. Tuttavia come fu evidenziato speimentalmente da Biot e da Savat le diezioni dei due campi Félix Savat isultano completamente diffeenti. Il campo elettico in un punto P geneato da una caica puntifome è dietto adialmente cioè come il vettoe che oigina dalla caica ed ha estemo libeo in P mente il campo magnetico in un punto P podotto da un elemento di coente è pependicolae sia all elemento di coente che al vettoe che oigina da tale elemento ed ha estemo libeo in P. Qualoa il conduttoe non fosse filifome si considea un elemento di conduttoe di lunghezza dl e sezione ds

15 Il campo magnetico statico 4-5 pecoso da una coente di densità J ; l elemento di coente può essee espesso come: di dl J dsdl J dv dove dv è il volume dsdl dell elemento consideato e J è paallelo a dl. Petanto nel punto P situato a distanza dall elemento consideato dalla (4.) si ha: di dl ˆ ˆ ˆ J dsdl J db dv (4.) così integando in tutto il volume V in cui J è diveso da zeo isulta: ˆ B dv. (4.3) J 4 V Esempio: (Campo magnetico podotto da una caica in moto) La densità di caica J è legata alla velocità dei potatoi di caica v ed alla loo concentazione n dalla elazione: J nqv dove q indica la caica dei potatoi; così sostituendo nella (4.) si ha: J ˆ ˆ qv db d nd 4 4 si è indicato il volume elementae con d anziché con dv. Siccome il podotto nd indica il numeo di caiche contenute nel volume d qualoa si considei un unica caica l integazione di tale temine deve deteminae un isultato unitaio quindi: ˆ q v B. 4 Si ossevi che il campo elettico geneato dalla stessa caica nel medesimo punto in cui è calcolato il campo magnetico vale: E 4 q ˆ nell ipotesi in cui pe le caiche in moto continuino a valee le fomule petinenti all elettostatica. Quindi confontando queste ultime due elazioni si tova: dove si è posto: B v E v E c c m s (4.4) cioè c è pai alla velocità della luce nel vuoto. Occoe altesì aggiungee che tali elazioni hanno validità solo nel limite in cui la velocità v è molto minoe di c così l inteesse nelle pecedenti deivazioni isiede unicamente nel fatto che le

16 4-6 Il campo magnetico statico elazioni icavate mettono in luce come il campo magnetico podotto da una caica in movimento non dipenda dalle cause che ne oiginano il moto. Esempio: (Campo magnetico podotto da un conduttoe ettilineo filifome) Consideiamo un conduttoe ettilineo pecoso da una coente stazionaia I e stabiliamo il campo magnetico pesente in un punto P posto a distanza R dal filo conduttoe. Nel sistema di ifeimento di figua isulta: dl ˆ dl ˆ xˆ dy sin xˆ dove è l angolo compeso ta la diezione del vesoe ˆ e quella dell asse y; facendo uso di tale identità nella elazione (4.) si ha: I dl ˆ I dy sin db xˆ. 4 4 Inolte siccome vale R sin e Ry tan da cui segue che dy R sin d sostituendo nella pecedente espessionesi tova: I sin R I db d sin xˆ sin d xˆ. 4 R sin 4 R Integando su tutti gli elementi di coente che costituiscono il conduttoe cioè ta gli angoli e indicati in figua si ha: I I B sin d xˆ cos cos xˆ. 4R 4R Dalla elazione pecedente segue in paticolae che pe un filo di lunghezza infinita siccome vale e vale isulta: I B xˆ ; (4.5) R Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da un filo conduttoe pecoso da coente. quindi pe un filo di lunghezza infinita le linee di foza del campo magnetico sono ciconfeenze concentiche con il cento del filo e disposte nel piano pependicolae alla diezione del filo. Il veso del vettoe B segue la egola della mano desta nel senso che se il pollice punta nel veso della coente il vettoe campo magnetico punta nella diezione delle quatto dita. Si noti infine che questa elazione ha la stessa foma funzionale del campo elettico geneato da una distibuzione ettilinea indefinita di caica elettica. Esempio: (Campo magnetico podotto sull asse di una spia cicolae) Consideiamo una spia cicolae di aggio R pecosa da una coente I. Intoduciamo un sistema di ifeimento catesiano con oigine nel cento della spia ed asse z coincidente con l asse della spia. Stabiliamo l intensità del campo magnetico in coispondenza del punto P posto sull asse alla coodinata z. Il contibuto al campo magnetico da pate di un elemento di coente I dl è dato dalla elazione (4.); d alta pate siccome il vettoe dl ed il vesoe ˆ sono

17 Il campo magnetico statico 4-7 pependicolai il modulo del podotto dl ˆ coincide con dl quindi: I dl ˆ I dl db. 4 4 Il vettoe db è pependicolae al piano definito da ˆ e da dl ; quando si consideano i contibuti db di tutti gli elementi I dl che fomano la spia si osseva che le componenti paallele all asse z si sommano mente quelle pependicolai si elidono a due a due pe la simmetia del poblema. Nei punti dell asse della spia il campo magnetico è dunque paallelo all asse stesso e concode a questo se l oientazione coisponde a quella della coente secondo la egola della mano desta. Il contibuto al campo da pate della componente dietta lungo l asse z è: Dispositivo pe lo studio del campo magnetico podotto da una spia pecosa da coente. I dl dbz db 4 cos cos dove cos può essee espesso come il appoto R; petanto integando lungo tutta la spia si ha: I dl I R I R IR B cos dl R spia spia (4.6) Infine poiché R z alloa: IR B R z 3 zˆ. Al cento della spia pe z pai a il campo assume la massima intensità B max I zˆ R mente pe z il campo si annulla. Quando è soddisfatta la condizione z B e isulta: max R l espessione del campo diventa: IR I R B zˆ zˆ; (4.7) 3 3 z 4 z d alta pate dalla elazione (4.9) segue che alla spia può essee associato un momento di dipolo magnetico dato da: ˆ m I R z così sostituendo nell espessione di B pe z R segue: m B 3. 4 z Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da una spia cicolae pecosa da coente. Questa elazione è simile a quella tovata pe il campo elettico a gande distanza da un dipolo elettico dove isulta 3 E 4 p z ; pe similitudine col dipolo elettico si deduce inolte che l enegia potenziale di un dipolo magnetico quando questo è immeso in un campo magnetico B è data dalla elazione: U m B.

18 4-8 Il campo magnetico statico 4.4 Elettomagnetismo e sistemi di ifeimento Consideiamo una paticella di caica q situata a distanza da un filo conduttoe pecoso dalla coente I. Supponiamo che sia la paticella che il filo siano in quiete in un sistema di ifeimento ineziale S. Sia v la velocità di deiva degli elettoni nel filo. Consideato un tatto geneico l del filo al suo inteno ci saà un uguale numeo di caiche positive e negative Q pe cui il filo isulteà complessivamente neuto. In paticolae assumendo che la caica sia distibuita unifomemente le densità delle caiche positive e negative vaanno ispettivamente: Q l Q l così isulta ; indicando con E il campo elettico podotto dalle caiche positive e con E quello podotto dalle caiche negative il campo elettico in coispondenza della caica q avà intensità: Q Q E E E (4.8) l l pe cui non influenza lo stato della paticella. La coente I attaveso il filo è: Q Q I v v T l dove T appesenta il tempo impiegato dagli elettoni pe pecoee il tatto l del filo alla velocità v. Petanto dalla (4.5) segue che il campo magnetico in coispondenza della paticella ha intensità pai a: B I v ; tale campo non poduce effetti dinamici sulla paticella caica essendo questa a iposo. Consideiamo oa il punto di vista di un ossevatoe solidale con un sistema di ifeimento S in moto assieme agli elettoni nel filo. In questo caso la coente è podotta dal moto degli ioni positivi del conduttoe e inolte la caica q saà in moto con velocità v. Tale caica saà quindi soggetta ad una foza B F di natua magnetica. Tuttavia se l acceleazione della paticella è nulla nel sistema di ifeimento S lo deve essee anche in S siccome l acceleazione è una gandezza invaiante in coispondenza del passaggio da un sistema di ifeimento ad un alto in moto ettilineo unifome ispetto al pimo; ne segue che in S la paticella deve essee soggetta ad un ulteioe foza tale da annullae la isultante delle foze agenti sulla paticella. Questa foza deve essee di natua elettica. Pe stabilie l oigine di tale foza consideiamo il filo nel sistema di ifeimento S come costituito

19 Il campo magnetico statico 4-9 da due sbaette di lunghezze l e l uguali e pai a l una caica positivamente a iposo e l alta caica negativamente in moto. In questo sistema di ifeimento dalla (4.8) si ha: E E quindi deve isultae. Nel sistema di ifeimento S pe pote bilanciae la foza magnetica F B i campi elettici E e E devono necessaiamente essee in modulo divesi e in paticolae deve valee la elazione: E E pe cui in questo caso deve avesi:. Se assumiamo che la caica contenuta nelle sbaette sia in valoe assoluto la stessa indipendentemente dal fatto che siano in quiete o in moto dalla elazione pecedente si ha: Q l Q l dove si sono indicate con l e l le lunghezza delle due sbaette in S ; così in tale sistema di ifeimento deve isultae: l l. È possibile quantificae la elazione pecedente a patie dal bilancio delle foze agenti sulla paticella nel sistema di ifeimento S. La foza magnetica F B in tale sistema ha intensità: v v v Q F B qvb qv q q l e la foza elettica F E ha intensità: Q Q F E q q q. l l Imponendo l uguaglianza ta queste due intensità segue:

20 4- Il campo magnetico statico l l v c essendo c quindi: dalla (4.4). Pe ottenee l identità ta i moduli di B E E E E ; ciò si avà se: ovveo se: F e F E deve isultae Q Q l l Q Q l l e quindi se: l l l l. Cioè la sbaetta caica negativamente a iposo in S ha lunghezza maggioe ispetto a S dove è in moto; al contaio la sbaetta caica positivamente in moto in S ha lunghezza minoe ispetto a S dove si tova a iposo. Pe simmetia possiamo ipotizzae che l entità dell allungamento di l ispetto a l sia uguale all entità della contazione di l ispetto a l. Posto: v c facendo seguito all ipotesi testé fomulata deve isultae: l l (4.9) l l. (4.) Siccome in S isulta: l l l

21 Il campo magnetico statico 4- si ha: l l l l l v c in accodo con la pecedente elazione. Quanto veificato mosta che pe mantenee l identità di ossevazioni nei due sistemi di ifeimento è necessaio assumee che le sbaette in moto abbiano lunghezza infeioe di un fattoe ispetto alla stesse sbaette a iposo. Tale isultato dedotto da una esigenza di natua dinamica può essee icavato dai pincipi della Relatività istetta. Come abbiamo constatato l oigine di un campo elettico pe effetto di un cambiamento di sistema di ifeimento è possibile veificae in alte cicostanze l oigine di un campo magnetico sempe in elazione al cambiamento di sistema di ifeimento. Questo ci pota a concludee che quale conseguenza della Relatività i campi elettico e magnetico non esistono quali entità indipendenti e un campo puamente elettico o magnetico in un ceto sistema di ifeimento ha componenti sia magnetiche che elettiche in un alto sistema di ifeimento. Un ulteioe conseguenza delle ipotesi fatte può essee icavata attaveso l esempio successivo. Esempio: Consideiamo una caica negativa q a distanza da un filo conduttoe pecoso dalla coente I. Supponiamo che la paticella sia in moto con velocità v paallelamente al filo ispetto ad un sistema di ifeimento ineziale S ed assumiamo pe semplicità che v sia pai alla velocità di deiva degli elettoni nel filo. La coente I può espimesi attaveso la densità di caica degli elettoni come I v pe cui dalla (4.5) il campo magnetico podotto dal filo avà intensità: I v B e dalla (4.) la foza agente sulla caica vale quindi: v v FB qv B qv q ossia la paticella isulteà attatta veso il filo. Consideiamo un sistema di ifeimento S solidale alla paticella; siccome qui la caica è in quiete non è pesente alcuna foza magnetica sulla paticella. Tuttavia siccome l acceleazione è la stessa in entambi i sistemi di ifeimento essendo uno in moto ettilineo unifome ispetto all alto sulla caica in S deve agie una foza che saà di natua elettica. Pe valutae l entità di questa foza in S possiamo applicae le elazioni (4.9) e (4.) allo scopo pe stabilie come cambiano le densità di caica in coispondenza del cambiamento di sistema di ifeimento. Cioè: Q Q l l Q Q. l l Siccome in S la foza elettica agente sulla caica saà divesa da zeo ed avà modulo:

22 4- Il campo magnetico statico q q F E qe E q q c c q c q v v q F. B v c v c c Confontando tale elazione con la (4.) possiamo veificae che pe piccole velocità ossia nel limite v c i isultati sono identici. Tuttavia gli ossevatoi in S e in S devono constatae gli stessi effetti fisici dalle due foze ovveo entambe devono deteminae le stesse vaiazioni della quantità di moto. Petanto posto: e p F t B p F t F t E B in cui si è assunto che gli intevalli di tempo nei due sistemi di ifeimento S e S sono diffeenti affinché isulti deve avesi: p p t t. Cioè gli intevalli di tempo che si ifeiscono alla paticella in moto isultano più lunghi di quelli misuati nel sistema in cui la paticella è in quiete. Anche questo isultato può essee dedotto dai pincipi della Relatività istetta. 4.5 Foza magnetica ta due conduttoi paalleli Siccome un conduttoe pecoso da coente genea un campo magnetico ed è soggetto ad una foza quando è immeso in un campo magnetico due conduttoi pecosi da coente isulteanno sottoposti a foze magnetiche ecipoche; tale popietà fu veificata speimentalmente da Ampèe nel 8. Consideiamo due conduttoi e ettilinei indefiniti e paalleli posti alla distanza d uno dall alto e pecosi ispettivamente dalle coenti I e I diette nel medesimo veso (si veda la figua). Pe effetto del campo magnetico B podotto dal conduttoe pecoso da coente l elemento di coente Idl saà soggetto alla foza (4.4): df I dl B dove dalla (4.5) il campo B vale: I B ˆ z. d

23 Il campo magnetico statico 4-3 D alta pate con ifeimento al sistema di coodinate adottato (si veda la figua) il vettoe dl isulta pai a dl ˆ y così: I II df ˆ ˆ ˆ I dl y z dl x d d. Quindi la foza esecitata pe unità di lunghezza dal conduttoe sul conduttoe vale: df dl II d ˆ x. Se si considea il campo magnetico podotto dal conduttoe la foza pe unità di lunghezza df dl isulteà uguale in modulo e diezione a df dl ma in accodo con la teza legge della dinamica opposta in veso: df dl df. dl Quando le coenti nei due conduttoi scoono in veso opposto le foze si invetono e a diffeenza del caso pecedente i due fili tendono a espingesi. Petanto conduttoi paalleli in cui scoono coenti nello stesso veso si attaggono mente conduttoi paalleli in cui scoono coenti in veso opposto si espingono. La foza agente ta fili conduttoi paalleli pecosi da coente è usata pe definie l unità di misua della coente nella maniea seguente: se due fili paalleli di lunghezza indefinita posti alla distanza di m e pecosi dalla stessa coente inteagiscono con una foza pe unità di lunghezza di 7 Nm la coente che li attavesa è pe definizione di A. Di fatto tale definizione fissa il valoe della pemeabilità magnetica del vuoto 7 che vale petanto 4 T m A. Esempio: (Effetto Hall) Nel 879 il fisico ameicano Edwin Hebet Hall scopì che un conduttoe pecoso da coente sviluppa una foza elettomotice tasvesa alla coente in pesenza di un campo magnetico pependicolae al flusso di coente. Attaveso tale espeimento si veificò l ipotesi che i potatoi di coente avesseo caica negativa in accodo con la scopeta successiva da pate di Thomson della caica negativa degli elettoni. Tuttavia alcuni metalli come lo zinco mostavano che i potatoi di caica avevano segno opposto cioè paeva che i potatoi fosseo dotati di caica positiva. La coente podotta da caiche positive fu di conseguenza definita anomala essendo a quei tempi omai accettata l idea che gli elettoni itenuti esponsabili della coente avesseo caica negativa. Consideiamo una sbaetta conduttice a foma di paallelepipedo di lati a e b pecosa da una coente I unifomemente distibuita sulla sezione di tale conduttoe. La sbaetta è situata in una egione in cui è pesente un campo magnetico B unifome con le linee di foza disposte pependicolamente alla diezione della coente. La coente I si espime come flusso del vettoe densità di coente J attaveso la sezione S del conduttoe consideato: I S J ds ; poiché la coente è unifomemente distibuita su tale sezione si ha: I JS Jab.

24 4-4 Il campo magnetico statico Siccome il vettoe J è dietto lungo l asse x di figua possiamo scivee: I J xˆ. (4.) ab Pe effetto del campo magnetico B disposto pependicolamente alla diezione della coente ciascun potatoe di caica isulteà soggetto alla foza di Loentz: F qv B d dove v è la velocità di deiva dei potatoi. d Questa foza detemina un campo elettomotoe E denominato campo di Hall pai a: H F EH vd B J B q nq dove la velocità di deiva è stata espessa attaveso la densità di coente J come nqv. Il d vettoe E è dietto lungo l asse z di figua ed il H suo veso dipende dal segno della caica q; in paticolae isulta: q E ˆ H z q E ˆ H z. Petanto il campo di Hall detemina una deflessione delle caiche tasvesalmente alla diezione della velocità di deiva v. Ne segue che sulle due facce del d conduttoe pependicolai a E si oiginano degli accumuli di caica di segno opposto. Con l accumulasi di tali H caiche ta tali facce si oigina un campo elettostatico E che all equilibio impedisce ogni ulteioe accumulo. In tale cicostanza isulta: EH E in analogia a quanto accade con un geneatoe di foza elettomotice a cicuito apeto. La diffeenza di potenziale ta due punti A e B situati sulle due facce pependicolai a E è data H dalla elazione: B V V E dz E BA E b H AB H H H A dove il segno di V dipende dal veso di H E e petanto dal segno H dei potatoi di caica: q VH q VH. In modulo tale diffeenza di potenziale vale: JBb I Bb IB VH EH b (4.3) nq ab nq naq

25 Il campo magnetico statico 4-5 in cui J è stato espesso tamite la (4.). Se la coente I è podotta da una batteia di foza elettomotice V applicata ai capi della sbaetta lunga d isulta: V I R in cui R è la esistenza offeta al passaggio della coente I nella diezione consideata e vale petanto: d R ab così sostituendo la coente I nella (4.3) e tenendo conto di tale valoe della esistenza si ha: B B V B ab BbV VH I V. naq naq R naq d nq d Alla quantità nq che compae in questa espessione viene attibuito il nome di costante di Hall R : H R H nq pe cui l espessione pecedente si può scivee come: V H R H BbV. d 3 Valoi tipici di R sono dell odine di alcune unità di H m C e nella maggio pate dei conduttoi (come ad esempio pe Cu Ag e Au) si tova che la costante di Hall è negativa a confema del fatto che i potatoi di caica sono elettoni. Inolte attaveso la misua di R si può stabilie in un conduttoe la densità n di elettoni libei ovveo degli H elettoni disponibili alla conduzione; si tova che il numeo medio di elettoni libei è dell odine di pe atomo (.3 pe Cu.4 pe Ag.8 pe Au). Infine poiché la elazione pecedente espime una popozionalità fa la diffeenza di potenziale V e l intensità del campo magnetico B l effetto Hall pemette la ealizzazione di dispositivi pe la misua H del campo magnetico. La costante di popozionalità: VH RHbV k B d Edwin Hebet Hall può essee valutata analiticamente o meglio speimentalmente inseendo il dispositivo in un campo magnetico noto e misuando in coispondenza il valoe della tensione V. La H coente podotta da caiche positive è spiegata da una paticolae modalità tamite la quale si esplica il moto di deiva degli elettoni in alcuni mateiali. In patica gli elettoni si muovono occupando delle posizioni vuote dette lacune ceando a loo volta delle lacune nelle posizioni lasciate; tale spostamento può essee iguadato come un moto di caiche positive nel veso opposto a quello degli elettoni. In coispondenza dell applicazione di un campo elettico al mateiale tali spostamenti si esplicano nella diezione del campo pe cui possono essee assimilati ad una coente di lacune immaginandole quali entità fisiche in moto e dotate di caica uguale in modulo ma opposta in segno a quella dell elettone e di massa divesa.

26 4-6 Il campo magnetico statico 4.6 La legge di Ampèe La elazione (4.5) mosta che le linee di foza del campo magnetico podotto da un filo conduttoe ettilineo indefinito sono costituite da ciconfeenze concentiche col filo e situate nel piano pependicolae alla diezione del filo stesso. L intensità del campo magnetico è la stessa lungo tali ciconfeenze e inolte vaiando l intensità della coente e la distanza dal filo tale elazione mosta che l intensità del campo magnetico è diettamente popozionale all intensità della coente ed invesamente popozionale alla distanza dal filo conduttoe. Sia ˆ un vesoe tangente in ogni punto ad una ciconfeenza di aggio concentica ad un filo conduttoe pecoso da una coente I e oientato in ogni punto della ciconfeenza ispetto al veso della coente secondo la egola della mano desta. Dalla (4.5) segue che il campo magnetico B in coispondenza dei punti di questa ciconfeenza è dato da: I B ˆ ; l integale di B lungo la ciconfeenza è: I ˆ I I Bdl dl dl I. Quindi a diffeenza della cicuitazione del campo elettostatico che è sempe nulla la cicuitazione del campo magnetico è divesa da zeo peciò tale campo isulta non consevativo. Sebbene questo isultato noto come legge di Ampèe sia stato icavato elativamente ad un pecoso cicolae come si dimosta nel seguito la popietà che esso evidenzia ha caattee geneale; cioè la cicuitazione del campo magnetico B lungo un qualsiasi pecoso chiuso è pai a I dove I è la coente (stazionaia) totale che attavesa una qualsiasi supeficie delimitata dal pecoso : Bdl I. Quindi nell eventualità che attaveso la supeficie consideata scoa più di una coente la elazione va intepetata nel senso che I appesenta la somma algebica In di tutte le coenti che attavesano la egione: n Bdl I. n n Se invece I segue che la cicuitazione di B è nulla. Infatti poiché In espime la somma algebica delle coenti qualoa la supeficie consideata sia attavesata da due coenti di uguale intensità ma con vesi opposti tale somma isulta nulla. Si ossevi infine che le coenti della somma In sono n n

27 Il campo magnetico statico 4-7 consideate positive elativamente al veso di pecoenza della cuva in accodo con la egola della mano desta. Di seguito è data la dimostazione della legge di Ampèe. Consideiamo un filo conduttoe ettilineo indefinito pecoso dalla coente I; sia dl un geneico vettoe infinitesimo posto a distanza dal filo. Dalla (4.5) segue che il podotto scalae ta il vettoe campo magnetico B geneato dal filo ed il vettoe dl vale: I ˆ I I Bdl t dl d d dove ˆt è un vesoe tangente in ogni punto alla ciconfeenza di aggio concentica al filo ed oientato ispetto al veso della coente secondo la egola della mano desta e dove il podotto ˆt dl essendo pai alla poiezione di dl nella diezione di ˆt come mostato in figua è uguale a d. La cicuitazione di B estesa ad una cuva chiusa vale petanto: I ˆ I. Bdl t dl d Si pesentano due possibilità: o la cuva chiusa concatena il filo conduttoe ossia gli gia intono oppue non lo concatena. Nel pimo caso l integale d vale dove il segno dipende dall oientazione elativa della linea chiusa ispetto al veso della coente ed è positivo se tale oientazione segue la egola della mano desta o negativo altimenti; petanto: Bdl I. Nel secondo caso qualoa la coente I non sia concatenata con la cuva chiusa possiamo espime la cicuitazione di B lungo tale cuva attaveso la somma: Bdl Bdl Bdl dove e appesentano i due tatti di linea in cui la cuva chiusa può essee spezzata dai punti P e P di contatto ta la cuva e le semiette condotte dal punto di intesezione O del filo conduttoe ai punti P e P della cuva (si veda la figua). Sviluppando gli integali come nel caso della coente concatenata si ha: P P I I B dl d d P P. La legge di Ampèe e in paticolae questa deivazione mettono in luce come il valoe della cicuitazione di B non dipenda dalla foma della linea chiusa ma solo dal suo gado di concatenazione col filo pecoso da coente. Ciò consente di estendee le conclusioni appena aggiunte nel semplice caso del filo ettilineo indefinito pecoso da coente a tutti i possibili casi. Consideiamo un insieme di n fili pecosi dalle coenti I I I n ; tali coenti poducono ispettivamente i campi magnetici B B B n. Il campo totale B in ciascun punto dello spazio saà dato da dalla somma:

28 4-8 Il campo magnetico statico B B B Bn così integando lungo la linea chiusa si ha: B dl B B B n dl B dl B dl B dl n ; ciascuna cicuitazione di questa somma vale Ik o zeo a seconda che concateni o meno la coente I k e in conclusione possiamo scivee: Bdl I sottintendendo che la coente al secondo membo è la somma delle coenti concatenate ciascuna pesa col segno oppotuno secondo la egola mostata in pecedenza. Siccome la coente I può in geneale espimesi come il flusso del vettoe densità di coente J la legge di Ampèe può essee anche scitta come: Bdl I J ds (4.4) S dove il flusso del vettoe J è calcolato attaveso una qualsiasi supeficie S che ha pe contono la cuva chiusa lungo la quale viene valutata la cicuitazione del vettoe B. Esempio: (Campo magnetico podotto da un filo ettilineo indefinito pecoso da coente) Consideiamo un filo conduttoe ettilineo di aggio R e lunghezza indefinita pecoso da una coente I di densità unifome su tutta la sua sezione. Consideiamo un pecoso cicolae di aggio concentico col filo; pe R dalla legge di Ampèe segue: Bdl B dl B I essendo lungo il vettoe B paallelo a dl e di modulo costante quindi: I B che è la stessa espessione ottenuta attaveso l applicazione della legge di Biot-Savat. Nel caso in cui R consideiamo la supeficie cicolae S che ha come contono la ciconfeenza di aggio dalla (4.4) segue: Bdl J ds J ds J S S essendo il vettoe J unifome in coispondenza dei punti della supeficie S ; pe tale agione il modulo di J può essee espesso attaveso la coente I come: I J R

29 Il campo magnetico statico 4-9 quindi sostituendo nella elazione pecedente si tova: Bdl B I R essendo anche in questo caso B costante in modulo e paallelo a dl petanto: I B R. Così l intensità del campo magnetico podotto da questa distibuzione di coente al vaiae di è data dall espessione: I B I R R; R. (4.5) Esempio: (Campo magnetico podotto da una bobina tooidale) Consideiamo un suppoto tooidale attono al quale sono avvolte N spie di filo conduttoe; calcoliamo il campo magnetico podotto da tale configuazione quando il filo è pecoso da una coente I. Applicando la legge di Ampèe ad una ciconfeenza di aggio intena al tooide segue Bdl B dl B NI espessione si tova: essendo pe simmetia il vettoe campo magnetico tangente a tale cuva e di modulo costante in coispondenza dei punti di. Sviluppando questa NI B. Quindi il campo magnetico non è unifome su una sezione del tooide; tuttavia se è molto maggioe del aggio della sezione del tooide il campo può itenesi sostanzialmente unifome. Se le spie sono avvolte stettamente attono al suppoto il campo esteno al tooide può itenesi nullo; ciò peché la coente netta concatenata ad un qualsiasi pecoso esteno alla bobina è nulla inclusa la zona centale. In patica poiché l avvolgimento è elicoidale anziché essee costituito dalla sovapposizione di spie cicolai un piccolo campo magnetico esteno alla bobina isulta essee sempe pesente. Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da una bobina tooidale pecosa da coente. Esempio: (Campo magnetico podotto da un solenoide) Pe solenoide si intende un dispositivo costituito da un filo conduttoe avvolto a foma di elica cilindica di piccolo passo. Sia R il aggio d la lunghezza e N il numeo di spie pecose da una coente I. Nell ipotesi che le spie siano sufficientemente fitte da potele consideae come distibuite con continuità in un tatto dx saanno contenute n dx spie dove n appesenta il numeo di spie pe unità di lunghezza Nd. L intensità del campo magnetico B in un punto P situato sull asse del solenoide (si veda la figua) si detemina a patie dall espessione (4.6) del campo podotto da una singola spia pecosa da coente: db IR n dx. (4.6) 3 Il vettoe B è paallelo all asse del solenoide ed il suo veso è legato al

30 4-3 Il campo magnetico statico e sostituendo nella (4.6) segue: veso della coente dalla egola della mano desta. Con ifeimento alla figua isulta: quindi: sin R R x x tan R dx d sin 3 nir sin R ni db d sin d. 3 R sin L intensità del campo magnetico nel punto P si ottiene sommando questa espessione pe tutte le spie ossia integando la pecedente espessione da a (si veda la figua): ni ni B sin d cos cos ; posto infine si ha: ni cos cos. (4.7) B Rifeendo l ascissa x al cento del solenoide isulta: d d x x d x d x cos d 4R d x 4R d x R x d d x x d x d x cos d 4R d x 4R d x R x così sostituendo nella elazione (4.7) si ha: ni d x d x B x 4R d x 4R d x Da tale espessione segue che il campo magnetico assume la massima intensità al cento del solenoide pe x in cui si ha:. d B ni 4R d (4.8) mente in coispondenza delle estemità:

31 Il campo magnetico statico 4-3 d ni d B R d. (4.9) Se la lunghezza del solenoide è molto maggioe del aggio ( d R) dalla elazione (4.8) segue: B ni e in coispondenza di uno degli estemi dalla (4.9) si ha: ni B B. In figua è mostato l andamento delle linee di foza di B attono al solenoide. La zona in cui il campo magnetico ha un intensità dell odine di B è piuttosto estesa e si espande col cescee del appoto d R. La vaiazione db dx è massima in coispondenza delle estemità del solenoide. Infine si può notae che il campo magnetico podotto dal solenoide è simile a quello podotto da un magnete pemanente cilindico. Con ifeimento alla figua che ipoduce un solenoide con spie non avvolte stettamente si osseva che il campo magnetico all inteno è sostanzialmente unifome mente all esteno non è unifome ed è poco intenso. Nel punto P ad esempio il campo isulta debole siccome il campo geneato dalla pate supeioe delle spie del solenoide è dietto veso sinista e tende ad annullae il campo geneato dalla pate infeioe delle spie che è dietto veso desta. Se dr a gande distanza dagli estemi del solenoide il campo all esteno può essee itenuto nullo mente all inteno è unifome. Consideiamo un solenoide infinito e applichiamo la legge di Ampèe al cicuito MNQP di figua; nei tatti PM e NQ i vettoi dl e B sono otogonali pe cui il loo podotto scalae è nullo mente nei tatti MN e QP tali vettoi sono paalleli e di veso opposto petanto: MNQP M Q N P Bdl Bdl Bdl B MN L B QP L d alta pate siccome il pecoso MNQP non concatena alcuna coente si ha: MNQP Bdl così: BQP; B MN ciò pova l unifomità del campo B su di una sezione del solenoide. Se applichiamo la legge di Ampèe al pecoso EFGH di figua toviamo che il Rappesentazione delle linee di foza del campo magnetico podotto da un solenoide pecoso da coente.

32 4-3 Il campo magnetico statico podotto B dl è nullo nel tatto GH essendo B nullo all esteno del solenoide; inolte tale podotto scalae è nullo nei tatti FG e HE dove B peché dl e B sono otogonali così: EFGH Bdl BL nli dove nl è il numeo di spie che tagliano la sezione del pecoso consideato petanto: B ni come già povato pe alta via. Dispositivo pe lo studio del campo magnetico podotto da un solenoide pecoso da coente. 4.7 Legge di Gauss pe il magnetismo Nel caso dell elettostatica la legge di Gauss affema che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa al cui inteno vi è una caica è popozionale alla caica stessa; ciò è equivalente ad affemae che il numeo di linee di foza del campo elettico che attavesano la supeficie consideata è popozionale alla caica. Tale popietà deiva dal fatto che le linee di foza del campo elettico hanno oigine o temine in coispondenza delle caiche. Nel caso del campo magnetico le linee di foza sono chiuse e quindi non hanno oigine o fine in qualche punto. Petanto pe ogni supeficie chiusa il numeo di linee di foza che escono dalla supeficie è uguale al numeo di quelle che entano così: B ds (4.3) S dove S è una qualsiasi supeficie chiusa. Analogamente al caso del campo elettico applicando il teoema della divegenza all espessione pecedente si tova: B (4.3) che appesenta puntualmente il concetto che le linee di foza del campo magnetico non hanno oigine o temine in coispondenza di qualche sogente. La elazione (4.3) può essee dedotta analiticamente a patie dall espessione (4.) della legge di Biot-Savat. Applicando l opeatoe divegenza ad ambo i membi della (4.) si ha: I dl ˆ ˆ I dl I dl B ; (4.3) sfuttando l identità vettoiale M N N M M N segue: dl ˆ ˆ ˆ dl dl. Il pimo temine di questa somma è nullo siccome le opeazioni di deivazione contenute nell opeatoe otoe sono ˆ isulta: intese ispetto alle coodinate del punto in cui si detemina il campo magnetico; inolte siccome