Massimi e minimi con le linee di livello

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1 Massimi e minimi con le linee di livello Pe affontae questo agomento è necessaio sape appesentae i fasci di cuve ed in paticolae: Fasci di paabole. Pe affontae questo agomento si consiglia di ivedee l agomento nel libo di seconda e nel Tomo A di teza, in quanto è necessaio sape disegnae una paabola dopo avene individuato le caatteistiche pincipali concavità, vetice, intesezione con gli assi catesiani, asse di simmetia, deteminazione dei punti della paabola attaveso una tabella) ed inolte sapee che: a paabola con vetice nell oigine del sistema di ifeimento V0;0), l asse di simmetia è l asse delle odinate 0. a c paabola con vetice sull asse delle odinate V0,c), anche in questo caso l asse delle odinate è l asse di simmetia. b b ac a b c equazione completa della paabola V ; ) ; asse di simmetia a a b la etta a ed inolte al cescee di a coefficiente di ) l ampiezza della paabole diminuisce. FASCI DI CIRCONFERENZE.Rivedee gli agomenti elativi alla ciconfeenza TOMO A fomule ed esecizi), si ipotano le te fomule elative alla ciconfeenza: la ciconfeenza avente cento nell'oigine e aggio ha equazione la ciconfeenza avente cento in Cp;q) e aggio ha equazione p) q) data l'equazione canonica di una ciconfeenza a b c 0, il cento ha a b a b coodinate C ; ), il aggio è ) ) c FASCI DI ELLISSI. Rivedee gli agomenti elativi all ELLISSE - TOMO A fomule ed esecizi). Si ipotano la foma canonica dell ellisse: 1. b a Pe veificae poi la coettezza dei isultati ottenuti sevisi anche di un softwae pe disegnae gafici, pe esempio GRAPHMATICA, che puoi tovae in Si deve poi icodae le motivazioni pe cui si icoe alle linee di livello pe studiae una funzione di due vaiabili e il loo significato: 1

2 SIGNIFICATO DI LINEA DI LIVELLO Il gafico di una funzione di due vaiabili è, genealmente, una supeficie nello spazio, pe cui la sua appesentazione è poco patica, pe questo motivo si intoduce un pocedimento che non ichiede di uscie dal piano. Alla funzione zf;) è assegnato un valoe, così una equazione in due sole vaiabili Kf;) pocedendo quindi allo studio delle cuve elative a questa equazione al vaiae di K: equazione delle linee di livello Analogo pocedimento viene usato in geogafia nelle appesentazioni catogafiche: le linee che uniscono punti aventi la stessa altitudine sono indicate con il nome di isoipse) E data petanto la seguente definizione di linea di livello: Si chiama linea di livello il luogo dei punti del piano O) che fanno assumee alla funzione zf;) sempe lo stesso valoe Descizione del metodo pe tovae i massimi e minimi con le linee di livello: Data una funzione z f ; ) si deteminano le linee di livello ponendo z. In possimità di un punto P di massimo o di minimo le linee di livello tendono a convegee si avvicinano) al punto P al diminuie oppue all aumentae di K. Se la convegenza si ealizza pe valoi cescenti di K, alloa la funzione ha un massimo nel punto P. Se la convegenza si ealizza pe valoi decescenti di alloa la funzione ha un minimo nel punto P. Detemina i massimi e i minimi delle seguenti funzioni utilizzando le cuve di livello. Es. pag. 5. fasci di ette) z Il dominio della funzione è R. La funzione appesenta un piano e quindi non ha massimo e non ha minimo. Allo stesso isultato di peviene consideando le linee di livello; Pe deteminae l equazione delle linee di livello si imposta il sistema z z si esplicita ispetto a che appesenta un fascio di ette paallele di coefficiente angolae. Pe appesentae alcune di queste, si assegnano a alcuni valoi. Pe 0 si ottiene e quindi che una etta passante pe l oigine. Quindi pe si ha ) che è una etta paallela alla pecedente passante pe il punto 0;).0;) Quindi pe si ha che è una etta paallela alla pecedente e passante pe il punto 0; )

3 Esecizio n. 5 pag. 5 fasci di paabole). f ; ) Il dominio della funzione è R Pe deteminae l equazione delle linee di livello si imposta il sistema z z e quindi. Si tatta di un fascio di paabole aventi vetice in V0;), asse di simmetia l asse delle odinate, con concavità veso l alto. Si assegnano a alcuni valoi Pe 0 si ottiene paabola con vetice nell oigine del sistema di ifeimento V0;-0). Pe deteminae alti punti ci si sevià di una tabella, facendo in modo di individuae punti a desta e a sinista ispetto all asse di simmetia pe esempio: Pe 1 si ottiene 1, paabola con vetice inv0,1),

4 Poiché la paabola non inteseca l asse delle è ivolta veso l alto e il vetice si tova sopa l asse ), pe potela appesentae si deteminano alti punti Possiamo ossevae che ispetto alla paabola pecedente, quest ultima è taslata veso l alto di una unità dalle due tabelle possiamo vedee che a paità del valoe di il valoe di è supeioe di una unità). Pe si ottiene, paabola con vetice inv0,), Poiché la paabola non inteseca l asse delle poiché è ivolta veso l alto e il vetice si tova sopa l asse ), pe potela appesentae si deteminano alti punti Possiamo ossevae che ispetto alla paabola pecedente, anche quest ultima è taslata veso l alto di una unità dalle ultime due tabelle possiamo vedee che a paità del valoe di il valoe di è supeioe di una unità). In altenativa alla appesentazione con icoso alle tabelle pe l individuazione di alcuni punti appatenenti alle paabole, si poteva appesentae la paabola con vetice nell oigine, sempe icoendo a una tabella pe l individuazione di alcuni suoi punti e poi appesentae le alte paabole dopo avene individuato il vetice e indicato che sono state ottenute mediante una TRASLAZIONE della paabola con vetice nell oigine. Di seguito i gafici delle te cuve del fascio individuate.

5 Le cuve non convegono veso alcun punto, né al cescee di né al diminuie di e petanto la funzione non pesenta punti massimo o di minimo. es. pag. 5 fasci di ciconfeenze) f, ) 1) 1) Pe deteminae l equazione delle linee di livello si imposta il sistema z 1) 1) z 1) 1) e quindi 1) 1). Si tatta di un fascio di ciconfeenze aventi cento in P1;1) e aggio ; le ciconfeenze sono eali se. Si assegnano a alcuni valoi pe la ciconfeenza diventa un punto, il cento della ciconfeenza. Pe 5 si ha una ciconfeenza di aggio 5 1 Pe 8 si ha una ciconfeenza di aggio 8 Pe 1 si ha una ciconfeenza di aggio 1 5

6 Si può ossevae che al diminuie di le ciconfeenze diminuiscono il loo aggio e si avvicinano al punto P che è un punto di minimo. Il punto P quindi è un punto di minimo, il minimo della funzione è z es. 9 pag. 5 fasci di ciconfeenze) 8 1 ), f Pe deteminae l equazione delle linee di livello si imposta il sistema z z e quindi si scive l equazione in modo che ne sia facile il iconoscimento, potando al pimo membo e dividendo tutti i temini pe si ottiene e quindi 0 6 Si tatta di un fascio di ciconfeenze aventi cento in P 6 b a aggio 6 9 ) c b a ; le ciconfeenze sono eali se 0. E quindi se Si assegnano a alcuni valoi pe la ciconfeenza diventa un punto, il cento della ciconfeenza. Pe 6 si ha una ciconfeenza di aggio 6) Pe 16 si ha una ciconfeenza di aggio 16) Pe 0 si ha una ciconfeenza di aggio 0) 6

7 Si può ossevae che all aumentae di le ciconfeenze diminuiscono il loo aggio e si avvicinano al punto P ; ) che è un punto di massimo. Il punto P ; ) quindi è un punto di massimo, il massimo della funzione è z es. 10 pag. 5 fasci di ellissi) f ; ) 9 Dominio della funzione: R. Pe deteminae l equazione delle linee di livello si imposta il sistema z 9 z 9 e quindi 9 deve essee 0. e quindi Si scive quindi l equazione in modo che ne sia facile iconoscene il tipo: Si divide pe il pimo e il secondo membo supposto diveso da zeo): 9 9 ossia 1 e quindi 9 ellissi con cento nell oigine del sistema di ifeimento e con semiassi b equazione canonica dell ellisse: 1) 9 a b 1. Le cuve isultanti sono a e 7

8 pe l ellisse si iduce a un punto: il cento del sistema di ifeimento 0;0), tale infomazione è deteminabile facendo ifeimento all equazione 9, non dall equazione canonica dell ellisse, in quanto pe questa deve essee 0 e quindi ) Pe 8 si ha a 1 ; b Pe 1 si ha a ; b 1 Pe 0 si ha a ; b Si può ossevae che al diminuie di le ellissi convegono si avvicinano) al punto O la lunghezza dei semiassi diminuisce al diminuie di e quindi le dimensioni dell ellisse diminuisce) Il punto O0;0) quindi è un punto di minimo e il minimo della funzione è dato da f 0;0) 0) 9 0) 8