Lezione 21 - La geometria delle aree. Richiami

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1 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami [Ultimaevisione: evisione: gennaio gennaio009] In questa Lezione si iciamano sinteticamente alcune nozioni di geometia delle aee, aicento di una figua piana, momento statico e momento di inezia di una figua piana ispetto ad un asse, ce saanno essenziali pe il seguente studio della tave. La nozione di aicento Si considei un'aea S nel piano, sia H,, X L un sistema di ifeimento otogonale levogio, sia P un punto geneico di S, di coodinate x = Hx 1, x L. Una taslazione del sistema di ifeimento, ce sposti l'oigine = (0,0) nel punto x 0 = Hx 10, x 0 L si ottiene coelando le coodinate x del geneico punto P nel veccio sistema di ifeimento alle coodinate x t dello stesso punto P nel nuovo ifeimento tamite le elazioni: x t = x x 0 (1) o, equivalentemente: x 1 t = x 1 x 01 x t = x x 0 () X X t P x x t ' t x 0 Figua 1 - La taslazione igida del sistema di ifeimento

2 15 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n Una otazione del sistema di ifeimento, definita attaveso una otazione di ampiezza f, si ottiene coelando le coodinate x del geneico punto P nel veccio sistema di ifeimento alle coodinate x dello stesso punto P nel nuovo ifeimento tamite le elazioni: x = Rx dove R e' la matice di otazione: R = J Cos φ Sin φ Sin φ Cos φ N Ed infatti, dalla Figua isulta agevole calcolae: () () x 1 = x 1 Cos φ x Sin φ x = x 1 Sin φ + x Cos φ ed invetie questa elazione. Si noti ce la matice di otazione R e' otogonale popia, ossia a deteminante pai a +1, e la sua invesa coincide con la sua tasposta. (5) X X P x x x 1 x 1 Figua - otazione igida del sistema di ifeimento φ Cio' pemesso, si definisce vettoe dei momenti statici elativo all'aea S ed al sistema di ifeimento H,, X L il seguente vettoe: S = x A = i Ÿ x 1 A j k Ÿ x A y z = JS N S 1 { Si noti suito ce la pima componente del vettoe dei momenti statici e' stata individuata col simolo S, ed indica il momento statico dell'aea S ispetto all'asse X, mente la seconda componente del vettoe dei momenti statici e' stata individuata col simolo S 1, ed indica il momento statico dell'aea S ispetto all'asse X : (6) S 1 = x A S = x 1 A (7)

3 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n 15 A seguito di una taslazione (1) del sistema di ifeimento, il vettoe dei momenti statici di S ispetto al sistema di ifeimento taslato divea': S t = x t A = Hx x 0 L A = S x 0 o ance, piu' esplicitamente: (8) S t = S x 01 S 1 t = S 1 x 0 Esistea' alloa un punto G, di coodinate Hx G1, x G L, tale ce il vettoe dei momenti statici di S ispetto al sistema di ifeimento taslato in G saa' nullo. Tale punto si definisce aicento di S, e dalle (9) possono tasi le sue coodinate nel sistema di ifeimento oiginaio: (9) x G1 = S x G = S 1 (10) Puo' dimostasi ce le coodinate del aicento non dipendono dal paticolae sistema di ifeimento H,, X L oiginaiamente pescelto. Il tensoe dei momenti di inezia Si definisce tensoe dei momenti di inezia di un'aea S ispetto ad un sistema di ifeimento H,, X L il seguente tensoe simmetico del secondo odine: I = xx T A = i j k Ÿ x 1 A Ÿ x 1 x A Ÿ x 1 x A Ÿ x A y z = JI I 1 N I 1 I 11 { Si noti ce ance in questo caso si e' definito il momento d'inezia di S ispetto all'asse : (11) I 11 = x A il momento d'inezia di S ispetto all'asse X : (1) I = x 1 A ed infine il momento centifugo di S ispetto agli assi ed X : (1) I 1 = x 1 x A (1) La taccia della matice dei momenti di inezia, invaiante ispetto al vaiae del sistema di ifeimento, pende il nome di momento di inezia polae I p dell'aea S: I p = I 11 + I (15)

4 155 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n à Le leggi di Huygens Si vuol vedee oa come vaia il tensoe dei momenti di inezia a seguito di una taslazione del sistema di ifeimento. Applicando la egola di taslazione (1) si ava': ossia ancoa: Esplicitando si a: I t = x t x tt A = Hx x 0 L Hx x 0 L T A = xx T A i k j x A y { z xt 0 x 0 x T A + x i 0 k j A y { z x T 0 I t = I + x 0 x 0 T Sx 0 T x 0 S T (16) (17) I t = I +Ax 01 S x 01 I t 11 = I 11 +Ax 0 S 1 x 0 t = I 1 +Ax 01 x 0 S 1 x 01 S x 0 I 1 (18) Se l'oigine del sistema di ifeimento oiginaio coincide col aicento, si a S 1 = S = 0, e si giunge alle classice leggi di Huygens: Figua - Cistiaan Huygens I t = I +Ax 01 I t 11 = I 11 +Ax 0 t = I 1 +Ax 01 x 0 I 1 (19)

5 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n 156 Da esse si deduce immediatamente ce il momento di inezia aicentico e' il minimo ta quelli otteniili pe taslazione del sistema di ifeimento.[huygens] à I momenti centali di inezia Si vuol vedee oa come vaia il tensoe dei momenti di inezia a seguito di una otazione del sistema di ifeimento. Applicando la egola di otazione () si ava': I = x x T A = R x HRxL T A = R xx T R T A = R i k j xx T A y { z RT = RIR T Esplicitando si a, utilizzando la (): I = I 11 Sin φ + I 1 Cos φsinφ + I Cos φ I 11 = I 11 Cos φ I 1 Cos φsinφ + I Sin φ = HI 11 I L Sin φcos φ + I 1 HCos φ Sin φl I 1 Ricodando le fomule tigonometice: Sin φ = Sin φcos φ Cosφ = Cos φ Sin φ il momento d'inezia centifugo (1) pota' ance scivesi: (0) (1) () = 1 HI 11 I L Sin φ + I 1 Cos φ I 1 () Dalla () si puo' ossevae ce esistea' un valoe dell'angolo f pe cui il momento d'inezia centifugo I 1 viene ad annullasi. Indicando tale angolo con f * si ava': ossia: da cui: 1 HI 11 I L Sin φ + I 1 Cos φ = 0 Sin φ Cos φ = I 1 I I 11 () (5) φ = 1 Actan J I 1 N I I 11 con la estizione - p/ f * p/ (6) Assegnando al sistema di ifeimento H,, X L una otazione di ampiezza f * si giunge al cosiddetto sistema di ifeimento pincipale (, x 1, x ), gli assi x 1 e x cosi' ottenuti si dicono assi pincipali di inezia. In tale sistema di ifeimento il tensoe dei momenti di inezia si diagonalizza: I = J I 0 0 I 1 N (7)

6 157 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n ed i due momenti di inezia I 1 ed I ispetto agli assi x 1 e x si dicono momenti pincipali di inezia. Se inolte l'oigine del sistema di ifeimento coincide col aicento G dell'aea S, alloa il sistema di ifeimento HG, x 1, x L si dice sistema centale di ifeimento, gli assi x 1 e x sono gli assi centali di inezia, ed i momenti d'inezia I 1 ed I sono i momenti centali di inezia. La sezione ettangolae Si vuole illustae, a titolo di esempio, la iceca del aicento e dei momenti centali d'inezia pe una sezione ettangolae di ase ed altezza. A tal fine, si sceglie ad aitio un ifeimento iniziale, ad esempio con oigine nel vetice in asso a sinista, e gli assi coincidenti con i lati del ettangolo, come illustato in Figua. Poi si calcolano i due momenti statici ispetto a questi due assi. Rispetto all'asse oizzontale si a: S 1 = x A = x x x 1 = 0 0 e ispetto all'asse veticale X : S = x 1 A = x 1 x 1 x = 0 0 (8) (9) X Figua - Una sezione ettangolae di ase ed altezza Le coodinate del aicento si ottengono alloa applicando le (10): x G1 = S = ; x G = S 1 = (0) In genee, puo' dimostasi ce il aicento di un'aea piana dotata di un asse di simmetia e' oligato ad appatenee a quest'asse, e poice' il ettangolo possiede due assi di simmetia, il aicento si tova necessaiamente alla loo intesezione.

7 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n 158 I momenti d'inezia ispetto allo stesso sistema di ifeimento possono calcolasi come: I 11 = x A = x x x 1 = 0 0 I = x 1 A = x 1 x 1 x = 0 0 (1) () I 1 = x 1 x A = x 1 x x 1 x = 0 0 () Taslando il sistema di ifeimento fino a potae l'oigine a coincidee con il aicento, si anno i momenti di inezia aicentici otteniili a patie dalle leggi di Huygens (19): I t = I t 11 = I t 1 = = 1 = 1 = 0 Poice' il momento centifugo e' nullo, si puo' concludee ce i () sono i momenti centali di inezia. () La sezione cicolae e la coona cicolae Si considei un'aea cicolae di aggio R, come ipotato in Figua 5. Pe agioni di simmetia, il aicento coincide con il cento della ciconfeenza. Il calcolo dei momenti di inezia si conduce nel modo piu' spedito in coodinate polai, ponendo: X R θ x 1 x Figua 5 - Il caso della sezione cicolae

8 159 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n x 1 = Cosθ x = Sinθ pe cui si a uno jacoiano pai a: (5) e quindi: J = det i j k x 1 x x 1 θ x θ y z = det JCosθ Sinθ Sinθ { Cosθ N = (6) R I 11 = x A = π Sin θ θ = πr 0 0 R I = x 1 A = π Cos θ θ = πr 0 0 (7) (8) I 1 = 0 (9) Sia l'uguaglianza dei due momenti di inezia I 11 e I ce l'annullasi del momento centifugo sono ovvie conseguenze della simmetia della sezione. Il momento d'inezia polae saa' pai a: I p = I 11 +I = πr (0) Consideando oa una sezione a foma di coona cicolae, con aggio inteno R i e aggio esteno R e, si ossevi ce le sue caatteistice ineziali possono dedusi pensando la sezione come la diffeenza ta una sezione cicolae piena di aggio R e ed una di aggio R i. Si a cosi', immediatamente: I 11 = I = π HR e R i L I p = π HR e R i L (1) () La sezione tiangolae Si considei oa una sezione a foma di tiangolo ettangolo, di ase ed altezza, come ipotato in Figua 7. Il momento statico ispetto all'asse si puo' calcolae come: HL S 1 = x A = x x x a, sfuttando la similitudine dei tiangoli, dalla Figua 6 si evince: () Saa' petanto: HL = x 1 HL = H x 1L () H x 1 S 1 = x A = Lêx x x 1 = (5)

9 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n 160 e ispetto all'asse veticale X : H x 1 Lê S = x 1 A = x 1 x x 1 = (6) X Hx 1 L x 1 x 1 Figua 6 - Il caso della sezione tiangolae Il aicento del tiangolo a coodinate (cf.figua 7): x G1 = S A = x G = S 1 A = (7) X X G ê G ê ê ê Figua 7 - Il aicento della sezione tiangolae e gli assi aicentici I momenti di inezia ispetto agli assi ed X sono calcolaili attaveso la loo definizione:

10 161 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n H x 1 I 11 = x A = Lêx x x 1 = H x 1 Lê I = x 1 A = x 1 x x 1 = H x 1 I 1 = x 1 x A = Lêx 1 x x x 1 = 0 0 I momenti di inezia ispetto agli assi aicentici si calcolano applicando la legge di Huygens: I ' = I Ax G1 = 1 I ' 11 = I 11 Ax 0 = 1 I ' 1 = I 1 Ax 01 x 0 = 9 = 6 9 = 6 = 7 (8) (9) (50) (51) La sezione ellittica Si considei una sezione a foma ellittica, con semiassi di lungezza a e, ispettivamente, e quindi di equazione: x 1 a + x = 1 (5) in un ifeimento con oigine nel aicento ed assi coodinati oientati secondo i semiassi. Il aicento e' immediatamente identificaile come intesezione dei due assi di simmetia, mente l'aea acciusa dall'ellissi si puo' calcolae tamite integazione: X a a Figua 8 - Una sezione di foma ellittica

11 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n 16 A = a è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 x ê x 1 x = πa a è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 x ê (5) Del tutto analogamente, i momenti di inezia si calcolano facilmente utilizzando Matematica, oppue facendo uso delle fomule di iduzione. E' ad esempio: I = x 1 dx 1 dx (5) e l'integale e' esteso all'aea ellittica S definita dall'equazione (5). Facendo uso delle fomule di iduzione, si puo' scivee: I = dx a è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 x ê x 1 dx 1 = a è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 x ê Pe calcolae l'ultimo integale si adotti il camio di vaiaile: η = x a J1 x ê N dx da cui dx = d. Inolte gli estemi di integazione diventano -1 ed 1, e quindi infine: (55) (56) I = a 1 1 Del tutto analogamente si a: H1 η L ê dη = a 8 π = πa (57) ed ance: I 11 = π a (58) I p = I 11 +I = πa + π a = πa Ha + L Pe motivi di simmetia, il momento centifugo e' nullo, quindi gli assi scelti sono centali di inezia. (59) Nota - Come gia' detto, Matematica pemette il calcolo immediato di questi integali. Ad esempio: 0 a "###################### 1 x ê x 1 x x 1 x a "###################### 1 x ê Note [Huygens] - "Hoologium oscillatoium, sive de motu penduloum ad oologia aptato demonstationes geometicae", Paigi 167. [Ton al testo]

12 16 Lezione 1 - La geometia delle aee. Riciami.n Gafici