1 Le funzioni reali di variabile reale

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1 1.1 Le funzioni Definizione 1 Le funzioni eali di vaiabile eale Una funzione f: A B è una elazione che associa a ciascuno degli elementi di un insieme A (il dominio) uno ed uno solo degli elementi di un insieme B (il codominio). Una funzione è detta: - iniettiva quando a elementi distinti del dominio coispondono elementi distinti del codominio; - suiettiva quando ciascun elemento del codominio è associato ad almeno uno degli elementi del dominio; - biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suiettiva. Due funzioni f(x) e g(x) sono uguali se hanno identico dominio A e codominio B e se x A si ha: f(x) = g(x). Una funzione in due (o più) vaiabili è una funzione che ha come dominio il podotto catesiano di due (o più) insiemi. 1. La funzione eale di vaiabile eale Una funzione f: A B si dice funzione eale di vaiabile eale quando sia il dominio che il codominio sono sottoinsiemi di R. In questo caso la funzione può essee appesentata su un piano catesiano ipotando sull'asse delle ascisse i valoi x A del dominio e sull'asse delle odinate i valoi y B, scivendo: f(x) = y. Con questa notazione si individuano dei punti sul piano catesiano (x, f(x)) che appesentano i punti del gafico della funzione La funzione invesa di f(x) = y Nel caso che f: A B sia una funzione biunivoca (o biettiva) se ne può definie la funzione invesa: la funzione invesa di f è la funzione biunivoca f 1 : B A che associa ad ogni y di B il valoe x di A tale che y = f(x). Pe calcolae, se esiste, l invesa della funzione f(x) = y si pocede semplicemente a icavae la vaiabile x in funzione della vaiabile y nell espessione f(x) = y. Se la funzione invesa esiste solo in una pate del dominio della funzione f, spesso la si definisce in un sottoinsieme del dominio in cui la funzione isulti biunivoca. 1.. La composizione di due funzioni Siano f: A B e g: B C due funzioni eali di vaiabile eale tali che il codominio di f coincida col dominio di g; alloa si chiama funzione composta g f: A C la funzione che ad ogni elemento x A (cui coisponde l elemento f(x) B) fa coispondee l elemento g[f(x)] C. Si noti che, nel caso domini e codomini pemettano di definie sia g f che f g, in geneale si ha che g f f g. 1.3 Le tasfomazioni geometiche: le isometie Una tasfomazione geometica nel piano è una coispondenza biunivoca che associa a ciascun punto del piano un unico punto del piano stesso (non si tatta di una funzione eale di vaiabile eale peché dominio e codominio sono appesentati dal piano R R e non da sottoinsiemi di R).

2 Una tasfomazione geometica quindi associa a ciascun punto A (x, y) del piano il punto tasfomato A (x, y ) mediante oppotune equazioni della tasfomazione. Si chiama punto unito della tasfomazione ogni punto che sia il tasfomato di se stesso. Le isometie sono paticolai tasfomazioni geometiche che consevano le distanze, tasfomando quindi figue geometiche in figue conguenti Le taslazioni Una taslazione è una isometia di equazioni: { x = x + a y = y + b {x = x a y = y b Qualsiasi siano a, b R, l effetto di una taslazione è quello di spostae ogni punto del piano oizzontalmente del valoe a e veticalmente del valoe b. Nel caso di una funzione f(x) = y, si avà pe il gafico della funzione taslata f(x a) = y b y = f(x a) + b Le simmetie Le simmetie sono isometie che associano ad ogni punto del piano un punto ad esso speculae ispetto ad una data figua geometica. Noi ci occupeemo della simmetia assiale e della simmetia centale. La simmetia assiale è una simmetia ispetto ad una data etta : ciascun punto A (x, y) del piano viene associato al punto tasfomato A (x, y ) in modo tale che la etta sia asse del segmento AA. La etta è detta asse di simmetia: è fomata da tutti e soli i punti uniti della tasfomazione. La simmetia centale è una simmetia ispetto ad un dato punto P: ciascun punto A (x, y) del piano viene associato al punto tasfomato A (x, y ) in modo tale che il punto P sia punto medio del segmento AA. Il punto P è detto cento di simmetia: è l unico punto unito della tasfomazione. Data una funzione y = f(x) si può dimostae che: y = f(x) ha gafico simmetico a quello di f(x) ispetto all asse x; y = f( x) ha gafico simmetico a quello di f(x) ispetto all asse y; y = f( x) ha gafico simmetico a quello di f(x) ispetto all oigine. Nel caso della funzione y = f(x) è sufficiente notae che nei tatti in cui f(x) 0 si avà f(x) = f(x), mente nei tatti in cui f(x) < 0 si avà f(x) = f(x), con le ovvie conseguenze sul gafico.

3 Potenze ad esponente eale Abbiamo visto come una potenza ad esponente elativo ichieda base non negativa pe evitae possibili valoi negativi di un adicando ad indice pai; infatti pe ogni a R (con a > 0) a m n n = a m. Sappiamo inolte che ogni numeo eale x può essee appossimato a piacee con un numeo azionale m n (in cui m è inteo e n è natuale); alloa la potenza eale (di base a 0) a x ha senso come isultato della indefinita e sempe più accuata eiteazione di tale appossimazione. Le popietà delle potenze ad esponente eale sono le stesse, ovviamente, di quelle ad esponente azionale: a 0 = 1 a x b x = (ab) x a x a y = a x+y a x b x = (a b ) x a x = ax y ay (a x ) y = a xy.1 La funzione esponenziale Si chiama funzione esponenziale la funzione eale di vaiabile eale f(x) = a x con a > 0. Nel caso banale a = 1 la funzione si iduce alla etta f(x) = 1. A pate questo caso banale, la funzione esponenziale è: positiva, poiché x R (con a > 0) a x > 0 stettamente monotona (quindi invetibile), poiché x, y R (con x > y) { ax > a y se a > 1 a x < a y se a < 1 Ciò significa che f(x) = a x è una funzione stettamente decescente pe 0 < a < 1 e stettamente cescente pe a > 1); infine, ha come dominio R e codominio R +.. I logaitmi Dati a e b numei eali positivi con a 1, il logaitmo in base a del numeo b è l'esponente a cui elevae a pe ottenee b. Quindi: c = log a b a c = b a log a b = b Le pincipali popietà dei logaitmi sono le seguenti (con le indicazioni ln e log si intendono ispettivamente il logaitmo in base e, numeo di Nepeo, e in base 10): log a bc = log a b + log a c infatti se: x = log a b, y = log a c, z = log a bc bc = a z = a x a y = a x+y z = x + y log a b c = log a b log a c dai pecedenti con 1 c = c 1 log a b c = c log a b infatti, se: x = log a b a x = b a cx = b c log a a cx = log a b c cx = clog a b = log a b c n log a b = 1 n log a b n dai pecedenti con b = b 1 n infatti, se: log a x = log b x log b a c = log a x a c = x log b a c = c log b a = log b x c = log b x log b a = log a x

4 .3 Funzione logaitmica Consideiamo oa (pe a > 0, a 1) la funzione logaitmica: f(x) = log a x ; è una funzione stettamente monotona (decescente pe 0 < a < 1 e cescente pe a > 1); ha come dominio R + e come codominio R..4 Equazioni esponenziali e logaitmiche L'equazione esponenziale elementae a x = b (con a > 0, a 1, b > 0 ) ammette una ed una sola soluzione. Le equazioni esponenziali più comuni sono classificate come segue..4.1 Equazioni esponenziali iducibili alla stessa base In questo caso, dopo ave idotto l'equazione alla stessa base, è sufficiente uguagliae gli esponenti; pe esempio: 5 x + = 15 x 5 x + = 5 3x x + = 3x x 3x + = 0 x 1 = 1, x = 7 x 1 = 1 3 3(x 1) = 3 0 3x 3 = 0 3x = 3 x = 1 x 1, = ±1 x 7 x x = 49 7 x x x = 49 7 x 1 = 7 x 1 = x = 3.4. Equazioni esponenziali iducibili ad equazioni algebiche In questo caso, dopo ave idotto l'equazione ad una equazione algebica mediante una sostituzione dell'incognita, si isolve l'equazione algebica e poi si tona all'incognita iniziale; pe esempio: 9 9 x 8 3 x + 9 = x 8 3 x + 9 = 0 9t 8t + 9 = 0 t 1 = 9 3 x = 9 = 3 x 1 = { t = 1 9 3x = 1 9 = 3 x = 1 3 x = 9 1 x 1 3 x = x 1 3 x = 7 3 x 1 ( 1 x 8 3 ) = 7 ( 1 x 3 ) 7 ( 1 x 3 ) + ( 1 x t 1 = 1 x 3 ) 1 = 0 7t + t 1 = 0 9 (1 3 ) = 1 9 = (1 3 ) x 1 = { t = 1 x 8 (1 3 ) = 1 8 = impossibile.4.3 Equazioni esponenziali isolvibili con i logaitmi - Equazioni logaitmiche Sia che si stia tattando una equazione esponenziale non iducibile oppue una equazione popiamente logaitmica (cioè con l'incognita che compae nell'agomento di un logaitmo), lo scopo è di tasfomae l'equazione, gazie alle popietà dei logaitmi, nella foma: A(x)>0 B(x)>0 log a A(x) = log a B(x) A(x) = B(x) Se questo è possibile, si isolve l'espessione data avendo cua di veificae le soluzioni ottenute peché potebbeo contavvenie alle condizioni di esistenza dei logaitmi di patenza. Alcuni esempi: 1 log(x 1) + log x 9 = 1 1 log(x 1) + 1 log(x 9) = 1 log[(x 1)(x 9)] = log[(x 1)(x 9)] = log 10 (x 1)(x 9) = 10 x 19x 91 = 0 x 1 = 13, x = 7 La seconda soluzione è inaccettabile peché ende inconsistenti i logaitmi (le cui condizioni di esistenza sono: x > 1, x > 9).

5 9 5 3x = 1 7 x 53x 7 x = 1 x x 9 43 (53 7 ) = log (53 7 ) = x log ( 53 7 ) = log 4 3 = log 4 log 3 3 log 5 log 7 4 log x = 3 log ( 53 7 ) x.5 Disequazioni esponenziali e logaitmiche Le disequazioni logaitmiche, oppue quelle esponenziali alle quali possano applicasi i logaitmi, sono isolvibili quando si possa passae alla elativa disuguaglianza fa gli agomenti: è necessaio icodae che in questo passaggio il segno della disequazione non cambia se la base è maggioe dell unità, deve essee invetito invece in caso contaio. Nel nosto coso applicheemo sempe logaitmi natuali o in base 10, senza avee poblemi pe il segno della disequazione..5.1 Disequazioni esponenziali isolvibili con i logaitmi - Equazioni logaitmiche Sia che si stia tattando una disequazione esponenziale non iducibile oppue una disequazione popiamente logaitmica (cioè con l'incognita che compae nell'agomento di un logaitmo), lo scopo è di tasfomae l'equazione, gazie alle popietà dei logaitmi, nella foma (indipendentemente, come al solito, dal segno della disequazione): log a A(x) > log a B(x) Se questo è possibile, si isolve l'espessione data avendo cua di veificae le soluzioni ottenute peché potebbeo contavvenie alle condizioni di esistenza dei logaitmi di patenza. Ponendosi nel caso a > 1, si ha che questa disequazione è isolta dal sistema di disequazioni fomato dalle condizioni di esistenza dei logaitmi e dalla disequazione coispondente degli agomenti: A(x) > 0 log a A(x) > log a B(x) { B(x) > 0 A(x) > B(x) 5

6 3 Le funzioni goniometiche 3.1 La misua degli angoli L angolo (ciascuna delle due pati in cui un piano isulta diviso da due semiette con l oigine in comune) è il soggetto dello studio della goniometia; più pecisamente lo è la sua misua (ampiezza). Due angoli conguenti hanno la medesima ampiezza, che può essee misuata a patie da un angolo campione utilizzato come unità di misua. Nel sistema sessagesimale questa unità di misua (chiamata gado sessagesimale ed indicata con ) è un angolo di ampiezza pai alla 360esima pate di un angolo gio; a sua volta, la sessantesima pate di un gado è detta pimo (') e la sessantesima pate di un pimo è detta secondo ("). Questo sistema ha laga applicazione nell uso comune e nella topogafia: si pensi ad esempio al sistema di coodinate geogafiche fomate da meidiani e paalleli. In campo scientifico invece viene utilizzato il sistema analitico che utilizza come unità di misua il adiante (ad). Il valoe in adianti dell ampiezza di un angolo viene definito come il appoto ta la lunghezza dell aco individuato su una qualsiasi ciconfeenza con cento nel vetice dell angolo e la lunghezza del suo aggio; la popozionalità ta achi e aggi di ciconfeenze concentiche gaantisce l univocità di tale unità di misua. Il adiante è un unità di misua adimensionale (è appesentato dal appoto ta due lunghezze); inolte, poiché la ciconfeenza misua πr, si ha che un angolo gio misua π ad. Infine, la elazione ta l ampiezza di un angolo α in gadi sessagesimali (α ) e in adianti (α ad ) è data da: α ad π 180 = α α = αad 180 π Gli angoli oientati e la ciconfeenza goniometica Un angolo può essee anche visto come l effetto della otazione di una semietta che abbia come cento di otazione la sua oigine: l angolo saebbe la pate di piano spazzata dalla semietta nel coso della sua otazione. La posizione iniziale della semietta individua il lato oigine dell angolo, mente la posizione finale individua il lato temine dell angolo. In questo senso possiamo palae di angolo oientato: l oientamento è dato dal veso della otazione; pe convenzione, si pone positiva l ampiezza di un angolo ottenuto con una otazione antioaia e negativa l ampiezza di un angolo ottenuto con una otazione oaia. Dato un piano catesiano, si chiama ciconfeenza goniometica la ciconfeenza di aggio unitaio che abbia come cento l oigine degli assi. In questa ciconfeenza, peso come lato oigine l asse x positivo, ogni angolo da esso ottenibile è univocamente deteminato dal punto di intesezione ta il lato temine e la stessa ciconfeenza goniometica; il punto (0,1) è detto oigine degli achi. 3. Le pincipali funzioni goniometiche Le funzioni goniometiche sono funzioni che associano un numeo eale all ampiezza di un angolo: in geneale quindi non sono funzioni eali di vaiabile eale, appunto peché la vaiabile è una quantità che appesenta un ampiezza e può dimensionalmente essee appesentata, ad esempio, da gadi sessagesimali. Questo è il motivo pe cui in campo scientifico si usa il sistema analitico, in cui le ampiezze sono adimensionalmente appesentate da adianti ed in cui quindi le funzioni goniometiche sono funzioni eali di vaiabile eale. A ciascun angolo α individuabile sulla ciconfeenza goniometica (che individua il punto B (x B, y B ) di intesezione ta il lato temine e la ciconfeenza), la funzione coseno associa il appoto ta il coispondente valoe dell ascissa ed il aggio (unitaio), mente la funzione seno associa il appoto ta il coispondente valoe dell ascissa ed il aggio (unitaio): cos α = x B = x B sin α = y B = y B 6

7 3..1 Popietà e gafici di seno e coseno Alcune popietà immediate di queste due funzioni sono date dal fatto che le ampiezze possono assumee qualsiasi valoe, quindi il loo dominio è R; il massimo e il minimo valoe di ascissa e odinata dei punti della ciconfeenza goniometica sono 1 e 1, quindi il loo codominio è dato dall insieme dei valoi ta questi compesi; inolte, ogni volta che si SINUSOIDE effettua una otazione pai ad un angolo gio i valoi si ipetono nuovamente identici, quindi le due funzioni sono peiodiche di peiodo π. Inolte, pe il teoema di Pitagoa si ha che x B + y B =, quindi (visto che il aggio della ciconfeenza goniometica è unitaio): sin α + cos α = 1 Questa appesenta la pima elazione fondamentale della goniometia. Da questa elazione si può icavae il valoe di una delle due funzioni goniometiche di un angolo quando se ne conosce il valoe dell alta. Una inteessante consideazione iguada il fatto che si potebbe usae una qualsiasi ciconfeenza con cento nell oigine (non necessaiamente COSINUSOIDE unitaia) pe la definizione delle due funzioni seno e coseno: infatti ogni angolo individueebbe sulla ciconfeenza geneica e su quella goniometica due angoli etti dati da ascissa ed odinata del punto di intesezione come cateti e aggio come ipotenusa: il fatto che questi due angoli siano simili gaantisce l uguaglianza dei appoti che definiscono ciascuna funzione. I gafici di seno e coseno sono chiamati sinusoide e cosinusoide e sono sovapponibili con una taslazione oizzontale pai a π. Figua Le funzioni tangente e cotangente Si definisce la funzione tangente come appoto (dove definito) ta la funzione seno e la funzione coseno; si definisce la funzione cotangente come ecipoco (dove definito) della funzione tangente: sin α tg α = cos α ctg α = 1 cos α = tg α sin α Dal punto di vista geometico, si può notae che la funzione tangente assume, pe ciascun angolo pe cui è definita, il valoe della lunghezza del 7

8 segmento staccato sulla etta tangente alla ciconfeenza goniometica nell oigine degli achi (0,1) dal polungamento del aggio. Analogamente, la cotangente assume il valoe della lunghezza del segmento staccato sulla etta tangente alla ciconfeenza goniometica nel punto (1,0) dal polungamento del aggio. Infatti, facendo ifeimento alla tangente, pe la similitudine dei tiangoli OBC e OAG, si ha che (vedi figua 1): sin α tg α = cos α = CB OB = GA OA = GA 3..3 Valoi delle funzioni goniometiche di angoli paticolai Con banali consideazioni su angoli paticolai (0, π, π, π, π ) che coispondono a configuazioni ifeibili a tiangoli equilatei o ettangoli isosceli sulla ciconfeenza tigonometica, si ottengono i seguenti valoi: sin 0 = cos π = 0 tg 0 = ctg π = 0 sin π 6 = cos π 3 = 1 tg π 6 = ctg π 3 = 1 3 sin π 4 = cos π 4 = sin π 3 = cos π 6 = 3 sin π = cos 0 = 1 tg π tg π 4 = ctg π 4 = 1 tg π 3 = ctg π 6 = 3 = ctg 0 = indefinita 3..4 Le funzioni goniometiche di angoli associati Si dicono angoli associati ad un qualsiasi angolo α tutti quegli angoli che diffeiscono da α di un multiplo di π. Pe questi angoli valgono le seguenti elazioni, facilmente deivabili dall ossevazione della loo posizione sulla ciconfeenza goniometica: sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α tg(π α) = tg α sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α tg(π + α) = tg α sin( α) = sin(π α) = sin α cos( α) = cos(π α) = cos α sin ( π α) = cos α cos (π α) = sin α tg (π sin ( π + α) = cos α cos (π + α) = sin α tg (π tg( α) = tg(π α) = tg α α) = cos α sin α = 1 tg α + α) = cos α sin α = 1 tg α 8

9 3.3 Le equazioni goniometiche Le equazioni goniometiche elementai sin x = costante cos x = costante tg x = costante Relazioni pincipali da utilizzae nella isoluzione delle equazioni goniometiche elementai: sin x = sin(π x) cos x = cos( x) tg x = tg(π + x) sin x = costante si iceca la soluzione nel 1 e 4 quadante (in cui i valoi del seno vaiano ta -1 e 1, cioè assumono tutti i valoi possibili). Poi si applica la elazione: sin x = sin(π x) e si tova una seconda soluzione. Infine a entambe le soluzioni si aggiunge il peiodo del seno (kπ). cos x = costante si iceca la soluzione nel 1 e quadante (in cui i valoi del coseno vaiano ta -1 e 1, cioè assumono tutti i valoi possibili). Poi si applica la elazione: cos x = cos( x) e si tova una seconda soluzione. Infine a entambe le soluzioni si aggiunge il peiodo del coseno (kπ). tg x = costante si iceca la soluzione nel 1 e 4 quadante (in cui i valoi della tangente vaiano ta e +, cioè assumono tutti i valoi possibili). Infine alla soluzione si aggiunge il peiodo della tangente (kπ) Equazioni goniometiche algebiche sin x f(x) = { cos x a[f(x)] + bf(x) + c = 0 tg x Si isolvono con la sostituzione f(x) = t icavando una equazione di secondo gado che ha, in geneale, soluzioni; da ciascuna di queste si ottiene una equazione goniometica elementae Equazioni goniometiche lineai in sin x, cos x a sin x + b cos x + c = 0 Si isolvono mettendo a sistema l equazione con la elazione goniometica fondamentale: in patica, icavando sin x ispetto a cos x (o vicevesa), elevando al quadato e sostituendo nella elazione fondamentale: sin x + cos x = 1 si ottiene una equazione goniometica algebica. Alla fine è necessaio veificae ciascuna soluzione (senza peiodicità) sostituendola nella equazione di patenza. Nel caso il temine noto sia nullo: a sin x + b cos x = 0 (con c = 0) La soluzione si ottiene dividendo entambi i membi pe cos x ottenendo una equazione elementae in tg x Equazioni goniometiche di secondo gado omogenee in sin x, cos x a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0 9

10 Si isolve dividendo entambi i membi pe cos x e ottenendo una equazione goniometica algebica in tg x. Occoe discutee il caso: cos x = 0. Si possono pesentae anche i seguenti casi paticolai: a sin x + c cos x = 0 (con b = 0) Si isolve ugualmente dividendo entambi i membi pe cos x e ottenendo una equazione goniometica algebica in tg x. b sin x cos x + c cos x = 0 oppue a sin x + b sin x cos x = 0 (con a oppue c = 0) Si isolvono mediante una scomposizione in fattoi (si accoglie nella pima cos x e nella seconda sin x) Equazioni goniometiche di secondo gado in sin x, cos x a sin x + b sin x cos x + c cos x = d Usando la elazione fondamentale: sin x + cos x = 1 si ottiene: a sin x + b sin x cos x + c cos x = d(sin x + cos x) (a d) sin x + b sin x cos x + (c d) cos x = 0 ottenendo una equazione goniometica omogenea di secondo gado. 3.4 Le fomule goniometiche Le fomule di addizione e sottazione Con ifeimento alla figua, sia BK OA ; si ha che l angolo QB K vale α in quanto è dato dalla diffeenza dell angolo OB K che vale: e l angolo OB P che vale: Si ha poi: 10 OB K = π π β = π β OB P = π π (α β) = π α β sin(α + β) = BP = BQ + QP = BQ + KN cos(α + β) = OP = ON PN = ON QK sin β = BK Figua cos β = OK Inolte, consideando il tiangolo ettangolo BKQ si ha: cos α = BQ BK BK cos α = BQ BK BQ cos α = BQ = sin β cos α Invece, consideando il tiangolo ettangolo OKN si ha: sin α = KN OK OK sin α = KN OK KN sin α = KN = sin α cos β In definitiva si ha la fomula di addizione del seno: sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

11 Olte a questo, consideando il tiangolo ettangolo OKN si ha: cos α = ON OK OK cos α = ON OK ON cos α = Invece, consideando il tiangolo ettangolo BKQ si ha: sin α = QK BK BK sin α = QK BK QK sin α = Infine si ha la fomula di addizione del coseno: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β ON = cos β cos α QK = sin α sin β 11