INDICE UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE UNITÀ 3 UNITÀ 2 SEGMENTI E ANGOLI I TRIANGOLI E LA CONGRUENZA

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1 INIE UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE 1. La geometia azionale e il metodo deduttivo Il punto, la etta, il piano La etta e i suoi postulati Le semiette e i segmenti Il piano e i suoi postulati... 8 pplica la teoia La conguenza delle figue piane pplica la teoia Esecizi Scheda di autovalutazione La somma e la diffeenza di angoli I multipli e i sottomultipli di un angolo pplica la teoia Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 3 I TRINGOLI E L ONGRUENZ 1. I poligoni I tiangoli pplica la teoia UNITÀ 2 SEGMENTI E NGOLI 1. I segmenti I postulati dei segmenti Il confonto fa segmenti La somma e la diffeenza di segmenti I multipli e i sottomultipli di un segmento pplica la teoia Gli angoli I postulati degli angoli Il confonto fa angoli La conguenza dei tiangoli Il pimo e il secondo citeio di conguenza Le popietà dei tiangoli isosceli Il tezo citeio di conguenza dei tiangoli Il teoema dell angolo esteno Le elazioni fa i lati e gli angoli di un tiangolo pplica la teoia Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione III

2 INIE UNITÀ 4 RETTE PERPENIOLRI E RETTE PRLLELE 1. Le ette pependicolai pplica la teoia Le ette paallele Il postulato delle paallele. Le geometie non euclidee pplica la teoia Gli angoli alteni, coispondenti e coniugati Il citeio di paallelismo delle ette pplica la teoia Popietà degli angoli dei tiangoli e dei poligoni I citei di conguenza dei tiangoli ettangoli pplica la teoia Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 5 I QURILTERI 1. I quadilatei I paallelogammi pplica la teoia Il ettangolo, il ombo e il quadato pplica la teoia I tapezi pplica la teoia La coispondenza di Talete Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 6 L IRONFERENZ E IL ERHIO 1. I luoghi geometici La ciconfeenza e il cechio Le popietà delle ciconfeenze Le popietà delle code Le popietà degli achi e degli angoli al cento pplica la teoia Le posizioni di una etta ispetto a una ciconfeenza Le posizioni ecipoche di due ciconfeenze Gli angoli alla ciconfeenza Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 7 L IRONFERENZ E I POLIGONI 1. I poligoni inscitti e cicoscitti I tiangoli inscitti e cicoscitti. Punti notevoli dei tiangoli pplica la teoia I quadilatei inscitti e cicoscitti I poligoni egolai Esecizi Scheda di autovalutazione IV

3 INIE UNITÀ 8 LE TRSFORMZIONI ISOMETRIHE 1. Le tasfomazioni geometiche Le isometie pplica la teoia La simmetia centale La simmetia assiale pplica la teoia I vettoi La taslazione pplica la teoia La otazione La composizione di isometie Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 9 L EQUIVLENZ EI POLIGONI 1. Le supefici equivalenti I postulati dell equivalenza Le supefici equiscomponibili I poligoni equivalenti pplica la teoia I teoemi di Euclide e di Pitagoa Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 10 L PROPORZIONLITÀ FR GRNEZZE E LE REE EI POLIGONI 1. Le classi di gandezze geometiche Gandezze commensuabili e incommensuabili La misua delle gandezze Gandezze popozionali Le gandezze diettamente e invesamente popozionali Le gandezze diettamente popozionali Le gandezze invesamente popozionali Il teoema di Talete Le aee dei poligoni pplica la teoia ppofondimento Il numeo fisso dei poligoni egolai Intepetazione algebica dei teoemi di Pitagoa e di Euclide pplica la teoia Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 11 LE OMOTETIE E L SIMILITUINE 1. Le omotetie Il appoto di omotetia Le popietà delle omotetie pplica la teoia La similitudine La similitudine nei poligoni V

4 INIE 4. La similitudine nei tiangoli I citei di similitudine dei tiangoli Le popietà dei tiangoli simili pplica la teoia La similitudine e i teoemi di Euclide Le popietà dei poligoni simili La similitudine e la ciconfeenza Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 12 L LUNGHEZZ ELL IRONFERENZ E L RE EL ERHIO 1. La ciconfeenza ettificata La lunghezza della ciconfeenza L aea del cechio Esecizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 13 RETTE E PINI NELLO SPZIO 1. Lo spazio e le figue solide Le ette e i piani nello spazio La pependicolaità fa due ette e fa una etta e un piano La pependicolaità fa due ette La pependicolaità fa una etta e un piano Le ette e i piani paalleli Il paallelismo fa due ette Il paallelismo fa una etta e un piano Il paallelismo fa due piani I diedi e la pependicolaità fa due piani I piani pependicolai Poiezioni e distanze nello spazio, angolo di una etta con un piano Le tasfomazioni geometiche nello spazio Le isometie nello spazio La simmetia centale La simmetia assiale La simmetia ispetto a un piano La taslazione nello spazio La otazione nello spazio intono a un asse Esecizi UNITÀ 14 LE FIGURE SOLIE E L LORO MISUR 1. I poliedi I pismi I paallelepipedi Le piamidi I poliedi egolai I solidi di otazione Il cilindo Il cono La sfea Le pati della sfea Il calcolo delle aee delle supefici dei solidi I volumi dei solidi Il calcolo dei volumi Matematica olte confine Esecizi Scheda di autovalutazione SOLUZIONI 437 VI

5 PRESENTZIONE La nuova edizione di L oa della matematica è ivolta ai bienni della scuola secondaia di secondo gado che svolgono il pogamma fote di matematica. Il oso è composto dai seguenti volumi: lgeba 1 lgeba 2 Geometia o Elementi di geometia Rispetto alla vecchia edizione sono state intodotte alcune modifiche. Innanzitutto si è idotto il numeo complessivo di volumi che costituiscono l opea, incopoando alcuni agomenti del vecchio volume omplementi in lgeba 2. Si è ioganizzato l indice di lgeba 1 e lgeba 2 poponendo nel pimo volume la tattazione completa dei numei, dai natuali ai eali, pima di affontae l algeba. Le equazioni e le disequazioni di pimo gado sono state inseite nel volume pe il pimo anno lasciando i sistemi di pimo gado nel secondo volume insieme a tutto il secondo gado. Olte ai cambiamenti stuttuali si è potenziato l appaato didattico intoducendo nelle unità nuove schede di lavoo (Matematica olte confine, Scheda di autovalutazione) e si è fatto un leggeo aggionamento degli esecizi, sopattutto quelli elativi alla conoscenza e al linguaggio. Infine pe ottempeae ai nuovi deceti legislativi si sono spostate on-line alcune sezioni: Il laboatoio (abi, Excel e eive), le unità Le tasfomazioni geometiche nel piano catesiano e Pimi elementi di tigonometia, agomenti aamente tattati ma che completano la poposta didattica. La stuttua del testo Ogni volume del coso è aticolato in Unità, ciascuna delle quali è costituita dalla teoia e dai elativi esecizi. Gli agomenti che costituiscono la teoia sono suddivisi in paagafi: al temine di ciascuno di essi è poposta una scheda opeativa, intitolata pplica la teoia, che fonisce esecizi di pimo livello iguadanti i contenuti del paagafo, pe veificae con immediatezza la compensione dei concetti e la capacità di applicazione delle tecniche opeative appena studiate. l fondo della scheda è ipotato il imando di pagina alla coispondente sezione di esecizi, pe miglioae la fuibilità del testo. VII

6 aatteistiche pincipali della tattazione teoica sono: il linguaggio igooso ma semplice, pe cui ne isulta un esposizione di facile lettua, che favoisce la compensione; la tattazione sintetica ma completa e igoosa; gli esempi molto numeosi, allo scopo di chiaie e spiegae le tecniche opeative esposte e guidae lo studente alla isoluzione degli esecizi dello stesso tipo; la gafica essenziale e piacevole, utilizzata come stumento didattico, pe mette in isalto le divese pati del testo. La sezione Esecizi si ape con una Sintesi della teoia. Gli esecizi sono molto numeosi, gaduali e oganizzati, pe diffeenti tipologie, in te pati: onoscenza e linguaggio, in cui sono poposti esecizi (quesiti, veo/falso, scelta multipla) pe veificae le conoscenze teoiche; pplicazioni, in cui sono poposti esecizi pe sviluppae la capacità di calcolo e acquisie abilità nell esecuzione delle tecniche e dei pocedimenti; Esecizi di iepilogo, con esecizi iassuntivi più aticolati e complessi. Nelle pplicazioni sono pesenti esecizi svolti, allo scopo di fonie dei modelli pe l esecuzione degli esecizi poposti. Tutti gli esecizi hanno la soluzione ipotata a fianco, dove possibile, o a fine volume. In alcune unità sono poposte schede intedisciplinai che si chiamano Matematica olte confine. Hanno la funzione di mettee in elazione la matematica con il modo esteno: pe questo vengono poposte selezioni di libi, film, opee pittoiche, spettacoli teatali che in qualche modo possano avee un aggancio con l agomento dell unità o più in geneale con la matematica. È solo un suggeimento che può fonie da stimolo pe indue gli studenti a guadae olte il libo e la mea applicazione dei concetti studiati. In fondo molte sono le connessioni della matematica con la vita eale anche se spesso non se ne coglie l esistenza continuando a pensae che sia una disciplina aida e fine a se stessa. ete scelte pesentate nelle schede talvolta possono sembae fozate e poco ineenti. Sia dia spazio alla fantasia e alla voglia di aicchie il popio bagaglio cultuale! Sempe all inteno di queste schede si dedica una piccola sezione alla matematica in inglese, pe cominciae a famigliaizzae con i temini specifici più comuni che potebbeo icoee negli studi futui. l fondo di ciascuna unità si tovano le schede di autovalutazione che popongono una pova tipo da supeae in vista di una veifica in classe. ome già accennato le schede di Laboatoio sono state spostate on-line. Si ingaziano anticipatamente tutti coloo che, con suggeimenti e ossevazioni, intendeanno contibuie al miglioamento dell opea pe le futue edizioni e sopattutto buon lavoo a tutti gli insegnanti e gli studenti che utilizzeanno questo oso. Gli utoi VIII

7 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE OIETTIVI onoscee il significato di concetto pimitivo, postulato e teoema. onoscee i postulati della etta e del piano. onoscee il concetto di figua geometica e di conguenza. 1 L GEOMETRI RZIONLE E IL METOO EUTTIVO Metodo intuitivo Metodo deduttivo Enti geometici pimitivi Postulati Teoemi Nel pecedente pecoso scolastico hai studiato la Geometia usando il metodo intuitivo, con il quale le popietà delle figue geometiche (segmenti, ette, tiangoli, cechi ) si deteminano sopattutto a patie dall ossevazione dietta e dalle misuazioni. Nella Scuola Supeioe la Geometia viene ipoposta con un diveso metodo di studio, in cui ogni popietà delle figue si deduce da alte popietà già note, mediante il agionamento. Questo nuovo metodo di studio è detto metodo deduttivo e la Geometia che ne deiva pende il nome di Geometia azionale. La Geometia azionale tovò la sua pima sistemazione già nel III secolo a.., nell opea del matematico geco Euclide ed è pe questo che anco oggi la geometia che si studia nelle noste scuole si definisce Geometia euclidea. Lo sviluppo della Geometia azionale con il metodo deduttivo si ealizza sostanzialmente in te passaggi successivi. 1 Si stabilisce che alcuni enti geometici sono da consideasi enti pimitivi, nel senso che non devono essee definiti: sono il punto, la etta e il piano. Tutti gli alti enti geometici che vengono successivamente intodotti e diventano oggetto di studio sono invece descitti con una pecisa definizione che ne specifica le caatteistiche. 2 Si enunciano le popietà fondamentali degli enti pimitivi, che pendono il nome di postulati. I postulati sono popietà intuitive che si accettano anche se non possono essee dimostate: essi foniscono una definizione indietta degli enti pimitivi, in quanto indicano, olte alle loo popietà, anche le elazioni che intecoono fa essi. 3 Si deducono con il agionamento, cioè si dimostano, tutte le popietà degli enti geometici che si studiano: esse pendono il nome di teoemi. Tutti i teoemi devono essee dimostati, utilizzando solo i postulati e alti teoemi eventualmente dimostati in pecedenza. 1

8 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ome si dimostano i teoemi Ipotesi e Tesi La figua La dimostazione imostazione pe assudo Un teoema è espesso da un enunciato, che spesso è una poposizione ipotetica stuttuata nella foma «se alloa», in cui è facile iconoscee l ipotesi, che è il dato di patenza, e la tesi, che è la popietà da dimostae. d esempio, nell enunciato del teoema: «se un tiangolo è isoscele, alloa gli angoli alla base sono conguenti» l ipotesi è: dato un tiangolo isoscele; la tesi è: gli angoli alla base sono conguenti. Se l enunciato è espesso in foma divesa, occoe icondulo alla foma ipotetica o comunque stabilie qual è l ipotesi e qual è la tesi. d esempio il teoema: «le diagonali di un ettangolo sono conguenti» icondotto in foma ipotetica diventa: «se un quadilateo è un ettangolo, alloa le sue diagonali sono conguenti» e in esso sono evidenti l ipotesi (il qudilateo è un ettangolo) e la tesi (le diagonali sono conguenti). Individuate l ipotesi e la tesi, è necessaio disegnae la figua del teoema, cioè appesentae in un disegno, in modo chiao e peciso, la situazione pospettata dal teoema e gli enti geometici inteessati: infatti spesso solo un attenta ossevazione della figua consente una ponta valutazione di popietà e di elazioni, suggeendo quindi il pecoso da seguie. Nel disegnae la figua occoe evitae di appesentae casi paticolai, se non sono ichiesti dall enunciato, peché potebbeo fuoviae il agionamento successivo; ad esempio, se nel teoema si pala di un quadilateo, potebbe essee fuoviante disegnae un quadato, che è un quadilateo paticolae, con i lati conguenti, peché il disegno potebbe suggeie consideazioni sbagliate, valide pe un quadato, ma non pe un quadilateo qualsiasi. isegnata la figua, si passa alla stesua della dimostazione, che consiste in una seie di successive e giustificate deduzioni che, patendo dai dati ceti foniti dall ipotesi, devono condue alla tesi, utilizzando i postulati, le definizioni e tutte le popietà già note, cioè i teoemi già dimostati. Un tipo paticolae di dimostazione di un teoema è la dimostazione pe assudo, che si sviluppa in questo modo: 1) si nega la tesi; 2) sulla base della falsità della tesi, si fomulano delle consideazioni e delle deduzioni, pevenendo a conclusioni palesemente assude, peché in contasto con l ipotesi o con qualche postulato o teoema già dimostato; 3) si conclude quindi che la tesi non può essee falsa e peciò isulta vea. Un esempio di dimostazione pe assudo è quella del secondo citeio di conguenza dei tiangoli che vedemo più avanti. Il teoema inveso ato un teoema, se si scambia l ipotesi con la tesi, si ottiene il teoema inveso. Se un teoema è veo, non è detto che sia veo anche il teoema inveso, che deve peciò essee dimostato. Se si dimostano sia un teoema sia il suo inveso, i loo enunciati si possono unificae in un solo enunciato che, come vedemo al momento oppotuno, si espime con una foma paticolae, detta condizione necessaia e sufficiente. 2

9 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 2 IL PUNTO, L RETT, IL PINO Enti geometici fondamentali Punto Retta Piano ome si indicano punti, ette e piani Nella Geometia euclidea il punto, la etta e il piano sono consideati enti pimitivi e quindi costituiscono gli enti geometici fondamentali. Il punto, la etta e il piano, come pealto tutti gli enti geometici che studieemo, sono enti astatti, ceati dalla mente umana, ben divesi dagli oggetti che vediamo nella ealtà che ci ciconda; non hanno peso, né coloe, né lucentezza, né odoe: sono solo dei modelli che appesentano pe astazione gli oggetti del mondo fisico. Il punto geometico è pivo di estensione e può essee consideato l astazione, ad esempio, della taccia lasciata su un foglio dalla punta di una matita o di un ganellino di sabbia. La etta geometica è illimitata e piva di spessoe e può essee consideata l astazione, ad esempio, di una coda lunga e tesa. Il piano geometico è illimitato in lunghezza e laghezza e non ha spessoe: può essee consideato l astazione della supeficie di un tavolo, di uno stagno o di un foglio di cata. I punti si indicano con le lettee maiuscole dell alfabeto:,, P, Q, R, Le ette si indicano con le lettee minuscole dell alfabeto: a, b,, s, t, I piani si indicano con alcune lettee dell alfabeto geco, di solito: α (alfa) β (beta) γ (gamma) e si appesentano con ettangoli o paallelogammi. P α a Q Linea geometica Le linee e le figue geometiche Se un punto si muove in modo continuo nello spazio, l insieme delle posizioni successive che esso occupa si dice linea geometica. Esistono linee apete e linee chiuse, limitate e illimitate. La etta si può consideae un caso paticolae di linea apeta illimitata. 3

10 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE linea apeta linea chiusa linea illimitata etta Figua geometica EFINIZIONE Si dice figua geometica ogni insieme non vuoto di punti. Sono quindi figue geometiche le ette, i segmenti, gli angoli, i tiangoli, le piamidi; anche il punto è una figua geometica. L insieme di tutti i punti costituisce lo spazio. Lo spazio contiene tutte le figue geometiche; se una figua appatiene tutta a un solo piano si dice figua piana, altimenti si dice figua solida. figue piane figue solide Inizialmente ci occupeemo solo della Geometia piana, che studia le figue piane, mente nelle ultime te unità tatteemo la Geometia solida, che studia le figue solide. 4

11 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 3 L RETT E I SUOI POSTULTI Postulati della etta Molte popietà intuitive della etta, nella Geometia azionale, vengono assunte come postulati, cioè consideate vee senza dove essee dimostate. Fa i postulati che iguadano la etta sono paticolamente impotanti i postulati di appatenenza e il postulato di odinamento. I postulati di appatenenza della etta Se disegniamo una etta, su di essa possiamo segnae quanti punti vogliamo; se fa due di questi punti tendiamo due fili sottili, essi si sovappongono l uno all alto. Se disegniamo una etta su un piano, su di esso possiamo segnae alti punti che non appatengono alla etta. Queste popietà intuitive delle ette si assumono come postulati e pendono il nome di postulati di appatenenza della etta. POSTULTI I PPRTENENZ ELL RETT Postulati di appatenenza della etta Ogni etta è costituita da infiniti punti (fig. a). Pe ogni coppia di punti distinti passa una e una sola etta (fig. b). ata una etta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non le appatiene (fig. c). a) b) c) I punti che appatengono alla stessa etta si dicono allineati. Il postulato di odinamento della etta Una delle popietà delle ette è che ciascuna di esse può essee pecosa in soli due vesi, opposti fa loo; ad esempio il punto della etta può muovesi su solo nei due vesi indicati dalle fecce: 5

12 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE Retta oientata Ogni etta può quindi essee oientata, cioè su di essa si può stabilie qual è il veso di pecoenza, indicandolo con una feccia. Se consideiamo, ad esempio, una etta oientata veso desta e fissiamo su di essa i te punti, e : possiamo affemae che: pecede segue è compeso fa e Fissato il veso di pecoenza, i punti della etta isultano quindi odinati ispetto al veso scelto. Questa popietà dei punti di una etta viene assunta come postulato e pende il nome di postulato di odinamento della etta. Postulato di odinamento della etta POSTULTO I ORINMENTO ELL RETT In ogni etta si possono stabilie due odinamenti, detti vesi, opposti ta loo. lti postulati della etta onsideiamo alte due popietà intuitive della etta. Ogni etta è illimitata nei due vesi, cioè non esiste un punto di inizio né un punto finale. Ogni etta è un insieme di punti denso, nel senso che i punti che la costituiscono sono fitti, cioè si susseguono in modo continuo, senza inteuzioni. nche queste popietà vengono assunte come postulati. POSTULTI ato un punto di una etta, esiste sempe un punto della etta che lo pecede e un punto della etta che lo segue. ati due punti distinti di una etta, esiste sempe un punto della etta compeso fa essi. Sulla base di tutti i postulati pecedenti si può quindi affemae che la etta è un insieme di punti odinato, illimitato e denso. 6

13 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ LE SEMIRETTE E I SEGMENTI opo ave stabilito con i postulati quali sono le popietà delle ette, si possono definie due nuovi enti geometici: la semietta e il segmento. EFINIZIONE Semietta ata una etta oientata e un suo punto qualunque O si dice semietta di oigine O l insieme costituito dal punto O e da tutti i punti di che pecedono oppue seguono O. semietta O semietta Le due semiette individuate sulla etta sono fa loo opposte: la semietta costituita da O e dai punti che lo seguono si dice semietta positiva, mente l alta si dice semietta negativa. È evidente che ciascuna semietta è illimitata in un solo veso. EFINIZIONE Segmento ata una etta oientata e due suoi punti distinti e si dice segmento di estemi e l insieme costituito dai punti e e dai punti di compesi fa e. segmento Il segmento di estemi e si indica con. Tenuto conto del postulato che dice che, dati due punti di una etta, esiste sempe un punto della etta stessa compeso fa essi, si può affemae che un segmento è un insieme infinito di punti. Infatti, dato un segmento, fa e esiste sempe un punto, fa e esiste sempe un punto e così via, pe cui i punti del segmento isultano infiniti. Segmento oientato Un segmento, come una etta, può essee pecoso in due vesi opposti; stabilito qual è il veso di pecoenza, il segmento si dice oientato. segmento segmento 7

14 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE 4 IL PINO E I SUOI POSTULTI Postulati del piano Molte popietà intuitive del piano in Geometia azionale sono assunte come postulati, cioè sono consideate vee senza dimostazione. nalogamente al caso della etta, distinguiamo i postulati di appatenenza e il postulato di patizione del piano. I postulati di appatenenza del piano Su un piano qualsiasi, ad esempio su una lavagna, possiamo segnae quanti punti vogliamo e tacciae quante ette vogliamo. Se appoggiamo un catoncino sulla punta di una matita o di due matite, possiamo fagli assumee infinite posizioni; se lo appoggiamo invece sulle punte di te matite non allineate il catoncino si dispone in una sola posizione, stabile e fissa. Se tacciamo una etta su un piano, ad esempio su un foglio di cata, tutti i punti della etta giacciono sul foglio; se fissiamo un punto P sul foglio, possiamo tacciae infinite ette che passano pe P. Queste popietà intuitive che iguadano i piani, nella Geometia azionale si assumono come postulati e pendono il nome di postulati di appatenenza del piano. POSTULTI I PPRTENENZ EL PINO Postulati di appatenenza del piano Ogni piano è costituito da infiniti punti e infinite ette (fig. a). Pe te punti non allineati passa uno e un solo piano (fig. b). Se una etta ha due punti su un piano alloa giace inteamente sul piano (fig. c). Pe un punto di un piano passano infinite ette (fig. d). a) b) c) d) Fascio di ette L insieme di tutte le ette di un piano che passano pe lo stesso punto P si dice fascio di ette di cento P. I punti e le ette che appatengono allo stesso piano si dicono complanai. Tenuto conto del postulato che dice che pe due punti distinti di un piano passa una sola etta, è evidente che due ette complanai possono avee un solo punto in comune, peché se ne avesseo due isulteebbeo coincidenti. 8

15 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 Posizioni ecipoche di due ette complanai ue ette complanai possono peciò tovasi, l una ispetto all alta, in una delle seguenti posizioni: avee più di un punto in comune: in tal caso si dicono coincidenti; avee un solo punto in comune: in tal caso si dicono incidenti in quel punto; non avee alcun punto in comune: in tal caso si dicono paallele. P ette coincidenti ette incidenti in P ette paallele Pe indicae che due ette ed s sono paallele si scive s. Usando il linguaggio simbolico degli insiemi, le posizioni ecipoche di due ette complanai a e b si possono indicae così: a b = a = b se sono coincidenti a b = P se sono incidenti nel punto P a b = se sono paallele Il postulato di patizione del piano Se tacciamo una etta su un piano, ad esempio su un foglio di cata, esso esta diviso in due egioni; se congiungiamo con un segmento due punti che si tovano in egioni divese, necessaiamente il segmento deve attavesae la etta, peché essa è illimitata e sepaa le due egioni in modo completo. Questa popietà intuitiva del piano viene assunta come postulato e pende il nome di postulato di patizione del piano. POSTULTO I PRTIZIONE EL PINO Postulato di patizione del piano Ogni etta divide il piano α cui appatiene in due egioni, che si dicono semipiani di oigine. Se e sono due punti distinti del piano α non appatenenti a, consideato il segmento, si possono veificae due casi: se e appatengono allo stesso semipiano, il segmento non inteseca la etta (fig. a); se e non appatengono allo stesso semipiano, il segmento inteseca la etta in un punto (fig. b). P α α a) b) 9

16 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE I due semipiani di oigine si dicono opposti uno all alto; pe indicali si usano le lettee minuscole dell alfabeto geco. La definizione di angolo Su un piano α disegniamo due semiette a e b che hanno la stessa oigine O: esse dividono il piano in due pati, ciascuna delle quali pende il nome di angolo. EFINIZIONE efinizione di angolo Si dice angolo ciascuna delle due pati in cui un piano viene diviso da due semiette che hanno l oigine in comune. angolo O a angolo α b Le due semiette appatengono a entambi gli angoli e si dicono lati dell angolo. L oigine comune alle due semiette si dice vetice di ciascun angolo. Nelle figue, quando si vuole indicae un paticolae angolo e distinguelo dagli alti, si usa genealmente disegnae un piccolo aco al suo inteno, vicino al vetice. Un angolo si indica simbolicamente in modi divesi, utilizzando il suo vetice, i suoi lati o dei punti che si tovano sui due lati: angolo O angolo ab angolo O angolo α angolo ao b O α a b 10

17 PPLI L TEORI Rette, semiette, segmenti, angoli 1 Sulla etta oientata disegna in osso una semietta positiva di oigine O: 2 Sulla etta oientata disegna in osso un segmento e in blu un segmento PQ: 3 Sul piano α segna te punti distinti,, : taccia la etta passante pe e pe e la etta s passante pe e pe. ome sono le due ette? incidenti paallele α 4 Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. s t e s sono... e t sono... s e t sono... 5 Sul piano α disegna il fascio di ette di cento P: P α 6 Sul piano β taccia due semiette e s di oigine e coloa in osso e in blu i due angoli di vetice : β alla pagina 20 alti esecizi 11

18 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE 5 L ONGRUENZ ELLE FIGURE PINE Figue uguali Figue conguenti Le ette, le semiette, i segmenti, gli angoli e tutte le figue piane sono insiemi di punti; poiché due insiemi sono uguali quando sono costituiti dagli stessi elementi, due figue piane si possono definie uguali solo se sono costituite dagli stessi punti. ue figue uguali quindi occupano la stessa posizione sul piano e coincidono. iò significa che due figue che sul piano occupano posizioni divese non possono in alcun caso essee definite uguali. onsideiamo alloa due figue F 1 ed F 2 che occupano posizioni divese; se si sposta una figua, con un movimento che non la defoma, in modo da sovappola all alta, può capitae che esse coincidano pefettamente: in tal caso le due figue si dicono conguenti. F 1 F 2 Movimento igido Il movimento che non defoma una figua quando si sposta sul piano si dice movimento igido e viene consideato un concetto pimitivo. EFINIZIONE ue figue si dicono conguenti se coincidono sovapponendole con un movimento igido. Pe indicae che due figue F 1 ed F 2 sono conguenti si scive F 1 F 2. Poiché tutte le ette coincidono se vengono sovapposte con un movimento igido, così come anche tutte le semiette, tutti i piani e i semipiani, si può concludee che: tutte le ette sono fa loo conguenti; tutte le semiette sono fa loo conguenti; tutti i piani sono fa loo conguenti; tutti i semipiani sono fa loo conguenti. La conguenza fa due figue piane è una coispondenza biunivoca fa i loo punti, peché a ciascun punto di F 1 fa coispondee uno e un solo punto di F 2 e vicevesa. 12

19 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 Uguaglianza e conguenza Uguaglianza È oppotuno ibadie ancoa la diffeenza fa il concetto di uguaglianza e il concetto di conguenza. a) Se due figue geometiche sono costituite dagli stessi punti e quindi occupano la stessa posizione, cioè coincidono, alloa si dice che le due figue sono uguali. d esempio, un lato del tiangolo H è uguale a un lato del tiangolo K, peché in entambi i tiangoli si tatta dello stesso segmento. H K onguenza b) Se due figue geometiche distinte sono esattamente sovapponibili con un movimento igido, si dicono conguenti. d esempio, il lato del tiangolo è conguente al lato PQ del tiangolo PQR peché sono segmenti distinti, ma pefettamente sovapponibili. P R Q Popietà della conguenza La elazione di conguenza fa due figue piane gode delle seguenti popietà: è iflessiva, peché ogni figua è conguente a se stessa; è simmetica, peché se F 1 F 2 anche F 2 F 1 ; è tansitiva, peché se F 1 F 2 ed F 2 F 3, anche F 1 F 3. Pe questo motivo si dice che è una elazione di equivalenza. 13

20 PPLI L TEORI La conguenza delle figue piane 1 Stabilisci quali ta le seguenti figue sono conguenti. a) b) c) d) e) f) g) h) 2 Le figue piane F ed F' sono conguenti: indica su F'i punti coispondenti di,,,, E, F. E F' F F 3 isegna due figue geometiche piane ta loo conguenti, evidenziando alcuni punti coispondenti. alla pagina 23 alti esecizi 14

21 ESERIZI UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE SINTESI ELL TEORI GEOMETRI RZIONLE La Geometia azionale utilizza il metodo deduttivo, con il quale ogni popietà delle figue geometiche si deduce da alte popietà già note, mediante il agionamento. Patendo da alcuni enti pimitivi che vengono accettati come noti, e dalle loo popietà intuitive dette postulati, anch esse accettate come vee, si intoducono tutti gli alti enti geometici mediante definizione e si dimostano le loo popietà, dette teoemi. Ogni teoema è costituito da una ipotesi (dati di patenza, supposti vei), una tesi (ciò che si vuole dimostae) e una dimostazione che è una seie di deduzioni logiche che, patendo dall ipotesi, consente di aivae alla tesi. Le dimostazioni pe assudo sono quelle in cui si nega la tesi e come conseguenza si peviene a conclusioni assude, pe cui la tesi è da consideae vea. ENTI PRIMITIVI Gli enti pimitivi sono il punto, la etta e il piano. Se un punto si muove su un piano l insieme delle posizioni successive che esso occupa si dice linea. linea apeta linea chiusa Si dice figua geometica ogni insieme non vuoto di punti; se i punti della figua appatengono tutti allo stesso piano la figua geometica si dice piana. POSTULTI ELL RETT Postulati di appatenenza della etta: ogni etta è costituita da infiniti punti; pe due punti distinti passa una e una sola etta; data una etta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non appatiene alla etta. Postulato di odinamento della etta: In ogni etta si possono stabilie due odinamenti, detti vesi, che sono fa loo opposti. Se si stabilisce un veso di pecoenza, una etta si dice oientata: lti postulati: dato un punto di una etta, esiste sempe un punto che lo pecede e un punto che lo segue; dati due punti distinti di una etta, esiste sempe un punto compeso fa essi. In base ai postulati, la etta isulta un insieme di punti odinato, illimitato e denso. SEMIRETTE E SEGMENTI ata una etta oientata e un suo punto O, si dice semietta di oigine O l insieme costituito da O e da tutti i punti di che seguono oppue pecedono O: semietta negativa ata una etta oientata e due suoi punti distinti e, si dice segmento di estemi e l insieme costituito da e e da tutti i punti di compesi fa e : segmento nche un segmento può essee oientato, se su di esso si stabilisce un veso di pecoenza. O semietta positiva 15

22 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ESERIZI POSTULTI EL PINO Postulati di appatenenza del piano: ogni piano è costituito da infiniti punti e infinite ette; pe te punti di un piano passa uno e un solo piano; se una etta ha due punti su un piano, alloa giace sul piano; pe ogni punto di un piano passano infinite ette. Postulato di patizione del piano: ogni etta divide il piano cui appatiene in due semipiani di oigine. Se e sono due punti distinti del piano non appatenenti a, il segmento può intesecae in un punto oppue non intesecae, a seconda della posizione di e ispetto a. NGOLI Si dice angolo ciascuna delle due pati in cui un piano viene diviso da due semiette che hanno la stessa oigine. angolo vetice O lato lato angolo L ONGRUENZ ELLE FIGURE PINE ue figue geometiche si dicono uguali se sono fomate dagli stessi punti e quindi occupano la stessa posizione. ue figue geometiche che sono esattamente sovapponibili con un movimento igido si dicono conguenti. La conguenza fa due figue piane è una elazione di equivalenza, peché gode della popietà iflessiva, simmetica e tansitiva. La conguenza fa due figue piane è una coispondenza biunivoca. b a 16

23 ESERIZI I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 L ONOSENZ E IL LINGUGGIO 1 Su quale metodo di studio si basa la Geometia azionale? In che cosa consiste tale metodo? 20 ue semiette che hanno l oigine e un punto in comune coincidono. V F 2 3 Quali sono gli enti geometici pimitivi? Un postulato è una popietà pimitiva che si accetta solo dopo avela dimostata. V F ue semiette si dicono opposte se hanno l oigine in comune. V F he cos è un segmento? 4 a quali pati è composto un teoema? Illusta i passaggi che si devono seguie pe dimostae la validità di un teoema Quanti sono i punti che appatengono a un segmento? he cos è un segmento oientato? 5 Esistono due tipi di dimostazione dei teoemi: la dimostazione dietta e la dimostazione pe assudo. V F 25 Se gli estemi di un segmento appatengono a un segmento, alloa è incluso in. V F 6 ome possono essee visualizzati nella ealtà un punto, un piano e una etta? 26 ue segmenti contenuti in una etta possono avee un solo punto in comune. V F he cos è una linea geometica? he cos è una figua geometica? he diffeenza c è ta una figua piana e una figua solida? Una etta è un insieme infinito di punti. Quanti punti occoono pe individuae una etta? a quanti elementi è composto l insieme delle ette passanti pe due punti? ata una etta su un piano esiste almeno un punto del piano che non le appatiene. V F Quanti vesi si possono individuae su una etta? Quando una etta si dice oientata? he cosa significa affemae che una etta è illimitata? Una etta è un insieme di punti odinato, limitato e denso. V F V F Quanti punti e quante ette appatengono a un piano? Quante ette appatenenti allo stesso piano passano pe un punto? Essendo le ette sottoinsiemi del piano, che cosa appesenta il loo punto comune? ome si chiamano le ette appatenenti a un piano passanti pe un solo punto? Te punti distinti individuano un piano? Quanti piani passano pe una etta e pe un punto che non appatiene alla etta? he cos è un fascio popio di ette? ome vengono chiamate due ette appatenenti allo stesso piano? he cos è un semipiano? L intesezione di due semipiani opposti di oigine è un insieme vuoto. V F Si dice angolo una delle due pati in cui un piano è diviso da due semiette aventi la stessa oigine. V F 18 he cos è una semietta? Quante semiette individua un punto P su una etta? 37 Quanti angoli deteminano due semiette aventi la stessa oigine? E due ette incidenti? 19 Quante semiette è possibile individuae su una etta? 38 Quando due figue si dicono uguali e quando si dicono conguenti? 17

24 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ESERIZI Peché la conguenza fa due figue piane è una elazione di equivalenza? ue semiette qualsiasi sono conguenti. V F Una etta è conguente a una semietta. Tutti i piani sono fa loo conguenti. V V F F LE PPLIZIONI 1. La geometia azionale e il metodo deduttivo (teoia pag. 1) 43 Indica quali fa i seguenti concetti matematici sono consideati pimitivi: a) etta c) piano e) insieme g) numeo natuale b) punto d) teoema f) figua geometica Individua nei seguenti teoemi l ipotesi e la tesi: Le diagonali di un quadato sono pependicolai. ue cechi che hanno la stessa ciconfeenza hanno lo stesso aggio. I multipli di 2 sono numei pai. Un tiangolo con i te lati di uguale lunghezza ha i te angoli di uguale ampiezza. Se un cittadino ha votato, alloa ha compiuto 18 anni. Tutti i cittadini fancesi sono cittadini euopei. Se una lampadina è accesa alloa è attavesata da coente. 2. Il punto, la etta, il piano (teoia pag. 3) 51 Indica quale delle seguenti figue appesenta una etta: 52 Indica che cosa appesenta nella figua ciascuna lettea: a) b) c a c) d) α β b e) 18

25 ESERIZI I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ isegna una etta e segna: due punti che appatengono a ; due punti che stanno da pati opposte ispetto a ; due punti che stanno dalla stessa pate ispetto a. isegna una etta e segna: te punti,, appatenenti a in modo che stia ta e ; quatto punti, E, F, G appatenenti a in modo che F stia ta e G e sia dalla pate opposta di E ispetto a G; dei punti in modo che la etta esti divisa in te pati. isegna una etta e segna: un punto che appatiene a e un punto che non le appatiene; un punto che non appatiene a e una etta che passa pe e inconta in un punto P la etta ; un punto che non appatiene a e una etta che passa pe e non inconta la etta ; una etta s che inconta in un punto T la etta e una etta t che non inconta la etta lassifica le seguenti figue geometiche in limitate (L) e illimitate (I): a) segmento non nullo b) semipiano c) tiangolo d) etta e) punto f) semietta isegna due linee apete che si intesecano in due punti. isegna due linee chiuse che si intesecano in due punti. Individua gli insiemi di punti che costituiscono le seguenti figue geometiche: a) b) 56 isegna un piano α e segna: quatto punti,,, appatenenti ad α; due ette ed s appatenenti ad α, la pima passante pe e la seconda pe nessuno dei quatto punti; una etta t passante pe ma non appatenente ad α. c) d) 57 Indica se le seguenti linee geometiche sono apete o chiuse: 62 Ripota due esempi di figue geometiche costituite da un numeo finito di punti. 63 Ripota due esempi di figue geometiche costituite da un numeo infinito di punti Stabilisci se le seguenti figue geometiche sono piane o solide:

26 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ESERIZI 3. La etta e i suoi postulati (teoia pag. 5) 65 Stabilisci l odine dei punti,,,, E pesi sulla etta oientata inseendo negli appositi spazi la paola pecede o segue. E a),, e) F,, b) F,, E f), F, E c), F, g) F,, E d),, h),, E E E Stabilisci l odine dei punti,,,, E pesi sulla etta oientata inseendo negli appositi spazi la paola pecede o segue Quante sono le ette distinte che congiungono a due a due te punti non allineati? on ifeimento ai punti,,, sul piano α: α stabilisci qual è il numeo delle ette che passano: a) pe c) pe, pe e pe b) pe e pe d) pe, pe e pe E E E E ati quatto punti,,, di una etta oientata, in quanti e quali modi si possono odinae? Segna su una etta oientata i punti,,, in modo che peceda e segua. he cosa succede a questi punti se si invete l oientamento della etta? ate le ette, s, t sul piano α, stabilisci a quali figue geometiche coispondono le seguenti opeazioni: 67 I punti,,, sono così disposti su una etta oientata: pecede, pecede e sta fa e, segue. Qual è la successione dei punti? 68 isegna su una etta oientata te punti,, in modo che peceda e segua. 69 on ifeimento alla etta oientata e ai punti segnati su di essa, individua ta le sequenze di punti poposte quelle coette: F E a) s c) [(t s) (t )] b) ( t) d) ( s) (s t) s t α 20

27 ESERIZI I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 Le semiette e i segmenti (teoia pag. 7) 75 isegna una etta e segna su di essa due punti e : coloa in osso il segmento e in blu le semiette di oigine e. 81 ata una etta fissa su di essa i punti,, in modo che l intesezione dei segmenti e sia il segmento isegna due semiette di oigine e intesecale con una etta : indica i segmenti così ottenuti. Quante e quali figue geometiche individuano due punti e su una etta? Stabilisci quante e quali semiette distinte si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa: a) un punto ; b) due punti distinti e ; c) te punti distinti, e. d) dieci punti distinti. Te ette si incontano in un punto P. Quante semiette si deteminano? Stabilisci quante semiette e quanti segmenti si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa te punti distinti, e. Genealizza al caso di n punti. ata una etta e fissati i punti,,, indica il isultato delle seguenti opeazioni: a) b) c) d) 80 Stabilisci quanti e quali segmenti distinti non nulli si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa: a) un punto ; b) due punti distinti e ; c) te punti distinti, e. 84 Segna su una etta quatto punti,,, in modo tale che isultino soddisfatte tutte le seguenti condizioni: 4. Il piano e i suoi postulati (teoia pag. 8) 85 isegna un piano α e segna te punti,, su di esso: taccia la etta passante pe e pe e la etta s passante pe e pe. 90 isegna una etta e poi taccia una etta s paallela a, una etta t incidente e una etta u coincidente con. 86 isegna su un piano α un punto P e il fascio di ette passanti pe P. 91 Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. 87 Se ed s sono due ette appatenenti a un piano α, che cosa significano le scittue: s {P} ed s? 88 ata una etta e te punti,,, se isulta,,, quale sottoinsieme individuano i punti,,? a 89 onsidea in un piano la seguente linea chiusa: b c d In quante egioni è diviso il piano? 21

28 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ESERIZI Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. ata la seguente figua: α G F indica: a) tutti i semipiani individuati dalle ette e s; b) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti al semipiano (cioè al semipiano individuato dalla etta e dal punto ); c) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti al semipiano s; d) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti ai semipiani s ed ; e) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti ai semipiani ed s. Stabilisci quanti semipiani distinti si possono individuae su un piano α, avendo segnato su di esso: a) una etta; b) due ette incidenti; c) te ette distinte di un fascio popio. ue semipiani di oigine comune sono sottoinsiemi dello stesso piano α. etemina gli insiemi unione e intesezione dei due semipiani. onsideate due ette incidenti ed s e i quatto semipiani: α e α' di oigine, β e β' di oigine s, tutti inclusi nel piano π da esse individuato, detemina i seguenti insiemi: α α'... β β'... α β... 1 E 7 s α' β'... α β... α' β'... (α β) (α β)... π Indica in tutti i modi possibili i seguenti angoli: Indica ciascuno degli angoli segnati nelle due figue: H ue semiette aventi la stessa oigine individuano nel piano α due angoli: disegna la figua, indicando il vetice V e i lati a e b degli angoli. Quanti sono gli angoli deteminati da 2, o 3, o 4 semiette aventi la stessa oigine? onsideate quatto semiette a, b, c, d aventi oigine O comune e indicato con ab l angolo compeso te le semiette a e b, completa le seguenti uguaglianze: ab ab bc... bc O α α' s V β' β E F cd... s F t E u G

29 ESERIZI I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 ac ac bc... bd... a 102 In figua è indicato l angolo O: O d b c O s isegna le semiette opposte di e di s e individua i due semipiani la cui intesezione costituisce l angolo O. 5. La conguenza delle figue piane (teoia pag. 12) 103 Stabilisci quali ta le seguenti figue sono conguenti. 105 Le figue piane F ed F sono conguenti: indica su F i punti coispondenti di V, Z, T, W, Y. V F W Y Z F T 104 Le figue piane F ed F sono conguenti: indica su F i punti coispondenti di,,,. 106 Indica quali delle seguenti coppie di figue sono conguenti: F F a) b) c) d) 107 Una figua F è conguente a una figua F. Una figua G è conguente a una figua G. on un esempio dimosta che la figua F G non è necessaiamente conguente alla figua F G. 23

30 UNITÀ 1 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE ESERIZI ESERIZI I RIEPILOGO 108 Pe ciascuna delle situazioni indicate disegna la figua che la appesenta: a) e appatengono a, e no; b) sta fa e su una stessa etta; O a b c c) e stanno dalla stessa pate ispetto a, sta dalla pate opposta di ispetto a ; d d) pecede e segue su una stessa etta mente sta fa e sulla stessa etta. segue o pecede nell odinamento scelto? e),,, non stanno sulla stessa etta. Quante situazioni divese si possono veificae? 113 Quanti sono gli angoli deteminati da n semiette aventi la stessa oigine? Indica il numeo degli elementi di ciascuno dei seguenti insiemi (in alcuni casi è possibile più di una isposta): a) {ette contenenti }, se è un punto qualunque isegna due semiette la cui intesezione è un segmento e indica l insieme unione delle due semiette. ate due semiette ed s aventi oigine comune e pesi su due punti e tali che sta fa e e su s due punti ed E tali che E sta fa e, dimosta che i segmenti E e si intesecano in un punto. b) {ette contenenti sia sia }, se e sono due punti distinti qualunque c) {ette contenenti sia sia sia }, se,, sono te punti distinti qualunque d) {piani contenenti }, se è un punto qualunque e) {piani contenenti sia sia }, se e sono due punti distinti qualunque Essendo α un piano ed ed s due ette appatenenti a esso, se s {P} esistono alte ette appatenenti ad α e passanti pe P? L insieme di tali ette è finito o infinito? ome si chiamano l insieme e il punto P? onsideate quatto semiette a, b, c, d aventi oigine O comune, completa le seguenti uguaglianze: ab (ab ad ac (ad bc bc bc cd... cd ) bc... cd... bc... cd ) bc... f) {piani contenenti sia sia sia }, se,, sono te punti distinti qualunque g) {piani contenenti,, e }, se,, e sono quatto punti distinti qualunque h) {piani contenenti }, se è una etta qualunque i) {piani contenenti ed s}, se ed s sono due ette paallele distinte qualunque j) {piani contenenti ed s}, se ed s sono due ette incidenti qualunque k) {piani contenenti ed s}, se ed s sono due ette non paallele e non incidenti (Fonte: School Mathematics Poject) 24

31 I PRIMI ELEMENTI ELL GEOMETRI RZIONLE UNITÀ 1 SHE I UTOVLUTZIONE Test 1 Nella geometia euclidea gli enti pimitivi sono: 6 Quanti piani passano pe te punti non allineati? il punto e la etta. il punto, la etta e il piano. la etta e il piano. Uno ue Nessuno Infiniti il punto e il segmento. 7 Osseva i punti,, sulla etta oientata: 2 Un punto P su una etta oientata individua: una semietta. due segmenti. due semiette opposte. una semietta e un segmento. quale affemazione non è coetta? pecede segue segue 3 ue punti P e Q su una etta oientata individuano: pecede un segmento. due segmenti. un segmento e una semietta. un segmento e due semiette. 8 Quale affemazione non è vea? Tutte le ette sono conguenti. Tutte le figue sono conguenti. Tutti i piani sono conguenti. 4 Se a e b sono due ette complanai, quale scittua significa che non hanno punti in comune? 9 Tutti i semipiani sono conguenti. Osseva la linea della figua: a b a b a a b b a b P si tatta di: 5 Osseva la figua: P una linea apeta illimitata. una linea apeta limitata. una linea etta. una linea chiusa. quale scittua non è coetta pe indicae l angolo? O POQ Os α Q POs s s 10 In un teoema la tesi indica: i dati di patenza. il agionamento da fae. la popietà da dimostae. le popietà da utilizzae. 25