Liceo scientifico comunicazione opzione sportiva

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1 PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA 6 Liceo scientifico comunicazione opzione spotiva Il candidato isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 quesiti del questionaio Duata massima della pova: 6 oe È consentito l uso della calcolatice non pogammabile PROBLEMA La funzione f : R " R è così definita: sin^h f pe! ^ h * pe Pova che f è una funzione pai e che essa è deivabile in Dimosta inolte che la funzione f ha un massimo assoluto in Taccia, in uno stesso diagamma, i gafici indicativi delle te funzioni f^h,, -, e mosta che il gafico di f è tangente agli alti due in infiniti punti È veo che tali punti di tangenza sono anche massimi o minimi elativi della funzione f? Detta R la egione piana di aea finita deitata dal gafico di f, dall asse e dall asse, si indica con V il volume del solido geneato uotando R intono all asse Si indica inolte con R n la egione piana deitata dal gafico di f e dal tatto dell asse compeso ta n e ^n + h, qualsiasi sia n! N, e con V n il volume del ispettivo solido di otazione Dimosta che isulta: V V 4 n 4 Sia definita la funzione: F^h f ^thdt Tenuto conto del fatto che F^h " +, taccia un gafico indicativo dell andamento della funzione F, individuandone, in paticolae, le ascisse dei punti di massimo e di minimo La pimitiva della funzione f non è espimibile tamite le usuali funzioni analitiche Zanichelli Editoe, 8

2 PROBLEMA Nella figua è appesentato il gafico C della funzione continua f : 6; + 6 " R, deivabile in 6; + 6, e sono indicate le coodinate di alcuni suoi punti Figua È noto che C è tangente all asse in A, che B ed E sono un punto di massimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tangente di equazione Nel punto D la etta tangente ha equazione e pe $ 8 il gafico consiste in una semietta passante pe il punto G Si sa inolte che l aea della egione deitata dall aco ABCD, dall asse e dall asse vale, mente l aea della egione deitata dall aco DEF e dall asse vale In base alle infomazioni disponibili, appesenta indicativamente i gafici delle funzioni fl^ h, F^h f^thdt Quali sono i valoi di f l^ h e f l^5 h? Motiva la tua isposta Rappesenta, indicativamente, i gafici delle seguenti funzioni: fl^ h, f^h l,, f ^ h specificando l insieme di definizione di ciascuna di esse Detemina i valoi medi di f^h e di f^h nell intevallo [; 8], il valoe medio di fl^ h nell intevallo [; 7] e il valoe medio di F^h nell intevallo [9; ] 4 Scivi le equazioni delle ette tangenti al gafico della funzione F^h nei suoi punti di ascisse e 8, motivando le isposte QUESTIONARIO È noto che + e - d - Stabilie se il numeo eale u, tale che: u - - e d è positivo oppue negativo Deteminae inolte i valoi dei seguenti integali, motivando le isposte: u 7 A - e d, B u e - d +, C e -5 d -u Data una paabola di equazione -u - - a, con a Zanichelli Editoe, 8

3 si vogliono inscivee dei ettangoli, con un lato sull asse, nel segmento paabolico deitato dall asse Deteminae a in modo tale che il ettangolo di aea massima sia anche il ettangolo di peimeto massimo Un ecipiente sfeico con aggio inteno è iempito con un liquido fino all altezza h Utilizzando il calcolo integale, dimostae che il volume del liquido è dato da: h V $ ah - k Figua Un test è costituito da domande a isposta multipla, con 4 possibili isposte di cui solo una è esatta Pe supeae il test occoe ispondee esattamente almeno a 8 domande Qual è la pobabilità di supeae il test ispondendo a caso alle domande? Quali punti del gafico della funzione f^h hanno distanza minima dall oigine? Si stabilisca se la seguente affemazione è vea o falsa, giustificando la isposta: - «Esiste un polinomio P^h tale che P^h- cos^h #, 6! R» Una pedina è collocata nella casella in basso a sinista di una scacchiea, come in figua Ad ogni mossa, la pedina può essee spostata o nella casella alla sua desta o nella casella sopa di essa Scelto casualmente un pecoso di 4 mosse che poti la pedina nella casella d angolo opposta A, qual è la pobabilità che essa passi pe la casella indicata con B? Figua 8 Calcolae il valoe del ite: " senza adopeae la egola De l Hospital 9 Data una funzione f^h definita in R, f^h e ^+ h, individuae la pimitiva di f^h il cui gafico passa pe il punto (; e) Sia f la funzione così definita nell ; + 6: t f^h dt ln t e Scivee l equazione della etta tangente al gafico di f nel suo punto di ascissa e Zanichelli Editoe, 8

4 SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA 6 Liceo scientifico comunicazione opzione spotiva PROBLEMA La funzione sin f se! ^ h * se ha dominio R Ricodando che la funzione sin è dispai, otteniamo: f^- h quindi f^h è pai sin^-h -sin sin - - f^ h, pe!, La funzione è continua in, in quanto applicando il ite notevole toviamo: f^h sin f^h " " La funzione è inolte deivabile pe!, con: cos- sin fl^h Pe mostae che f^h è deivabile in, mostiamo alloa che esiste finito il ite fl^h e applichiamo poi il citeio di deivabilità in " Il ite cos- sin fl^h " " si pesenta nella foma indeteminata, che isolviamo icoendo al teoema di De L Hospital dopo ave veificato che le funzioni al numeatoe e denominatoe veificano le ipotesi del teoema: cos - sin cos - sin - cos - sin " " " Pe il citeio di deivabilità, poiché la funzione è continua in ed è deivabile in un suo intono con fl^h, otteniamo che la funzione è deivabile anche in con f l^h " Possiamo alloa scivee: cos- sin se! fl^h * se Pe quanto iguada il massimo assoluto di f^h notiamo che: pe è f^h ; pe è sin, quindi f^h ; pe # è sin, quindi f^h Pe veificae la elazione sin, consideiamo la funzione - sin Risulta l -cos $ pe #, quindi la funzione è cescente con ( ) - sin, quindi - sin pe # ; 4 Zanichelli Editoe, 8

5 poiché f ^ h è pai, isulta f^h anche pe - # In conclusione, f^h pe! e, in cui la funzione vale, è un punto di massimo assoluto sin La funzione si può scivee nella foma f ^ h $ sin quando! Il temine sin oscilla fa - e +, quindi il gafico di f^h è compeso fa i gafici di e di - In paticolae il gafico di f^h tocca il gafico di: quando sin " + k, con k! Z; - quando sin - " - + k, con k! Z Mostiamo che in questi infiniti punti i gafici isultano tangenti, veificando che in tali punti le coispondenti funzioni hanno la stessa deivata Nei punti del tipo a + k è: cos sin f l^ $ a h a a- a a - - ; a a a " l - " l^ah - ; a quindi le deivate assumono lo stesso valoe Analogamente, nei punti del tipo b - + k è: bcosb- sin b b $ -^-h f l( b) + ; b b b - " l + " l^bh + ; b quindi le deivate assumono lo stesso valoe Il gafico di f^h isulta petanto tangente ai gafici di e di - nei punti in cui li tocca Poiché in tali punti la deivata pima è f l^ah! o f l^b h!, non si tatta di punti di massimo o minimo elativo Tacciamo i gafici appossimativi di f^h e!, ossevando, olte a quanto detto finoa, che f^h si annulla in tutti i punti del tipo k, con k inteo non nullo f() sin O Figua 4 5 Zanichelli Editoe, 8

6 Rappesentiamo in figua le egioni R, R, R, O R R R Figua 5 Calcoliamo i volumi dei solidi di otazione mediante il metodo dei gusci cilindici In geneale, il volume del solido geneato dalla otazione attono all asse del tapezoide deitato dal gafico di una funzione positiva f^h e dall asse nell intevallo 6 ab con a $, è dato da: b V f^hd a Nel nosto caso toviamo: ; sin V d sind [ - cos ] ^+ h 4 ^n + h sin V ^n + h ^ n d sind cos n n + h 6 n n 6 - cos^n+ h+ cos n@, dove abbiamo consideato il valoe assoluto pe avee il volume sempe positivo, anche quando f^h è negativa Valutiamo la quantità dento alla paentesi quada: se n è pai, cos ^ n + h - e cos n, quindi - cos ^n+ h+ cos n -- ^ h + ; se n è dispai, cos ^ n + h e cos n -, quindi - cos^n + h + cos n - + ^ - h - In entambi i casi toviamo: V 6 - cos^n+ h+ cos n@ 4, n $ quindi V V 4 pe ogni n natuale n 4 Il valoe assunto dalla funzione integale F^h f^thdt, al vaiae di $, appesenta l aea sottesa al gafico di f^h nell intevallo Osseviamo che: F^h ; F^h " +, quindi è asintoto oizzontale desto pe F^h; f ^ h è positiva o nulla in 6 quindi F^h è cescente in 6 e F ^ h appesenta l aea sottesa a f^h in 6 Zanichelli Editoe, 8

7 f ^ h è negativa o nulla in 6 quindi F^h è decescente in 6 e F^ h appesenta l aea sottesa a f^h in 6 ovveo appesenta l aea della egione R meno quella della egione R Ragionando in modo simile, deduciamo che F^h, pe $ e quindi al vaiae di n natuale: è cescente negli intevalli del tipo 6n ; ^n+ h@; è decescente negli intevalli del tipo 6 ^n+ h ; ^n+ h@; ammette punti di massimo elativo in ^n+ h ; ammette punti di minimo elativo in ^n+ h ; poiché le aee delle egioni R, R,, R n, sono sempe minoi, anche le oscillazioni di F^h sono sempe minoi Poiché f^h è pai, F^h è dispai quindi F "- ^ h - e - è asintoto oizzontale sinisto Possiamo disegnae il gafico qualitativo di F^h, tenuto conto di queste ossevazioni f() F() O Figua 6 PROBLEMA Vedi lo svolgimento del poblema della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 7 Zanichelli Editoe, 8

8 QUESTIONARIO 4 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Vedi lo svolgimento del quesito 4 della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 5 Rappesentiamo innanzi tutto il gafico qualitativo della funzione f^h ; lo possiamo otte- nee tamite tasfomazioni geometiche passando dalla funzione paabola al ecipoco, e poi tamite dilatazione veticale $ La funzione f^h è pai, quindi possiamo analizzae il poblema pe ed estendee il isultato pe simmetia ispetto all asse O Dal gafico di f^h e del fascio di ciconfeenze + k deduciamo che esiste un solo pun- Figua 7 to Pa; k con che ha distanza minima dall oigine, ed è quello in cui f^h isulta tangente alla ciconfeenza di cento O e aggio OP Questo compota che la etta t tangente in P al gafico di f^h isulta pependicolae al aggio OP La etta tangente t ha coefficiente angolae: P ( ; ) - 4 mt fl^h - ; O il aggio OP individua una etta di coefficiente angolae: m OP P f^h P Pe la condizione di pependicolaità, deve essee: Figua 8 t mt$ mop - " - $ - " 8 " 8 -, 4 8 Zanichelli Editoe, 8

9 Petanto, i punti del gafico di f^h che hanno distanza minima dall oigine sono P^ ; h e, pe simmetia, P ^- ; h In altenativa, pe deteminae P possiamo cecae il minimo della funzione che fonisce la distanza di P dall oigine: d OP ^ h + a k Questa funzione assume valoe minimo quando il adicando assume valoe minimo, quindi possiamo cecae il minimo della funzione: Calcoliamo la deivata pima: l D: + 4 D D[ + 4 ] Studiamo il segno della deivata pima: l " - 5 " 6 " 8 " 8 " Quindi la funzione distanza è decescente pe, cescente pe e ha punto di minimo elativo e assoluto in, ottenendo i isultati pecedenti Vedi lo svolgimento del quesito 6 della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Vedi lo svolgimento del quesito 7 della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Il ite " si pesenta nella foma indeteminata Pe isolvelo senza icoee a De L Hospital, azionalizziamo il numeatoe e scomponiamo il denominatoe: ^5 + 6h $ - 8+ ^-6h^-h ^-6h^- h^ h ^ - h -5 ^-6h^- h^ h ^-6h^- h^ h ^- h^ h Il ite ichiesto è alloa uguale a: " - 8+ " 6 ^- h^ h 4$ ^6+ 6h Vedi lo svolgimento del quesito 8 della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico e pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate, sessione odinaia 6 9 Zanichelli Editoe, 8