Liceo scientifico e opzione scienze applicate

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Raffaello Maggi
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1 POA D ESAME SESSIONE ODINAIA 7 Liceo scientifico e opzione scienze applicate Una tota di foma cilindica è collocata sotto una di plastica di foma semisfeica Dimostae ce la tota occupa meno dei 5 del volume della semisfea Zanicelli Editoe, 8

2 SOLUZIONE SESSIONE ODINAIA 7 Liceo scientifico e opzione scienze applicate Consideiamo il caso in cui la base supeioe del cilindo etto coispondente alla tota è tangente alla supeficie intena della semisfeica Fissata l altezza, questa tota è la più gande possibile Indiciamo i volumi della e della tota con e tota Dobbiamo veificae ce 5 tota tota Questo equivale a mostae ce 5 Ceciamo il massimo del appoto ta i volumi della tota e della, mostando ce tale massimo è sempe minoe di 5 La figua mosta una sezione veticale di tota e, con il piano di sezione pependicolae alla base della e passante pe il suo cento Indiciamo con il aggio della semisfeica e con il aggio di base della tota Consideiamo un angolo j come indicato in figua θ Figua Il metodo più efficiente pe isolvee il quesito è consideae come incognita l altezza della tota Mostiamo la isoluzione ance nel caso in cui si scelgano come incognite il aggio della tota oppue l angolo j METODO : l incognita è l altezza Il volume della è: 4 $ Sciviamo il volume della tota in funzione di, e sono i lati di un tiangolo ettangolo, quindi pe il teoema di Pitagoa si a, con # # Calcoliamo il volume della tota: tota ^ $ ^ $ Il appoto ta i volumi è: ^ $ ^ f ^ $ $ Studiamo massimi e minimi di f ^ Calcoliamo la deivata pima: fl^ $ ^ Studiamo il segno di fl^ con # # : $ ^ $ " $ " # " # " $ # # $ " # # $ Zanicelli Editoe, 8

3 Figua 4 Petanto, pe il appoto dei volumi è massimo e vale: fa k, ` j ` j $ $ METODO : l incognita è il aggio In altenativa, è possibile isolvee il quesito consideando come incognita la vaiabile, ovveo il aggio di base della tota Il volume della non dipende da : Pe il teoema di Pitagoa si a, con # # Calcoliamo il volume della tota in funzione di : tota $ Il appoto ta i volumi è: $ g ^ $ Studiamo massimi e minimi di g ^, con # # : gl^ $ ; $ ^ E $ c $ m ^ ^ $ $ Il segno della deivata coincide con quello del numeatoe, poicé il denominatoe è sempe positivo icodando ce # #, abbiamo: ^ $ " $ " # " # # " # # Figua 5 Zanicelli Editoe, 8

4 Petanto, pe il appoto dei volumi è massimo e vale: ga k a k a k, $ $ METODO : l incognita è l angolo j Il volume della semisfea è e il volume della tota è tota $ Come mostato nella figua iniziale,, e j sono gli elementi del tiangolo ettangolo, quindi: cos j e sin j Dunque: tota $ ^cosj $ sin j cos jsin j Petanto la funzione ce espime il appoto ta i volumi è: m^ j j j j j Stu Poicé la figua è simmetica, possiamo limitae lo studio della funzione all intevallo diamo dunque massimi e minimi della funzione m^ j, con # j # Calcoliamo la deivata pima: # j # ml^ sin cos cos cos j 6 j^ j $ j j$ j@ j^ sin j cos j Poicé sin j cos j otteniamo: ml^ j cosj^ sin j sin j cos j^ sin j Studiamo il segno della deivata pima in # j # Poicé nel pimo quadante si a sinj $ e cosj $ : cosj^ sin j $ " sin j $ " sin j # " # sin j # " # j # acsin acsin π Figua 6 4 Zanicelli Editoe, 8

5 Dallo scema dei segni deduciamo ce pe j acsin volumi è massimo Poicé: m^ j j j ^ sin j sin j, il valoe massimo del appoto dei volumi è: maacsin k ` j, 577 5, ovveo pe sin j, il appoto ta i 5 Zanicelli Editoe, 8

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