Disequazioni Intervalli sulla retta reale

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1 Disequazioni Intevalli sulla etta eale Definizione 181 Dati due numei eali a e b, con a < b, si chiamano intevalli i seguenti sottoinsiemi di R: a ) (a, b) = x R a < x < b} intevallo limitato apeto (a e b sono esclusi) a ; b ) [a, b] = x R a x b} intevallo limitato chiuso (a e b sono inclusi); c ) [a, b) = x R a x < b} intevallo limitato chiuso a sinista e apeto a desta (a è incluso e b è escluso); d ) (a, b] = x R a < x b} intevallo limitato apeto a sinista e chiuso a desta (a è escluso e b è incluso); e ) (a, ) = x R x > a} intevallo supeiomente illimitato apeto (a è escluso); f ) [a, ) = x R x a} intevallo supeiomente illimitato chiuso a sinista (a è incluso); g ) (, b) = x R x < b} intevallo infeiomente illimitato apeto (b è escluso); h ) (, b] = x R x b} intevallo infeiomente illimitato chiuso a desta (b è escluso) I numei a e b si chiamano estemi (ispettivamente infeioe e supeioe) dell intevallo a gli intevalli apeti possono anche essee indicati con la paentesi quada opposta Ad esempio l intevallo (a, b) può essee anche scitto ]a, b[, come [a, b) può essee scitto [a, b[ I numei eali R possono essee messi in coispondenza biunivoca con i punti di una etta: ogni numeo eale ha pe immagine un punto della etta e vicevesa ogni punto della etta è immagine di un numeo eale Di conseguenza ognuno degli intevalli sopa definiti ha pe immagine una semietta o un segmento, pecisamente gli intevalli limitati coispondono a segmenti e quelli illimitati a semiette Vediamo con degli esempi come si appesentano i divesi tipi di intevalli sulla etta immagine dei valoi eali Esempio 181 H = x R x < 3} intevallo illimitato infeiomente: H = (, 3) L insieme H è appesentato da tutti i punti della semietta che pecedono il punto immagine del numeo 3, esclusa l oigine della semietta (3) Nella figua, la semietta dei punti che appatengono ad H è stata disegnata con una linea più spessa e di coloe diffeente Pe mettee in evidenza che il punto immagine di 3 non appatiene alla semietta abbiamo messo un pallino vuoto sul punto 3 Esempio 18 P = x R x 5} intevallo illimitato supeiomente chiuso a sinista: P = [5, ) 453

2 454 Capitolo 18 Disequazioni Segniamo sulla etta il punto immagine di 5; l insieme P è appesentato dalla semietta di tutti i punti che seguono 5, compeso lo stesso 5 Nel disegno, la semietta dei punti che appatengono a P è stata disegnata con una linea più spessa e di coloe diffeente Pe indicae che il punto 5 appatiene all intevallo abbiamo messo un pallino pieno sul punto 5 Esempio 183 D = x R < x < 6} intevallo limitato apeto: D = (, 6) Segniamo sulla etta eale i punti immagine degli estemi del segmento, e 6 L insieme D è appesentato dal segmento che ha pe estemi questi due punti Nel disegno il segmento è stato disegnato con una linea più spessa e di coloe diffeente I due estemi del segmento sono esclusi, petanto su ciascuno di essi abbiamo messo un pallino vuoto 6 Esempio 184 T = x R < x 6} intevallo limitato chiuso a desta: T = (, 6] Rispetto al caso pecedente, il segmento che appesenta l insieme T è chiuso a desta, ossia è incluso nell intevallo anche il suo estemo supeioe (6), mente è escluso il suo estemo infeioe () 6 Esempio 185 S = x R x 6} intevallo chiuso e limitato: S = [, 6] Il segmento che appesenta l insieme S contiene tutti e due i suoi estemi 6 Esempio 186 Alti paticolai sottoinsiemi dei numei eali sono: R = x R x > 0} Semietta di oigine 0 costituita da tutti i numei eali positivi: 0 R = x R x < 0} Semietta di oigine 0 costituita da tutti i numei eali negativi: 0 Il punto 0 non appatiene a nessuna delle due semiette poiché il numeo 0 non appatiene né a R né a R : R = R R 0} R 0 = x R x 0}; R 0 = x R x 0} Esecizi poposti: 181, 18, 183, 184, 185, 186, 187

3 Sezione 18 Disequazioni numeiche Disequazioni numeiche Consideiamo le seguenti poposizioni: a ) 5 è minoe di 1; b ) è maggioe di 30; c ) il quadato di un numeo eale è maggioe o uguale a zeo; d ) sommando ad un numeo la sua metà si ottiene un numeo minoe o uguale a 1 Esse possono essee tadotte in linguaggio matematico usando i simboli > (maggioe), < (minoe), (maggioe o uguale), (minoe o uguale) e pecisamente: a ) 5 < 1; b ) > 30; c ) x 0; d ) x 1 x 1 Le fomule che contengono vaiabili si dicono apete; quelle che contengono solo numei si dicono chiuse Quindi a) e b) sono fomule chiuse; c) e d) sono fomule apete Definizione 18 Chiamiamo disuguaglianza una fomula chiusa costuita con uno dei pedicati < (essee minoe), > (essee maggioe), (essee minoe o uguale), (essee maggioe o uguale) Di essa sappiamo subito stabilie il valoe di veità, quando è stabilito l ambiente in cui vengono enunciate Definizione 183 Chiamiamo disequazione una fomula apeta, definita in R e costuita con uno dei seguenti pedicati: < (essee minoe), > (essee maggioe), (essee minoe o uguale), (essee maggioe o uguale) Analogamente a quanto detto pe le equazioni, chiamiamo incognite le vaiabili che compaiono nella disequazione, pimo membo e secondo membo le due espessioni che compaiono a sinista e a desta del segno di disuguaglianza Esempio 187 Disuguaglianze vee e false a ) in N, la fomula 5 > 0 è una disuguaglianza vea; b ) in Z, la fomula 6 > 4 è una disuguaglianza falsa; c ) la fomula 5x > 0 è una disequazione; quando all incognita sostituiamo un numeo essa si tasfoma in una disuguaglianza e solo alloa possiamo stabiline il valoe di veità Nel caso poposto è vea se sostituiamo alla vaiabile un qualunque numeo positivo, falsa se sostituiamo zeo o un numeo negativo Esecizio poposto: 188 Definizione 184 L insieme dei valoi che sostituiti all incognita tasfomano la disequazione in una disuguaglianza vea, è l insieme soluzione (I S) della disequazione

4 456 Capitolo 18 Disequazioni 181 Riceca dell insieme soluzione di una disequazione Alcune volte l I S si può tovae agionando sulla foma della disequazione Esempio 188 Analizziamo le seguenti disequazioni in R: 3 x 0 Si cecano quei valoi da attibuie all incognita che moltiplicati pe 3 diano un podotto positivo o nullo Pe le egole dei segni e pe la legge di annullamento del podotto, il numeo x deve essee maggioe o uguale a 0: I S = x R x 0} = R 0} = R 0 ; x 1 < 0 Si cecano i valoi che endono la somma del loo quadato con 1 un numeo negativo Poiché il quadato di un numeo è sempe positivo, al più nullo se il numeo è zeo, aggiungendo ad esso 1, non toveemo mai un isultato negativo: I S = ; x 0 Il pimo membo è l opposto del quadato di un numeo; poiché il quadato è sempe positivo o nullo, la disequazione è veificata pe qualunque numeo eale: I S = R; 1 < 0 Il pimo membo è l inveso di un numeo eale; tale opeazione ha significato x pe qualunque numeo tanne che pe 0, 1 0 infatti è piva di significato La fazione 1 x è negativa pe qualunque valoe negativo attibuito all incognita x: I S = x R x < 0} = R In questo paagafo affonteemo disequazioni in una sola incognita, che, dopo ave svolto eventuali calcoli nei due membi, avanno l incognita al pimo gado e i cui coefficienti sono numei eali La foma più semplice o foma canonica di una disequazione di pimo gado in una sola incognita a coefficienti eali è una delle seguenti ax > b; ax < b; ax b; ax b (con a e b numei eali) Pe idue una disequazione alla foma canonica e quindi pe deteminae il suo I S si pocede applicando dei pincipi analoghi a quelli delle equazioni Pemettiamo la seguente definizione: Definizione 185 Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni Pincipio 181 (I Pincipio) Addizionando o sottaendo a ciascuno dei due membi di una disequazione uno stesso numeo o una stessa espessione (definita pe qualunque valoe attibuito all incognita), si ottiene una disequazione equivalente alla data Regola patica: questo pincipio ci pemette di spostae un addendo da un membo all alto cambiandogli segno o di eliminae da entambi i membi gli addendi uguali Pincipio 18 (II Pincipio) Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membi di una disequazione pe uno stesso numeo positivo o pe una stessa espessione (definita e positiva pe qualunque valoe attibuito alla vaiabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data

5 Sezione 18 Disequazioni numeiche 457 Pincipio 183 (III Pincipio) Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membi di una disequazione pe uno stesso numeo negativo o pe una stessa espessione (definita e negativa pe qualunque valoe attibuito alla vaiabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il veso cambiato Esempio (x 1) 5 > 1 (3x 6) a ) Eseguiamo i podotti: 8x 4 5 > 1 6x 1; b ) spostiamo tutti temini con l incognita nel pimo membo e i temini noti nel secondo membo, cambiamo i segni quando passiamo da un membo all alto: 8x 6x > ; c ) sommando i temini simili si ottiene la foma canonica x > 1; d ) applichiamo il secondo pincipio dividendo ambo i membi pe il coefficiente della x È fondamentale a questo punto ossevae che il coefficiente è, che è un numeo positivo, petanto non cambia il veso della disequazione x > 1 x > 6 Se vicevesa il coefficiente dell incognita fosse stato un numeo negativo si saebbe dovuto cambiae il veso della disequazione; e ) sciviamo l insieme delle soluzioni I S = x R x > 6} = (6, ) e appesentiamo gaficamente l intevallo: 6 Esempio 1810 (x 1) 4 3x > (x 1) 4 Il mcm è 4 numeo positivo, moltiplicando pe 4 si ha la disequazione equivalente [ (x 1) 4 3x ] > 4 4 (x 1) 4 Semplificando: (x 1) ( 3x) > (x 1) Eseguiamo i podotti: x x 1 4 6x > x x 1 Eliminiamo dai due membi i temini uguali x e 1, quindi taspotiamo a sinista i monomi con l incognita e a desta i temini noti; infine sommiamo i monomi simili: x x 1 4 6x > x x 1 x x 6x > 4 x > 4 Il coefficiente dell incognita è negativo, applicando il tezo pincipio dividiamo ambo i membi pe e cambiamo il veso della disuguaglianza: x < 4 x <

6 458 Capitolo 18 Disequazioni Quindi I S = x R x < } = (, ) Alla stessa conclusione potevamo aivae in alto modo Giunti alla foma x > 4 taspotiamo a desta del segno di disuguaglianza il monomio con l incognita e a sinista il temine noto; ovviamente pe il pimo pincipio questi temini spostandosi cambiano segno e otteniamo 4 > x Il coefficiente dell incognita è positivo dunque applichiamo il secondo pincipio dividendo pe, abbiamo 4 > x > x, che letta da desta veso sinista dice che i valoi da attibuie ad x pe soddisfae la disequazione assegnata sono tutti i numei eali minoi di Vediamo qualche esempio in cui scompae l incognita Esempio (x 5) x > 1 (3 x) Il mcm è, positivo; moltiplichiamo ambo i membi pe e svolgiamo i calcoli: [ ] [ ] 1 1 (x 5) x > (3 x) x 5 x > 3 x x 5 > 3 x La foma canonica è 0 x > che si iduce alla disuguaglianza 0 > vea pe qualunque x eale: I S = R Esempio 181 (x ) 4(x 1) < x 1 Svolgiamo i calcoli ed eliminiamo i monomi simili: x 4x 4 4x 4 < x 1 0 x < 1 che è la disuguaglianza 0 < 1 falsa pe qualunque x eale: I S = Esecizi poposti: 189, 1810, 1811, 181, 1813, 1814, 1815, 1816, Poblemi con le disequazioni Poblema 1813 (Taiffe telefoniche) Sto analizzando due poposte di compagnie telefoniche pe poi stipulae il contatto più conveniente pe le mie esigenze La compagnia T 1 pevede una spesa fissa di 5 centesimi di scatto alla isposta da sommae alla spesa di 1 centesimo pe ogni minuto di telefonata La compagnia T non pevede spesa pe lo scatto alla isposta, ma pe ogni minuto di telefonata la spesa è di centesimi Dopo quanti minuti di telefonata la seconda taiffa è più conveniente della pima? Soluzione Indichiamo con x la duata in minuti di una telefonata e con s 1 e s ispettivamente la spesa con la pima e la seconda compagnia: s 1 = (5 1 x) centesimi; s = ( x) centesimi La s saà più conveniente di s 1 se s < s 1 x < 5 x Il poblema è fomalizzato con una disequazione nell incognita x, di pimo gado Dobbiamo tovae l I S Risolvendo la disequazione si ottiene: x x < 5 x < 5min

7 Sezione 183 Sistemi di disequazioni 459 Conclusione: se le mie telefonate duano meno di 5 minuti alloa mi conviene il contatto con T, altimenti se faccio telefonate più lunghe di 5 minuti mi conviene T 1 Le due taiffe sono uguali se la telefonata dua esattamente 5 minuti Poblema 1814 (L abbonamento) Su un tagitto feoviaio, il biglietto costa e 8, 5 L abbonamento mensile costa e 67, 30 Qual è il numeo di viaggi che occoe effettuae in un mese peché l abbonamento isulti più conveniente? Soluzione Indichiamo con x il numeo di viaggi Il costo del biglietto di x viaggi è 8, 5 x 67, 30 L abbonamento è più conveniente quando 8, 5 x > 67, 30 da cui x > e quindi x > 8, 16 8, 5 In conclusione se in un mese si fanno fino a 8 viaggi conviene acquistae i biglietti singoli, da 9 viaggi in poi conviene l abbonamento Esecizi poposti: 1818, 1819, 180, 181, 18, 183, 184, 185, 186, 187, , 1830, 1831, 183, 1833, Sistemi di disequazioni In alcune situazioni occoe isolvee contempoaneamente più disequazioni Vediamo alcuni poblemi Poblema 1815 Il doppio di un numeo eale positivo diminuito di 1 non supea la sua metà aumentata di Qual è il numeo? Soluzione L incognita del poblema è il numeo eale che indichiamo con x Di esso sappiamo che deve essee positivo, quindi x > 0 e che deve veificae la condizione x 1 1 x Le due disequazioni devono veificasi contempoaneamente Il poblema può essee fomalizzato con un sistema di disequazioni: x > 0 x 1 1 x Risolvee un sistema di disequazioni significa tovae l insieme dei numei eali che sono soluzioni comuni alle disequazioni che lo compongono, cioè che le veificano tutte Se indichiamo con I S 1 e I S ispettivamente gli insiemi soluzione della pima e della seconda disequazione, l insieme soluzione del sistema è dato dall intesezione I S = I S 1 I S

8 460 Capitolo 18 Disequazioni Risolviamo sepaatamente le due disequazioni e deteminiamo gli insiemi delle soluzioni d 1 : x > 0 I S 1 = x R x > 0} = (0, ), d : 4x x 4 3x 6 I S = x R x } = (, ] Dobbiamo oa deteminae I S = I S 1 I S Questa iceca può essee facilitata appesentando gaficamente i due intevalli in uno stesso schema Disegniamo l asse dei numei eali e su esso indichiamo i numei che entano in gioco, lo 0 e il Disegniamo una pima linea dove appesentiamo con un tatto più spesso I S 1, disegniamo una seconda linea dove appesentiamo con un tatto più spesso I S Su una teza linea appesentiamo l insieme degli elementi comuni a I S 1 e I S, che è appunto l insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni 0 Non ci imane che descivee l intevallo delle soluzioni in foma insiemistica: I S I S = x R 0 < x } = (0, ] Poblema 1816 In un tiangolo il lato maggioe misua 13m e gli alti due lati diffeiscono ta di loo di m Come si deve scegliee il lato minoe affinché il peimeto non supei i 100m? Dati: AB = 13m, BC AC = m Rifeendoci alla figua, AC è il lato minoe; indichiamo con x la sua misua C A B Obiettivo: deteminae x in modo che p 100 Soluzione AC = x; BC = x; AB = 13 con x > 0 L obiettivo, in linguaggio matematico, si scive: x ( x) Pe la disuguaglianza tiangolae si deve avee x ( x) > 13, altimenti i te lati non iescono a fomae un tiangolo Inolte AC < AB e BC < AB, altimenti AB non è più il lato maggioe

9 Sezione 183 Sistemi di disequazioni 461 Il poblema è quindi fomalizzato dal sistema: x > 0 x (x ) x (x ) > 13 x < 13 x < 13 Risolvendo ciascuna disequazione si ottiene: x > 0 x 85 x > 11 x < 13 x < 11 Deteminiamo l insieme soluzione aiutandoci con una appesentazione gafica (tenendo conto del fatto che 85/ = 4, 5 e 11/ = 5, 5) I S Affinché il peimeto non supei 100m (e la figua sia sempe un tiangolo con il lato maggioe di 13m) la misua in meti del lato minoe deve essee un numeo dell insieme: I S = x R 11 } ( ) 11 < x < 11 =, 11 Esempio 1817 Risolvee il seguente sistema di disequazioni x > x x (x 1) > x 15 x 3 9

10 46 Capitolo 18 Disequazioni Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: D 1 : 8x > x x 10x > 7 x > 7 10 I S 1 = x R x > 7 }, 10 D : 9x 9 > 15x 75 10x 4x > 84 x > 1 I S = x R x > 1} Rappesentiamo gaficamente le soluzioni e deteminiamo I S = I S 1 I S : I S = x R x > 7 } 10 Esempio 1818 Risolvee il seguente sistema di disequazioni (x 1) () x > 3 (x 3) (x 3) 4 (x 1) 16 Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: < I S D 1 : x 4x > 6x 9 0x > 11 I S 1 = R, D : 4x 36 4x 4x 1 4x 35 < 0 0x < 0 x > 0 I S = x R x > 0} Deteminiamo I S = I S 1 I S 0 I S = x R x > 0} I S Esempio 1819 Risolvee il seguente sistema di disequazioni (x ) (x 3) x (x 1) (x 1) (x 1) 3 x (x 3) ( 1 ) x 1

11 Sezione 184 Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo 463 Risolviamo sepaatamente le disequazioni: D 1 : x x 3x 6 > x x 1 0x 5 I S 1 = Poiché la pima equazione non ha soluzioni, non avà soluzioni nemmeno il sistema È supefluo quindi isolvee la seconda disequazione La isolviamo pe esecizio D : x 3 3x 3x 1 x 3 3x x 4x 3 x 3 4 I S = x R x 3 } 4 I S = I S 1 I S = I S = Esempio 180 Risolvee il seguente sistema di disequazioni ( 1 3 x 1 ) 1 ( x 1 ) x 1 x x 4 Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: D 1 : 1 3 x 1 x 1 6 x 3x 1 x 1 I S 1 = x R x 1}, D : 1x 1 8x 4 3 6x 10x 13 x I S = Rappesentiamo le soluzioni e deteminiamo I S = I S 1 I S x R x } Il gafico mette in evidenza che i due insiemi soluzione non hanno elementi in comune, petanto I S = 1835, 1836, 1837, 1838, 1839, 1840, 1841, 184, 1843, Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo Poblema 181 Deteminae i valoi di x che endono il polinomio P = (3x 7)( x) positivo Il poblema chiede di deteminae l insieme delle soluzioni della disequazione di secondo gado (3x 7)( x) > 0 La disequazione si pesenta nella foma di podotto di due fattoi di pimo gado e popio la sua foma di podotto ci faciliteà la isposta al quesito

12 464 Capitolo 18 Disequazioni Sappiamo che nell insieme dei numei elativi il segno del podotto di due fattoi segue la egola dei segni visualizzata dalla tabella a lato: il segno di un podotto è positivo se i due fattoi sono concodi Questo fatto si taduce nei due metodi isolutivi del poblema poposto Soluzione Metodo I: impostiamo due sistemi di disequazioni, fomalizzando l ossevazione pecedente: 3x 7 > 0 x > 0 3x 7 < 0 x < 0 Risolvendo i due sistemi e unendo le loo soluzioni otteniamo l insieme delle soluzioni della disequazione oiginaia: I S = I S 1 I S I S : I S 1 : 3x 7 < 0 x < 0 3x 7 > 0 x > 0 x < 7 3 x > x > 7 3 x < I S = I S 1 =, x R < x < 7 } 3 Quindi I S = I S 1 I S = x R < x < 7 } ( =, 7 ) 3 3 Metodo II: Toniamo alla disequazione iniziale (3x 7)( x) > 0 e applichiamo un alto metodo Osseviamo che quando isolviamo la disequazione 3x 7 > 0 deteminiamo l insieme dei valoi che attibuiti alla vaiabile endono il polinomio P 1 = 3x 7 positivo, pecisamente sono i valoi x > 3 7 Rappesentiamo l I S con una semietta in gassetto come in figua: 7 3 In ealtà, nel gafico sono contenute tutte le infomazioni sul segno del polinomio: la semietta in gassetto appesenta i valoi che endono il polinomio P 1 positivo; il valoe x = 7 3 è quello che annulla il polinomio P 1; la semietta non in gassetto appesenta i valoi che endono il polinomio P 1 negativo 7 3 Esecizi poposti: 1845, 1846

13 Sezione 184 Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo 465 Esempio 18 (3x 7) ( x) > 0 La disequazione equivale a deteminae i valoi che, attibuiti alla vaiabile x, endono positivo il polinomio P = (3x 7) ( x) Studiamo sepaatamente il segno dei due fattoi: F 1 : 3x 7 > 0 x > 7 3, F : x > 0 x < Pe isolvee la disequazione iniziale ci è di paticolae aiuto un gafico che sintetizzi la situazione segno di F 1 : segno di F : segno di P: 7 3 Applicando poi la egola dei segni otteniamo il segno del polinomio P = (3x 7) ( x) Ricodiamo che la disequazione che stiamo isolvendo (3x 7) ( x) > 0 è veificata quando il polinomio P = (3x 7) ( x) è positivo, cioè nell intevallo in cui abbiamo ottenuto il segno Possiamo concludee I S = x R < x < 7 3} = (, 7 3 ) Esempio 183 (x 3) (x 9) (4 5x) > 0 Deteminiamo il segno di ciascuno dei suoi te fattoi: F 1 : x 3 > 0 x > 3; F : x 9 > 0 x > 9 ; F 3 : 4 5x > 0 x < 4 5 Costuiamo la tabella dei segni: segno di F 1 : segno di F : segno di F 3 : segno di P: La disequazione è veificata negli intevalli dove è pesente il segno I S = x R x < < x < 9 } Esempio 184 4x 3 4x 1 x La disequazione è di tezo gado Taspotiamo al pimo membo tutti i monomi: 4x 3 4x 1 x 0 Possiamo isolvela se iusciamo a scompoe in fattoi di pimo gado il polinomio al pimo membo: 4x 3 4x 1 x = 4x (x 1) (x 1) = (x 1)(4x 1) (x 1)(x 1)(x 1) 0

14 466 Capitolo 18 Disequazioni Studiamo oa il segno di ciascun fattoe, tenendo conto che sono ichiesti anche i valoi che annullano ogni singolo fattoe (legge di annullamento del podotto): F 1 : x 1 0 x 1; F : x 1 0 x 1 ; F 3 : x 1 0 x 1 Possiamo oa costuie la tabella dei segni Ricodiamo che la disequazione P di patenza 4x 3 4x 1 x è veificata dove compae il segno : segno di F 1 : segno di F : segno di F 3 : segno di P: I S = x R x 1 oppue 1 x 1 } Pocedua 184 Deteminae l I S Di una disequazione polinomiale di gado supeioe al pimo: a ) scivee la disequazione nella foma P 0, P 0, P < 0, P > 0; b ) scompoe in fattoi iiducibili il polinomio P; c ) deteminae il segno di ciascun fattoe, ponendolo sempe maggioe di zeo, o maggioe uguale a zeo a seconda della ichiesta del poblema; d ) costuie la tabella dei segni, segnando con un punto ingossato gli zei del polinomio; e ) deteminae gli intevalli in cui il polinomio assume il segno ichiesto Esecizi poposti: 1847, 1848, 1849, 1850, 1851, 185, 1853, 1854, 1855, Disequazioni fazionaie Un espessione contenente opeazioni ta fazioni algebiche ha come isultato una fazione algebica Con la condizione di esistenza che il denominatoe della fazione sia diveso da zeo, la iceca del segno di una fazione algebica viene effettuata con la stessa pocedua seguita pe il podotto di due o più fattoi Esempio 185 P = 3x 7 0 x Poniamo innanzi tutto la C E : x 0 cioè x e pocediamo studiando il segno del numeatoe N e del denominatoe D Teemo conto della C E ponendo il denominatoe D semplicemente maggioe di zeo e non maggioe uguale N 0 3x 7 0 x 7 3, D > 0 x > 0 x <

15 Sezione 185 Disequazioni fazionaie 467 segno di N: segno di D: segno di P: 7 3 Analogamente a quanto fatto pe il podotto, dalla tabella dei segni otteniamo I S = x R < x 7 } ( =, 7 ] 3 3 in cui vediamo già compesa la C E che inizialmente avevamo posto Pocedua 185 Pocedua pe deteminae I S di una disequazione fazionaia: a ) applicae il pimo pincipio e taspotae tutti i temini al pimo membo; b ) eseguie i calcoli dell espessione al pimo membo pe aivae a una disequazione nella foma: N(x) N(x) N(x) N(x) > 0 oppue 0 oppue < 0 oppue 0; D(x) D(x) D(x) D(x) c ) studiae il segno del numeatoe e del denominatoe, ponendo N(x) > 0 (oppue N(x) 0 a secondo della ichiesta) e D(x) > 0; d ) costuie la tabella dei segni, segnando con un punto in gassetto gli zei del numeatoe; e ) deteminae gli intevalli in cui il polinomio assume il segno ichiesto Esempio 186 x 1 x x 1 4x > 4x (x 1) 1 8x 3 8x x Taspotiamo tutti i temini al pimo membo x 1 x x 1 4x 4x (x 1) 1 8x 3 8x x > 0 Scomponiamo in fattoi i denominatoi, deteminiamo il minimo comune multiplo e sommiamo le fazioni pe aivae alla foma N(x) D(x) > 0: x 1 (x 1) x 1 (x 1) 4x (x 1) 1 (x 1)(x 1)(x 1) > 0 (x 1)(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(x 1) 4x (x 1) 1 > 0 (x 1)(x 1)(x 1) 4x 1 > 0 (181) (x 1)(x 1)(x 1) Studiamo sepaatamente il segno di tutti i fattoi che compaiono nella fazione F, sia quelli al numeatoe N sia quelli al denominatoe D e costuiamo la tabella dei segni: N > 0 4x 1 > 0 x > 1 4, d 1 : x 1 > 0 x > 1 D > 0 d : x 1 > 0 x > 1 d 3 : x 1 > 0 x > 1

16 468 Capitolo 18 Disequazioni segno di N: segno di d 1 : D : segno di d : segno di d 3 : segno di F (181): Non abbiamo posto le C E in quanto già ispettate dalle disequazioni del denominatoe Pendiamo gli intevalli in cui il segno della fazione F è positivo, come ichiesto dalla disequazione 181: I S = x R x < 1 1 < x < 1 4 x > 1 } x Esempio x 3 x 1 10x 3 6x 6 3 x 3x 1 3(x 1)(3x ) Taspotiamo tutti i temini al pimo membo: x 3 x 3 x 1 10x 3 6x 6 3 x 3x 1 0 3(x 1)(3x ) Eseguiamo le opeazioni pe semplificae la fazione e idula alla foma N(x) D(x) 0: x 4x 6 3(x 1) 10x 3 6(x 1) 3x 6 (3x ) 1 3(x 1)(3x ) 0 3x(x 1)(3x ) (4x 6)(3x ) (10x 3)(3x ) 3(3x 6)(x 1) 0 6(x 1)(3x ) 11x 0 (18) 6(x 1)(3x ) Studiamo il segno di F, ovveo del suo numeatoe N e dei fattoi del suo denominatoe D: N 0 11x 0 x 11, d 1 > 0 x 1 > 0 x > 1 D > 0 d > 0 3x > 0 x > 3 segno di N: segno di d 1 : D : segno di d : segno di F (18):

17 Sezione 185 Disequazioni fazionaie 469 Non abbiamo posto le C E in quanto già ispettate dalle disequazioni del denominatoe Pendiamo gli intevalli in cui il segno della fazione F è positivo o nullo, come dalla disequazione 18: I S = x R x 11 3 } < x < 1 Esecizi poposti: 1857, 1858, 1859, 1860, 1861, 186, 1863, 1864, 1865, 1866, , 1869, 1870, 1871, 187, 1873, 1874, 1875, 1876