Lezione Minima distanza tra insiemi

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1 Lezione Minima distanza ta insiemi Definizione 111 In S n, n =2, 3, siafissataun unitàdimisuau Dati due punti A, B 2 S n,definiamodistanza fa A e B, esciviamod(a, B), la lunghezza del segmento AB ispetto all unità di misua u Abbiamo già visto nella Lezione 7 come calcolae la lunghezza di un segmento avente come estemi due punti A, B 2 S 3 di cui si conoscono le coodinate ispetto ad un fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k: se A =(x A,y A,z A ) e B =(x B,y B,z B ), alloa la fomula (731) affema che d(a, B) = AB = AB #» = p (x A x B ) 2 +(y A y B ) 2 +(z A z B ) 2 Vogliamo estendee la nozione di distanza ad una qualsiasi coppia di sottoinsiemi X, Y S n Osseviamo subito che, in geneale, X ed Y conteanno più punti, quindi avemo più segmenti aventi un estemo in X ed uno in Y ÈpossibilepeciòassociaeagliinsiemiX ed Y un insieme di numei eali D X,Y = { d(x, y) x 2 X, y 2 Y } Poiché d(x, y) > 0 pe ogni coppia di punti x, y 2 S n segue che D X,Y [0, +1[ In paticolae D X,Y èuninsiemelimitatoinfeiomente,quindiisultaaveeun estemo infeioe pe la completezza di R X x1 x3 x2 y2 y1 y3 Y d(x,y) Figua

2 112 Definizione 112 (Minima distanza) In S n, n =2, 3, siafissataun unitàdi misua u Dati due sottoinsiemi X, Y S n, definiamo minima distanza fa X e Y (o semplicemente distanza) ilnumeo d(x, Y )=inf{ d(x, y) x 2 X, y 2 Y } Veebbe natuale pensae alla distanza fa X ed Y come alla minima delle distanze fa i punti di X ed i punti di Y,maingenealeciònonèveo Esempio 113 In S 2 si consideino gli insiemi X = { ( Y = {(0, 0)} Alloa d(x, Y ) = inf{ d(( 1/n, 0), (1, 0)) n 2 Z,n>0 } =0, ma, chiaamente, pe ogni n 2 Z, n>0, vale 1/n, 0) n 2 Z,n>0 } e d(( 1/n, 0), (0, 0)) = 1 n > 0 B Il vicevesa non è veo, cioè se d(x, Y )=0non è detto che X \ Y 6= ;, come si vede dall Esempio 113 Si noti che se i due insiemi X e Y sono fomati da un punto ciascuno, ad esempio X = {A} e Y = {B}, alloa d(x, Y )=d(a, B) Inolte, se i due insiemi hanno intesezione non vuota, X \ Y 6= ;, alloahanno distanza nulla Infatti scelto A 2 X \ Y isulta sicché d(x, Y )=0 0 6 d(x, Y )=inf{ d(x, y) x 2 X, y 2 Y } 6 d(a, A) =0, 112 Distanza di un punto da una etta o da un piano In questo paagafo spiegheemo come calcolae la distanza d(x, Y ) nei due casi in cui X = { P 0 } e Y èunaettaounpianoatalescopociestingeemoalcasodi sottoinsiemi dello spazio S 3 esuppoemo,d oainnanzi,diavefissatounsistema di ifeimento O~ı~ ~ k,nelqualep 0 =(x 0,y 0,z 0 ) Cominciamo dal caso in cui Y èunpiano di equazione ax + by + cz = d: dobbiamo quindi valutae la quantità d(p 0, ) = inf{ d(p 0,P) P 2 } Si considei la etta passante pe P 0,pependicolaead esiah il punto di intesezione di con, come illustato nella Figua 112

3 Se P =(x, y, z) 2, iltiangolodiveticip 0, H e P isulta essee ettangolo in H Ènotodallageometiaelementaeche,inuntiangoloettangolo,lalunghezza dell ipotenusa è sempe maggioe od eguale alla lunghezza di ogni suo cateto: in paticolae d(p 0,H) 6 d(p 0,P) pe ogni P 2 D alta pate fa i punti che intevengono nella definizione di d(p 0, ) c è anche H, quindiisulta d(p 0,H) 6 d(p 0, ) = inf{ d(p 0,P) P 2 } 6 d(p 0,H) Ne deduciamo che d(p 0, ) = d(p 0,H): in questo caso l estemo infeioe è un minimo 113 P0 H P 1 P2 α Figua 112 Passiamo oa a deteminae una fomula esplicita pe calcolae d(p 0, ); abbiamo appena visto che si tatta di calcolae la distanza d(p 0,H) equestonumeopuò essee facilmente calcolato ossevando che coincide con la lunghezza della poiezione del vettoe P 0 P =(x 0 x)~ı +(y 0 y)~ +(z 0 z) ~ k lungo una diezione otogonale a Ricodiamo dall Ossevazione 10 che, dato un vettoe ~w ed una etta pe l oigine, la poiezione otogonale ~w k,di~w lungo si ottiene come ~w k = h~w, ~v i ~v ~v ~v, ove ~v èunqualsiasivettoepaalleloa: dunque ~w k = h~w, ~v i ~v Nel nosto caso a~ı + b~ + c ~ k èpependicolaead, peciò d(p 0,H)= P 0 H = a(x 0 x)+b(y 0 y)+c(z 0 z) p a2 + b 2 + c 2 = ax 0 + by 0 + cz 0 ax by cz p a2 + b 2 + c 2

4 114 D alta pate P 2, quindilesuecoodinatesoddisfanoax + by + cz = d: in conclusione otteniamo d(p 0, )=d(p 0,H)= ax 0 + by 0 + cz 0 d p a2 + b 2 + c 2 (1121) Esempio 114 In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k esiconsideinoilpunto P 0 =(1, 2, 3) eilpiano di equazione catesiana 3x 2y z =0Alloa,utilizzando la fomula (1121), si ha d(p 0, )= p = p 4 14 Ovviamente d(p 0, ) può anche essee ottenuta diettamente come d(p 0,H)= H P 0 Nel nosto caso la etta passante pe P 0 epependicolaead ha equazioni paametiche >< x =1+3t y =2 2t z =3 t Quindi H =(x H,y H,z H ),puntodiintesezionedi con, coispondeallasoluzione dell equazione 3(1 + 3t) 2(2 2t) (3 t) =0,cioèat =2/7, ovveoh = (13/7, 10/7, 19/7) InpaticolaeH P 0 =(6~ı 4~ 2 ~ k)/7, dacuisegue q d(p 0, )=d(p 0,H)= H P 0 = = p Come secondo caso consideiamo la distanza ta un punto P 0 eunaetta in S 3,pecuidobbiamovalutaelaquantità d(p 0,)=inf{ d(p 0,P) P 2 } Sia s la etta passante pe P 0,pependicolaeedincidentea esiah il punto di intesezione di con s Come nel caso pecedente deduciamo che d(p 0,)=d(P 0,H) e, di nuovo, l estemo infeioe è un minimo Anche in questo caso cechiamo fomula pe deteminae d(p 0,H) P0 P H s Figua 113

5 115 La deteminazione della etta s può non essee facile: tale etta deve infatti essee pependicolae e, simultaneamente, incidente ad Abbiamo due modi pe calcolae s Un pimo modo consiste nell ossevae che s è sempe contenuta nel piano passante pe P 0 epependicolaea, sicché \ s = \ La deteminazione di un equazione di è, in geneale, semplice, così come calcolane l intesezione H con : aquestopuntod(p 0,)=d(P 0,H) Altenativamente, siano P 1 e P 2 punti abitai su Osseviamo dalla Figua 114 che il segmento P 0 H èesattamentel altezzadiunpaallelogammaaventelato obliquo P 0 P 1 ebasep 1 P 2 P0 H P2 P 1 s Figua 114 Se A èlamisuadell aeaditalepaallelogamma,alloa d(p 0,)=d(P 0,H)= P 0 H = A P 1 P 2 Ricodiamo quanto visto nell Ossevazione 17: se abbiamo un paallelogamma di cui conosciamo te vetici consecutivi P 0,P 1,P 2 la sua aea A si può deteminae con la fomula (22): A = (P 0 P 1 ) (P 1 P 2 ) Nel nosto caso, se la etta èdatatamiteequazionipaametiche >< x = x 1 + lt y = y 1 + mt z = z 1 + nt, pesi ad esempio P 1 e P 2 ipunticoispondentiispettivamenteat =0e t =1,cioè P 1 =(x 1,y 1,z 1 ) e P 2 =(x 1 + l, y 1 + m, z 1 + n), segueche d(p 0,)= ((x 0 x 1 )~ı +(y 0 y 1 )~ +(z 0 z 1 ) ~ k) (l~ı + m~ + n ~ k) p l2 + m 2 + n 2 (1122)

6 116 Esempio 115 In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k esiconsideinoilpunto P 0 =(1, 2, 3) elaetta di equazioni paametiche >< x =3+t y = t 2 t 2 R z =2t 3, Un vettoe paallelo a è ~v = ~ı + ~ +2 ~ k,quindiilpiano passante pe P 0 e pependicolae a ha equazione catesiana x + y +2z =9Ilpuntod intesezione H =(x H,y H,z H ) di con coisponde alla soluzione dell equazione (3 + t)+(t 2) + 2(2t 3) = 9 cioè t =7/3, sicchéh =(16/3, 1/3, 5/3) Risulta H P 0 =(13~ı 5~ 4 ~ k)/3, da cui segue 210 d(p 0,)=d(P 0,H)= H P 0 = 9 Calcoliamo di nuovo la stessa distanza utilizzando la fomula (1122) Poiché P 0 P 1 = 2~ı +4~ +6 ~ k,siha d(p 0,)= ( 2~ı +4~ +6~ k) (~ı + ~ +2 ~ k) p = 2~ı +10~ 6~ k 140 p = Distanza di un piano da una etta o da un piano In questo paagafo spiegheemo come calcolae la distanza d(x, Y ) nel caso in cui X sia un piano fissato Come al solito, suppoemo di ave fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k nello spazio S 3 echeax + by + cz = d sia l equazione di A α A' α' Figua 115

7 117 Iniziamo ad esaminae il caso in cui Y sia un secondo piano 0,diequazione catesiana a 0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 Ovviamente se 6k 0 alloa \ 0 6= ;, dunque d(, 0 )=0 Possiamo peciò iduci ad esaminae il caso in cui k 0,comein Figua 115 Pe ogni punto A 2 sia A l unico punto tale che d(a, 0 )=d(a, A 0 ) Come già ossevato nel paagafo pecedente, pe ogni alto punto P 2 0 si ha d(a, A 0 ) 6 d(a, P ) equindipeognia 2 d(, 0 )=inf{ d(a, A 0 ) A 2, A } 6 inf{ d(a, A 0 ) A } = d(a, A 0 ) 6 inf{ d(a, P ) A 2, P 2 0 } = d(, 0 ) Utilizzando la fomula (1121) che espime la distanza del punto A =(x A,y A,z A ) dal piano 0,otteniamo d(, 0 )=d(a, 0 )= a0 x A + b 0 y A + c 0 z A d 0 p a 02 + b 02 + c 02 Poiché k 0 possiamo suppoe che a = a 0, b = b 0, c = c 0 InolteilfattocheA2 implica che le sue coodinate soddisfano ax A + by A + cz A = d Concludiamo alloa che d(, 0 d d 0 )= p a2 + b 2 + c (1131) 2 p Si noti che la quantità d a2 + b 2 + c 2 =1 d 0 coincide con la distanza ta e 0 solamente se Esempio 116 In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k esiconsideinoipiani, 0 e 00 ispettivamente di equazioni catesiane : x + y + z =1, 0 : x y +2z = 1, 00 : y 2z x = 1 Iniziamo a consideae i due piani e 0 Poiché k =2, segue che 6k 0,dunqued(, 0 )=0 Consideiamo oa i due piani 0 e 00 Poiché k =1, segue che 0 k 00 Pe deteminae la distanza d( 0, 00 ) utilizzando la fomula (1131) si devono pima modificae le equazioni date di 0 e 00 in modo che abbiano lo stesso pimo membo: possiamo alloa suppoe che le due equazioni siano ispettivamente

8 11 0 : x y +2z = 1, 00 : x y +2z =1, quindi la fomula (1131) ci dà d( 0, 00 )= 1 1 p = 2 p 6 In maniea simile si può pocedee nel caso in cui si debba calcolae la distanza fa una etta ed un piano Anche in questo caso o 6k e d(, ) =0oppue k e d(, ) =d(p 0, ) pe un qualsiasi punto P 0 2 Quindi,inquestosecondo caso, si può applicae la fomula (1121) 114 Distanza fa due ette Concludiamo la lezione analizzando l ultimo caso imanente, cioè il caso in cui X ed Y siano due ette nello spazio, diciamo ed 0 Di nuovo, supponiamo di ave fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k nello spazio S 3 Dobbiamo distinguee due casi pincipali: il caso in cui ed 0 siano complanai equellosianoettesghembe Il pimo caso si divide a sua volta in due sottocasi: o le ette sono incidenti in un punto, quindi \ 0 6= ; e d(, 0 )=0,oppuesonopaallele,cioè k 0 edunque d(, 0 )=d(p 0, 0 ) pe un qualsiasi punto P 0 2, comenellafigua116quisotto P0 ' Figua 116 Esempio 117 Sia fissato un sistema ifeimento O~ı~ ~ k in S 3 esiconsideinola etta di equazioni paametiche >< x =3+t : y = t 2 t 2 R, z =2t 3,

9 119 la etta 0 di equazioni catesiane 0 : ( x + y z =4 x y =5 eilpiano di equazione 3x + y 2z =0 Il vettoe ~v = ~ı +~ +2 ~ k èpaalleloallaetta, menteilvettoe~v =3~ı +~ ~ k èpependicolaealpiano Poiché h~v,~v i =0segue che k Petanto, peso P 0 =(3, 2, 3) 2, dallafomula(1121)siha d(, ) =d(p 0, )= 13 p 14 Pendiamo adesso in consideazione la etta 0 :unvettoepaalleloadessaè ~v 0 =(~ı + ~ ~ k) (~ı ~ )= ~ı ~ 2 ~ k = ~v, quindi 0 k e, dunque, 0 k Pe calcolae d( 0, ) possiamo pocedee in due modi: possiamo deteminae un punto P 0 2 0,peesempioP 0 =(5, 0, 1) epoi calcolae d( 0, )=d(p 0, ) Oppuepossiamoossevaecheilpiano 0 di equazione 3x + y 2z 13 = 2(x + y z 4) + (x y 5) = 0 contiene 0 ed è paallelo a : peciò d( 0, )=d( , )= p = p Esempio 11 In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k esiconsideinoledue ette ed 0 ispettivamente di equazioni paametiche >< x =3+t >< x =1+t 0 : y = t 2 0 : y =2+t 0 z =2t 3, z =3+2t 0, al vaiae di t, t 0 2 R Ledueettesonoentambepaallelealvettoe~v = ~ı +~ +2 ~ k, quindi sono paallele fa loo Poiché P 0 =(1, 2, 3) 2 0 segue dall Esempio 115 che 70 d(, 0 )=d(, P 0 )= 3 Il secondo caso è chiaamente più inteessante, e va analizzato in dettaglio: supponiamo quindi che le due ette e 0 siano sghembe, con vettoi diezione ~v e ~v 0 ispettivamente Osseviamo che esiste un unico piano contenente epaalleloa 0 Infatti poiché, 0,segueche~v, ~v 0,sicchéilvettoe~w = ~v ~v 0 ènonnullo Ognipiano contenente epaalleload 0 deve essee paallelo sia a ~v che a ~v 0,quindideveessee pependicolae a ~w :dovendointesecae, talepianoèunivocamentedeteminato

10 120 In modo simile si dimosta l esistenza e l unicità di un piano 0 contenente 0 e paallelo a Pe definizione, la etta elaetta 0 0,quindivaleladisuguaglianza La situazione è illustata nella Figua 117 d(, 0 ) 6 d(, 0 ) (1141) R α α' R' s ' Figua 117 Dimosteemo che in ealtà nella fomula (1141) vale l uguaglianza, e quindi che il calcolo della distanza d(, 0 ) si iduce al più semplice calcolo della distanza fa i due piani paalleli e 0 Poposizione 119 (Esistenza e unicità della etta di minima distanza) Date ed 0 due ette sghembe in S 3,esisteun unicaettas incidente e pependicolae sia a che ad 0 Laettas viene detta etta di minima distanza fa ed 0,poiché ipuntir ed R 0 dove essa inteseca ispettivamente le ette ed 0 soddisfano la condizione d(, 0 )=d(r, R 0 )=d(, 0 ) Dimostazione Se la etta s dell enunciato esiste, essa è paallela al vettoe ~w,quindiotogonale sia ad che ad 0 In paticolae quindi essa deve essee contenuta nel piano 0 contenente 0 e pependicolae ad 0 (e quindi pependicolae al vettoe ~v 0 ~v 0) Similmente la etta s èanchecontenutanelpiano passante pe epependicolaead (quindi pependicolae a ~v ~v ) Ipiani e 0 non sono paalleli (peché?) quindi si intesecano in una etta che, peciò, deve coincidee con s: questocidicecheses esiste è unica e ci fonisce anche un modo pe costuila Siano adesso R = s \ ed R 0 = s \ 0 : osseviamo che R 0 èlapoiezioneotogonaledir su 0,quindi d(, 0 )=d(r, R 0 )=d(r, 0 ) > d(, 0 ) > d(, 0 ) La catena di disuguaglianze è quindi in ealtà una catena di uguaglianze, dimostando la tesi Si noti che anche in questo caso l estemo infeioe che definisce la distanza d(, 0 ) è, quindi, un minimo

11 121 Esempio 1110 In S 3 sia fissato sistema di ifeimento O~ı~ ~ k esiconsideinole ette ed 0 ispettivamente di equazioni paametiche >< x =3+t >< x = t 0 : y = t 2 0 : y = t 0 2 z =2t 3, z =2t 0 +1, al vaiae di t, t 0 2 R La etta èpaallelaalvettoe~v = ~ı + ~ +2 ~ k,mentelaetta 0 èpaallelala vettoe ~v 0 = ~ı + ~ +2 ~ k,quindi, 0 Inolteilsistema >< 3+t = t 0 t 2=t 0 2 2t 3=2t 0 +1, non ha soluzione Concludiamo che ed 0 sono sghembe Vogliamo calcolae la distanza d(, 0 ): cechiamo quindi i due piani paalleli ed 0 Essi sono entambi otogonali al vettoe quindi hanno equazione ~v ~v 0 = 2~ + ~ k, : 2y + z = d, 0 : 2y + z = d 0 Imponendo il passaggio di pe un punto di, adesempio(1, 0, 1), toviamod =1; similmente, imponendo il passaggio di 0 pe un punto di 0,adesempio( 1, 1, 3), toviamo d 0 =5 La distanza ta le due ette è dunque d(, 0 )=d(, 0 )= 1 5 p = p Osseviamo che un alta possibilità pe calcolae la distanza ta due ette sghembe è quella di deteminae esplicitamente i punti R 2 ed R della Poposizione 119: pe fae ciò dobbiamo impoe che valga sia R R 0? ~v sia R R 0? ~v 0 Abbiamo R R 0 =(3+t + t 0 )~ı +(t t 0 )~ +(2t 2t 0 4) ~ k, dunque le due condizioni di pependicolaità si taducono nel sistema ( 6t 4t 0 =5 4t 6t 0 =11, la cui unica soluzione è data da t = 7/10 e t 0 = 23/10 coispondente ai due punti 23 R = 10, 27 10, 44 23, R 0 = 10 10, 43 10, 36 10

12 122 Segue che d(, 0 )=d(r, R 0 )= p = 4 p 5 Pe completezza, osseviamo che la etta s di minima distanza fa ed 0,cheè la etta passante pe R e R 0,haequazionipaametiche >< x =23/10 y = 27/10 16t t 2 R z = 44/10 + t,