Liceo scientifico comunicazione opzione sportiva

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1 PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA 8 Liceo scientifico comunicazione opzione spotiva Lo studente isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 quesiti del questionaio Duata massima della pova: oe È consentito l uso di calcolatici scientifiche e/o gafiche puché non siano dotate di capacità di calcolo simbolico (DM n 5 At 8 comma 8) PROBLEMA Consideiamo la funzione f : R " R così definita: f ^h- + + con! Z Detto C il gafico della funzione, veifica che pe qualsiasi valoe del paameto la etta, tangente a C nel punto di ascissa e la etta s, tangente a C nel punto di ascissa, si incontano in un punto M di ascissa Dopo ave veificato che è il massimo inteo positivo pe cui l odinata del punto M è minoe di, studia l andamento della funzione f^h, deteminandone i punti stazionai e di flesso e tacciandone il gafico Detto T il tiangolo delimitato dalle ette, s e dall asse delle ascisse, detemina la pobabilità che, peso a caso un punto P( P ; P ) all inteno di T, questo si tovi al di sopa di C (cioè che si abbia P f ^h pe tale punto P) Nella figua è evidenziato un punto N! C e un tatto del gafico C La etta Γ nomale a C in N (vale a die la pependicolae alla etta tangente a C in quel punto) passa pe l oigine degli assi O Il gafico C possiede te punti con questa popietà Dimosta, più in geneale, che N il gafico di un qualsiasi polinomio di gado n non può possedee più di O n - punti nei quali la etta nomale al gafico passa pe l oigine PROBLEMA Figua Siano f: R " Z e g: R " R ispettivamente le funzioni pate intea e pate fazionaia (o mantissa) di un numeo! R Tali funzioni sono così definite: f^h ma{ m! Z m# } e g ( ) - f ( ) Petanto, ad esempio, f^ h, g^7, h 7, A patie dalle definizioni delle funzioni f e g, mosta che pe ogni! R si ha # g^h Disegna i gafici delle funzioni f e g deteminando esplicitamente i loo punti di discontinuità e, eventualmente, i elativi salti Dopo ave veificato che la funzione g è peiodica di peiodo, calcola la media di g nell intevallo [; n] qualsiasi sia n! N, n Calcola inolte la media di g nell intevallo 8; n + B, e detemina il limite a cui tale media tende pe n " Zanichelli Editoe,

2 Calcola il volume del solido ottenuto dalla otazione di adianti intono all asse della egione di piano delimitata dai gafici di f e g nell intevallo 8 ; B Stabilisci pe quali valoi dei paameti eali a, b, c, d la funzione h: R " R definita dalla legge: h^ h a+ b$ sin^c+ dh veifica le seguenti condizioni min g min h, sup g ma h, hm + h- Quante sono le funzioni siffatte? QUESTIONARIO 5 Dimostae che il volume di un cilindo inscitto in un cono è minoe della metà del volume del cono Si dispone di due dadi uguali non bilanciati a foma di tetaedo egolae con le facce numeate da a Lanciando ciascuno dei due dadi, la pobabilità che esca è il doppio della pobabilità che esca, che a sua volta è il doppio della pobabilità che esca, che a sua volta è il doppio della pobabilità che esca Se si lanciano i due dadi contempoaneamente, qual è la pobabilità che escano due numei uguali ta loo? Deteminae i valoi di tali che la etta di equazione - + sia tangente alla cuva di equazione sin - e Consideata la funzione f^h 5 + -, deteminae, se esistono, i valoi di lim f^h, e - cos " + lim f^h, giustificando adeguatamente le isposte fonite "- Con una staccionata lunga meti si vuole ecintae una supeficie avente la foma di un ettangolo somontato da una semiciconfeenza, come in figua: Deteminae le dimensioni dei lati del ettangolo che consentono di ecintae la supeficie di aea massima 7 8 a + Deteminae a in modo che ^ + h d sia uguale a a Figua In un gioco a due giocatoi, ogni patita vinta futta punto e vince chi pe pimo aggiunge punti Due giocatoi che in ciascuna patita hanno la stessa pobabilità di vincee si sfidano Qual è la pobabilità che uno dei due giocatoi vinca in un numeo di patite minoe o uguale a? Deteminae quali sono i valoi del paameto! R pe cui la funzione e + ^ h è soluzione dell equazione diffeenziale m -l- Tovae l aea R della egione di spazio acchiusa dalla cuva, pe # # Sapendo inolte che la etta di equazione divide R in due figue di egual aea, deteminae il valoe di - Veificae che, qualunque siano le costanti eali { e, la funzione e sin^+ { h è soluzione dell equazione diffeenziale m + l + Tovae { e tali che questa funzione abbia un punto di massimo di coodinate (; ) min g minimo della funzione g, sup g estemo supeioe della funzione g, ma h minimo della funzione h Zanichelli Editoe,

3 SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA 8 Liceo scientifico comunicazione opzione spotiva PROBLEMA Vedi lo svolgimento del poblema della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 PROBLEMA Se il numeo è inteo, alloa il numeo stesso coincide con la sua pate intea, cioè f^ h, e pe la mantissa otteniamo: g^h - f^h - Se il numeo non è inteo vale la catena di disuguaglianze - f^h, che pemette di ottenee la seguente limitazione pe la mantissa: g^h -f^h " - g^h - ^-h " g^h peché f ( ) peché - f( ) Risulta quindi # g ( ) pe ogni numeo eale Disegniamo sepaatamente i due gafici della funzione pate intea f^h e della funzione mantissa g^h f() g() O O Figua Figua Entambe le funzioni pesentano una discontinuità di pima specie (un salto di ampiezza ) nei punti di ascissa intea In paticolae, pe ogni a inteo, sia f^h sia g^h isultano continue a desta in a e discontinue a sinista: fâh a; lim f^h fâh - a -; " a - gâ h ; lim g^h lim - f^h@ a-â- h " a- " a- La funzione mantissa g^h è peiodica di peiodo Infatti, dalla definizione di pate intea di un numeo discende che pe ogni eale è f^+ h f^h +, da cui: g^+ h + - f^+ h f^h g^h Veifichiamo che non esiste un alto valoe T, con T, che possa costituie il peiodo di g^h Se Zanichelli Editoe,

4 un tale T esistesse, si avebbe infatti: g^+ Th g^h! R " + T- f^+ Th - f^h " T f^+ Th-f^h Poiché T pe ipotesi, si hanno due possibilità: f^+ Th f^h " f^+ Th- f^h " T, impossibile, oppue: f^+ Th f^h+ " f^+ Th- f^h " T, impossibile La funzione mantissa g^h è dunque peiodica di peiodo Nell intevallo [;[ la funzione è definita tamite l identità g^ h Pe calcolae la media n n n g^hd di g^h su un intevallo [; n], con n natuale non nullo, osseviamo che g^h ha un numeo n finito di punti di discontinuità sull intevallo [; n] e che è integabile in senso impopio in [; ] Infatti: z " z " z " z " z z z g^hd lim g^hd lim d lim 8 B lim z Sfuttando la peiodicità di g, otteniamo: n n n $ g ^ h d La media nl sull intevallo 8; B è data da: nl g^h d d : D, mente la media nl sull intevallo 8; n + B, con n natuale non nullo, è data da: n + n n + nl g^hd < n g d g d n n g d g d + ^ h + ^ h F < n + ^ h + ^ h F n + n n n n 8 n n n + ` + j ^ h Tale media, pe n " +, tende a: lim nl lim n" + n" + 8n n + + Rappesentiamo in figua la egione da uotae Ricodiamo che il volume del solido ottenuto uotando di un angolo a in adianti intono all asse una egione di piano compesa ta due funzioni h^h e l^h, con h^h al di sopa di l^h, è: Va a a b $ V $ h ^h - l ^h@ d a Nel nosto caso: a a " Quindi: V ) d+ -^- h@ d 8 O Figua 5 Zanichelli Editoe,

5 7 7 $ $ : + ` jd In maniea altenativa, si può calcolae il volume V ichiesto tamite le fomule della geometia solida Ossevato infatti che il solido geneato dalla otazione completa attono all asse della egione in figua è costituito: da un tonco di cono di altezza e aggi di base e, a cui è aggiunto un cilindo di altezza e aggio di base, e da cui è sottatto un cono di altezza e aggio di base, isulta: V V V V ^ tonco cono + cilindo - conoh & $ $ : ` j + $ + D + $ $ - $ $ ` j 7 8 $ ` + - j Consideiamo la funzione: h^ h a+ bsin^c+ dh con a, b, c, d paameti eali Pima di impostae il sistema con le condizioni ichieste, osseviamo che: min g minimo della funzione g ; sup g estemo supeioe della funzione g ; min h a- b ; ma h a+ b ; hl^ h bc$ cos^c+ dh; hm^ h- bc $ sin^c+ dh Inolte osseviamo che la funzione h^h ha minimo e massimo, quindi non può essee una funzione costante Dalle pime due condizioni ichieste icaviamo i possibili valoi di a e b: min g min h a- b a b b a ) " * " ) " * sup g ma h a b a a " * + + a b - b hm + h - " - bc $ sin^c + dh+ a + b sin^c + dh@ - " - bc $ sin^c + dh+ a + b sin^c + dh- " b^- c hsin^c+ dh + a- " b^- c hsin^c+ dh peché a Affinché la funzione b^- c hsin^c+ dh sia costantemente nulla, visto che il coefficiente b è diveso da zeo, deve essee nullo il coefficiente - c oppue l agomento del seno c + d Esaminiamo i due casi Se c -, alloa c - c Otteniamo i paameti: a ; b! ; c! ; d! R In paticolae, non abbiamo nessuna limitazione sul paameto d, che può assumee qualunque valoe Quindi, le funzioni sono infinite 5 Zanichelli Editoe,

6 Se c d QUESTIONARIO + al vaiae di, alloa c / d Ma non può essee c, altimenti la funzione h^h a+ bsin^dh saebbe costante Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito 5 della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito 7 della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito 8 della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Vedi lo svolgimento del quesito della pova pe il Liceo Scientifico, pe il Liceo Scientifico - Opzione Scienze Applicate e pe il Liceo Scientifico - Indiizzo Spotivo, sessione odinaia 8 Nell intevallo [; ] la funzione f^h è definita e continua L aea della egione R sottesa alla cuva di equazione nell intevallo [; ] è data dall integale: - + d - d > - $ - $ Se la etta veticale di equazione, con, divide R in due pati di ugual aea, alloa ciascuna di tali pati ha aea Pe deteminae, imponiamo alloa la condizione: d 5 5 " - " " che è un valoe accettabile 5 peché Data la funzione $ e - $ sin ^ + { h, calcoliamo le sue deivate: l - e - sin e - - $ $ ^ + { h+ $ $ cos^+ { h $ e $ cos^+ { h- sin^+ { h@; m - e - - $ $ cos^+ { h- sin^+ { h@ + $ e $ - sin^+ { h- cos^+ { h@ " m - - $ e $ cos^+ { h Zanichelli Editoe,

7 Sostituiamo le funzioni nell equazione diffeenziale data: m + l+ " $ e $ cos^+ { h+ $ e $ cos^+ { h- sin^+ { h@ + $ e $ sin^+ { h " $ e - $ - cos ^ + { h+ cos ^ + { h- sin ^ + { h+ sin ^ + { h@ " Abbiamo ottenuto un identità, quindi la funzione ^h assegnata è soluzione dell equazione diffeenziale pe ogni e pe ogni { Deteminiamo { e in modo che ^h abbia un massimo in (; ) Innanzi tutto deve essee: - ^h " $ e $ sin^+ { h " sin { Possiamo suppoe!, altimenti l uguaglianza non saebbe veificata, quindi possiamo scivee: sin { Affinché in (; ) ci sia un massimo, deve essee: l^ h, così che sia un punto estemante; m^ h, così che la concavità in sia ivolta veso il basso Imponiamo le due condizioni: l^ h " - $ e $ cos^+ { h- sin^+ { h@ " cos {- sin {@ " : cos {- D " cos {- " cos { - m^ h " - $ e $ cos^+ { h " -$ cos { " -$ " - sempe veificata Dalle due condizioni tovate sin { e cos { deduciamo che i valoi di seno e coseno della fase { 5 devono essee uguali, quindi { deve essee l angolo + h oppue l angolo + h, con h! Z Se { + h, con h! Z, è sin { cos { e la funzione cecata è: $ e $ sin`+ + hj $ e $ sin`+ j 5 Se { + h, con h! Z, è sin { cos { - e la funzione cecata è: - 5 $ e $ sin`+ + hj- 5 $ e $ sin`+ j Osseviamo che le due funzioni tovate coincidono Infatti: $ e $ sin`+ j- - $ e $ sin8 + ` + jb - $ e $ sin` + j 7 Zanichelli Editoe,