v t V o cos t Re r v t

Transcript

1 Metodo Simbolico, o metodo dei Fasoi Questo metodo applicato a eti lineai pemanenti consente di deteminae la soluzione in egime sinusoidale solamente pe quanto attiene il egime stazionaio. idea di appesentae gandezze altenate con numei complessi deiva dalla fomula di Euleo Una gandezza altenata del tipo: v t V o cos t e j t cos t j sin t può essee consideata come la pate eale di una gandezza complessa del tipo: v t V o e j t V o e j e j t V o e j t dove V o V o e j Si ha dunque che v t V o cos t e v t Quindi la v t è il podotto di V o V o e j che è un numeo complesso costante, di modulo V O ed agomento, e e j t che è un numeo complesso di modulo unitaio ed agomento vaiabile lineamente con il tempo. ioè v t è un vettoe di modulo costante V O che uota nel piano complesso con velocità angolae e con fase iniziale come mostato nella figua seguente:

2 Teoema fondamentale dei signali sinusoidali Segnale sinusoidale geneico A m cos t A m : ampiezza f : pulsazione [ad/s] : fase a somma algebica di un qualunque numeo di sinusoidi della stessa pulsazione e di un qualunque numeo di funzioni da essa deivate (con qualunque odine di deivazione) è pai ad una sinusoide della stessa fequenza angolae. Esempio: d f t cos t 60 4 sin t sin t dt cos t cos 60 sin t sin 60 4 sin t 4 cos t cos t 3 sin t 4 sin t 4 cos t 5 cos t 4 3 sin t cos t tan cos t 48.8 Pensiamo di appesentae la sinusoide tamite il numeo complesso A A m e i. si noti che A m A e è la fase. Più pecisamente la sinusoide: x t A m cos t è appesentata dal numeo complesso A A m e i. nvesamente, dato un numeo complesso A A m e i e la pulsazione è possibile ecupeae la sinusoide come segue: x t e A e i t. nfatti: e A e i t e A m e i t e A m cos t j A m sin t [, A m, t, sono eali] A m cos t x t

3 l numeo complesso A, che appesenta la sinusoide A m cos t è detto FASOE appesentante la sinusoide. Pe definizione il fasoe A è dato da A A m e i. esempio: sia v t 0 cos 50t 3 il fasoe appesentant e è: A= 0 e j 3 5 0t cioè v t e A e Va ilevato il fatto che la conoscenza dal fasoe appesentante una sinusoide detemina l ampiezza e la fase, ma non la fequenza. Quando si usano i fasoi occoe quindi sempe tenee in mente la. Divesamente se una sinusoide viene specificata con la funzione seno, invece che con il coseno, si ha: y t A m sin t a appesentazione come fasoe può ancoa essee applicata: A A m e i.ma il ecupeo della foma sinusoidale si ottiene dalla: y t m A e i t D oa in poi utilizzeemo la appesentazione che considea la pate eale.

4 icuito onsideiamo come esempio a cui applicae il metodo simbolico (metodo dei fasoi), il cicuito seguente alimentato da un geneatoe di tensione sinusoidale del tipo: v t V o cos t e v t e v o e j t equazione del cicuito è la seguente: i t d i t dt t 0 i t dt v o e j t a soluzione, nel campo eale, è una coente di tipo sinusoidale quindi appesentabile come pate eale di una funzione complessa i t, cioè: i t o cos t e i t e o e j t e o dove o è un numeo complesso costante di modulo o ed agomento. Sostituendo nella equazione o e j t si ha: o j o j diffeenziale la o e j t V o e j t Essendo il temine di otazione e j t comune ad ambo i membi si può scivee: o j o j o V o e j t

5 equazione pecedente può essee consideata come la genealizzazione della legge di Ohm, puché vengano intodotti i concetti di impedenza complessa Z, pe i singoli componenti,, e. omponente Z complessa Modulo Fase Z 0 Z j Z j E possibile appesentae nel piano dei fasoi le vaie impedenze complesse. Pe ciascun elemento si ha: esistenza: v ag v v ag ag l modulo è pai a e la coente è in fase con la tensione nduttanza v j v ag v ag

6 a tensione pecede la coente di 90. ondensatoe v j v ag v ag a tensione è in itado ispetto alla coente di 90. onsideazioni finali Dovendo isolvee una ete in coente altenata, si possono usae le egole utilizzabili nel caso di eti opeanti in coente continua, con la diffeenza che oa le gandezze in gioco sono complesse. Si otteanno così le coenti nei divesi ami, in modulo e fase, con l intesa che l inteo sistema di vettoi, costituito dalle i t e dalle v t, uoti solidalmente con velocità angolae.

7 Esempio icuito alimentato da un geneatoe di tensione sinusoidale V Z tot V Z tot j V ag ag V ag Z tot a tan a tan Dove si è posta uguale a 0 la fase del geneatoe. Esempio a caica q nel condensatoe è data da: Q=V e pe quanto attiene la coente i c, se è costante nel tempo, si ha: i c i dq dt v dv( t ) dt V m cos t d dt V m cos t V m sin t i i i V m cos t V m sin t Questa espessione può essee scitta come:

8 i m cos cos t m sin sin t dove m cos V m ; m sin V m tenendo conto che : cos cos cos sin sin e ponendo t si ha : i m cos t Abbiamo così veificato che la coente è una sinusoide come la tensione applicata, e che la coente è in anticipo, ispetto alla tensione, di un angolo. Esempio 3 Sia dato il cicuito in figua. onoscendo il fasoe della tensione v ( v t ) deteminae il fasoe della coente totale e della tensione totale. V V tot V tot tot V V V V V tot V V V

9 Esempio 4: V t t tan Nel caso notevole in cui si ha isonanza di tensione: V t t ; tan 0. Tale condizione si ealizza pe un valoe di pulsazione

10 Esempio 5 c V t V t Nel diagamma dei fasoi, il fasoe totale V t. t è sfasato di un angolo ispetto al fasoe della tensione tan V t V t Nel caso notevole in cui si ha isonanza di coente e =0.