LE TRASFORMAZIONI CONFORMI E L EQUAZIONE DI LAPLACE

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1 LE TRASFORMAZIONI CONFORMI E L EQUAZIONE DI LAPLACE Un alto potente metodo pe deteminae le solioni dell eqaione di Laplace si basa slla teoia delle nioni analitiche Anche in qesto caso si tilieà n appoccio ineso al poblema: inece di deteminae na solione di n poblema di Laplace con deteminate condiioni al contono si toa na solione e si analia a qali condiioni al contono essa pò essee adattata Come icodeete l estensione del concetto di deiata ad na nione complessa di na aiabile complessa con sollea qalche poblema Se inatti si ole conseae al concetto di deiata il tadiionale signiicato di limite del appoto incementale: lim occoe che tale limite sia lo stesso in qalsiasi modo si accia tendee a eo Δ e qindi il pnto P a P edi ig: ig Poiamo ad impoe tale condiione Saà: Ponendo: si ottiene:

2 Con pate eale: e pate immaginaia: Peché il limite sia indipendente da α dee essee: Condiioni di Cach Ma alloa: Concldendo: la pate eale e la pate immaginaia di na nione analitica sono nioni amoniche Ma c è di più peché islta anche: Qindi le linee cost e qelle a cost sono otogonali il che signiica che se appesenta il poteniale le ce cost che sono sempe otogonali alle ce cost appesentano le linee del campo e iceesa Consideiamo ad esempio la nione Essa è analitica come ttte le potene di e qindi gli silppi in potena di La pate eale e qella immaginaia di sono: Nella iga sono appesentate le ce eqipoteniali nei de casi Pe tali ce si idcono alle ette ± bisettici dei qatto qadanti nel piano Pe c le ce saanno le paabole simmetiche ispetto agli assi ipotati in iga Nell alto caso pe le ce eqipoteniali sono gli assi ed mente c pe c esse sono le ipeboli che hanno come asintoti gli assi stessi

3 ig Se ttto si limitasse a qesto saebbe in eetti di idotta tilità Ma c è molto di più Consideiamo na nione analitica essa pò essee intepetata come na tasomaione che associa ogni pnto del piano ad n pnto del piano e iceesa Ce nel piano si tasomeanno in ce del piano Un impotante popietà di tali tasomaioni è che esse conseano gli angoli Inatti dall espessione d d e d si ede che ogni segmento elementae d passante pe n pnto iene tasomato in n segmento elementae d che ha modlo ampliicato o idotto secondo il attoe ed è otato di ala ispetto a d Si noti che qesta aemaione è stata possibile peché la deiata in è niocamente deinita in n pnto isto che la nione è analitica Se ne dedce che de ce che si intesecano in n pnto del piano saanno tasomate in de ce che si intesecano del piano nel pnto omando lo stesso angolo Pe tale motio tali tasomaioni engono dette conomi nel senso che conseano gli angoli ~ ~ cosa accadà del? Consideiamo oa na nione che nel piano sia amonica: Se consideiamo oa la nione 3

4 4 Calcoliamolo: e analogamente pe scambiando con Otteniamo dnqe: Qindi la noa nione nel piano è ancoa amonica Qesto signiica che se noi conosciamo na solione dell eqaione di Laplace in n deteminato dominio conosciamo anche la solione in ttti qei domini che si possono ottenee da qello di patena con na tasomaione conome Poiamo a ae n esempio: consideiamo la nione e stdiamo la tasomaione che essa soaintende Se siamo coodinate polai in entambi i piani aemo: e e e qindi: e e e ig 3 Cioè: E qindi l asse delle cioé che coisponde a ϕ gale a o π pe ρ qalsiasi si tasomeà in: qalsiasi qalsiasi

5 qalsiasi qalsiasi E qindi il semipiano > si tasoma nel dominio compeso ta l asse delle positie e la etta con coeiciente angolae α mostato in iga 4 Qindi mente il semiasse positio delle si tasoma nel semiasse positio delle qello negatio si tasoma nella semietta di eqaione edi ig4 Cioé il semipiano > si tasoma nel dominio compeso ta l asse delle positie e la etta con coeiciente angolae α ig 4 Qesto ci consente di calcolae la solione del poblema di Laplace nel settoe tasomando qella nota nel semipiano amonica che ispetti le condiioni al contono Si ha inatti in qest ltimo caso che na dee pe simmetia dipendee solo dalla e qindi: cioè: k k Pe e qindi: k e si ha anche che il modlo del campo E che è dietto lngo è pai a: E k Dalla conoscena della densità di caica σ sl piano si ha: E k e cioè: k In deinitia: θ si ha: Passando al piano che è il isltato cecato Si pò eiicae diettamente deiando che tale nione di ed è eettiamente amonica [ ] sin sin actan 5

6 6 ig 5 Dal poteniale si pò calcolae il campo: cos sin E E E E Si noti che come ea peedibile pe simmetia pe edi iga 5: E E Un alto esempio inteessante è descitto dalla nione: La tasomaione che essa soaintende è descitta dalla iga Qesta tasomaione ci consente di deteminae le solioni di poblemi cilindici non coassiali conoscendo qella pe cilindi coassiali che abbiamo già illstato in alta occasione