13b. Reattore omogeneo con riflettore. Due gruppi di neutroni

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1 b. Reattoe omogeneo con iflettoe ue guppi di neutoni Assumiamo oa una appossimazione in teoia della diffusione consistente in due guppi enegetici: uno elativo ai neutoni temici (guppo temico) ed uno elativo ai neutoni veloci (guppo veloce). enoteemo con lindice i neutoni veloci, e con lindice quelli temici. In condizioni di eattoe stazionaio, lequazione elativa alla diffusione nel nocciolo dei neutoni veloci saà c c c c f,c c f,c c χ ( ν ν ) 0 (.7) dove c è il coefficiente di diffusione del guppo veloce nel nocciolo, c è la sezione duto di cattua dei neutoni temici e χ j (j,) la distibuzione dei neutoni di fissione (χ χ ) mente, (.8) c a,c f,c,c essendo a,c la sezione duto macoscopica di assobimento pe i neutoni veloci e,c la sezione duto macoscopica di tasfeimento dei neutoni dal guppo al guppo. Pe il guppo temico vaà lequazione (essendo ) c a,c f,c c c c c,c c χ ( ν f,c c ν f,c c ) 0 (.9) (il temine con coefficiente χ è qui intodotto pe genealità, essendo genealmente χ eguale a zeo). Nel iflettoe lequazione dei neutoni veloci saà, con notazione evidente, icodando che in essi si assume che non ci siano pocessi di fissione, essendo 0, (.0) (,) a,, mente pe i neutoni temici vaà lequazione, 0 (.)

2 Pe isolvee le quatto equazioni diffeenziali, occoeà tenee pesente che le soluzioni cecate dovanno essee finite e non negative. In pesenza di simmetie, occoeà anche tenee conto delle coispondenti simmetie dei flussi neutonici ispetto ai piani, assi, o centi di simmetia. Occoeà altesì tenee conto della continuità dei flussi neutonici temici e veloci, e delle elative coenti, allintefaccia nocciolo/iflettoe, olteché dellannullasi dei flussi alle distanze estapolate. Pe semplicità, iteemo che le distanze estapolate siano le stesse pe i neutoni temici e i neutoni veloci. Ossevando la (.7) e la (.9) elative ai flussi nel nocciolo, notiamo come, espimendo c in temini di c in base alla (.9), e sostituendolo nella (.7) si ottiene una equazione diffeenziale (omogenea, del quato odine) elativa alla sola c. Essa isulta eguale a quella che si otteebbe espimendo c in temini di c in base alla (.7) e sostituendolo nella (.9). Cecheemo quindi soluzioni di c e c che soddisfino la stessa equazione donda, cioè B 0 (.) c c ϕ B ϕ 0 (.4) c c essendo B accennate. una costante da deteminasi imponendo le condizioni sul flusso già ostituendo nelle (.7) e (.9), di c, ispettivamente, si ha B c in luogo di c, e B c in luogo ( c c c f,c c f,c c B ) χ ( ν ν ) 0 (.5) ( c c c,c c f,c c f,c c B ) χ ( ν ν ) 0. (.6) a condizione affinché queste equazioni omogenee abbiano soluzioni non nulle è che si annulli il deteminante dei coefficienti. i avà così l equazione ( c cb,c χνf,c )( cb c χ νf,c ) χνf,c (,c χ νf, ) 0 (.7) che coisponde alla equazione di citicità pe un eattoe iflesso, sulla base della teoia della diffusione a due guppi enegetici.

3 Pe quanto iguada i flussi, dalla (.6) si deduce facilmente il appoto ta il flusso del secondo guppo ispetto a quello del pimo. i ottiene c c c,c B χ c ν χ f,c ν f,c (.8) Nel caso semplice in cui i neutoni subiscano eventi di fissione solo nel secondo guppo (temico), e nascono pe fissione tutti nel secondo guppo (veloce), pe cui χ, χ 0, lequazione citica (.7) si può scivee, in foma esplicita, assumendo inolte che le cattue paassite nel pimo guppo siano di un odine di gandezza infeioe a quelle del secondo guppo, ponendo quindi c, c e tenendone conto con il fattoe p (pobabilità di sfuggie alle isonanze), c p ν f,c k (.9) ( B )( B ) ( B )( B ),c,c,c Nel seguito ci limiteemo a consideae questo sistema semplificato.,c Poiché le costanti k, c, c sono popietà dei mateiali costituenti il nocciolo, la (.9), fonisce i valoi ammissibili pe il buckling. ata la sua foma quadatica, ci saanno due soluzioni. Risciviamo la (.9) nella foma B 4 k B 0. (.0) c c c c Essendo la diffeenza (k-) positiva, una delle due soluzioni saà positiva, mente lalta negativa. e indicheemo µ e -ν, ispettivamente, essendo µ e ν quantità positive. e soluzioni isultano µ ν c c c c c c c c 4(k ) c c 4(k ) c c (.) (.) e soluzioni geneali delle equazioni dei flussi (.7) e (.9) isulteanno combinazioni di soluzioni elative alle soluzioni µ e -ν.

4 Consideiamo oa le equazioni donda (.0) e (.) ed assumiamo che le soluzioni elative a ciascuna di esse (abitaiamente nomalizzate) coispondenti a valoi µ e ν di B, siano X e Y. Queste soddisfeanno quindi le equazioni X µ X 0 (.) Y ν Y 0 (.4) a soluzione di queste equazioni dipendeà dalla geometia del eattoe. Ci limiteemo qui a consideae casi mono-dimensionali e simmetici ispetto a centi, assi, o piani di simmetia. e soluzioni ammissibili pe X e Y, nel caso di geometia slab infinito, sfea e cilindo infinito, isultano dalla tabella. Geometia X Y lab infinito cos µ x cosh ν x fea sinµ sinhν Cilindo infinito J o ( µ ) I o ( ν ) e soluzioni geneali delle (.7) e (.9) elative ai flussi c e c saanno quindi AX CY (.5) c A X C Y (.6) c In esse appaiono quatto costanti abitaie, di cui solo due sono indipendenti, essendo i appoti ta i flussi dati dallespessione (.8). In elazione alle soluzioni, ammissibili, elative ai valoi µ e -ν del buckling, con le semplificazioni assunte, essi isultano A A C C,c cµ c c c c c c ν c c c µ (.7) (.8) I coefficienti ed dipendono dalle popietà del mezzo e quindi non sono abitai. Restano quindi due soli costanti da deteminae, che assumeemo essee A e C. e soluzioni geneali del flusso neutonico nel nocciolo saanno quindi 4

5 AX CY (.9) c AX CY (.40) c Consideiamo oa il iflettoe. ividendo le (.0) e (.) pe e, ispettivamente, si ha κ 0 (.4) c κ, 0 (.4) dove / κ e κ e /. (.4) equazione (.4) ha già la foma di una equazione donda, con κ una quantità positiva. a pate omogenea della (.4) ha pue una analoga foma di equazione donda. Consideando le condizioni di annullamento del flusso al confine estapolato, le soluzioni ammissibili pe le geometie sopa consideate, appesentate con il simbolo, sono indicate nella tabella. Geometia (T infinito) lab infinito senh κ H T x e κ x senh κ R T fea ( ) Cilindo infinito I o ( κ I ) K o o [ κ (R T)]K o ( κ ) K κ e ( o κ i intendeà che coisponde alla soluzione che contiene κ, mente quella che contiene κ. a soluzione geneale dellequazione (.9) elativa ai neutoni veloci saà (.44) F dove F è una costante abitaia. ) 5

6 Pe lequazione (.0) elativa ai neutoni temici, la soluzione geneale saà invece (.45) G G F con G costante abitaia, mente è un coefficiente di accoppiamento (che va κ calcolato solo pe κ (.4) nella (.40), si ha ). Pe deteminalo, sostituendo il flusso dato dalla, κ 0, (.46) da cui, essendo κ si ottiene, κ κ (.47) Anche in questo caso, il coefficiente di accoppiamento isulta dipendee dalle popietà del mezzo. e equazioni (.9) e (.40) elative al flusso nel nocciolo e le (.44) e (.45) elative al flusso nel iflettoe contengono quatto costanti incognite: A, C, F, G. Esse possono esse deteminate da quatto condizioni di continuità dei flussi e delle coenti al confine ta nocciolo e iflettoe. Queste condizioni potano alle seguenti equazioni: AX CY F AX c c CY (AX CY ) ( AX F F CY ) G ( F G ) (.48) avendo indicato con X, Y, e Tutti valoi sono calcolati allintefaccia nocciolo/iflettoe. i gadienti di X, Y, e, ispettivamente. Pe una soluzione delle costanti non nulla, occoeà che il deteminante dei coefficienti sia eguale a zeo. i avà quindi: 6

7 c X X X c X c Y Y Y c Y 0 0 c c X X Y Y c c Y Y X X ( ( ) ) 0 (.49) Questa può consideasi lequazione citica pe il caso di un eattoe iflesso nella schematizzazione della diffusione a due guppi. Essa consente di deteminae, attaveso pocessi di calcolo iteativo, i valoi citici di un paameto, quale il aggio del nocciolo, o laicchimento del combustibile, una volta fissati i valoi degli alti. Pe tali valoi citici il deteminante si dovà annullae ento un citeio di convegenza fissato. Attaveso le equazioni (.9), (.40), (.44) e (.45) saà possibile descivee la distibuzione spaziale dei neutoni veloci e temici. Nella figua 5 sono indicati i loo andamenti pe un caso in cui i valoi dei coefficienti di diffusione del nocciolo e del iflettoe sono stati assunti eguali. i nota come il flusso temico ha un massimo nel iflettoe, in possimità dellintefaccia con il nocciolo. Ciò è dovuto al fatto che i neutoni veloci, uscendo dal nocciolo, allentano a valoi temici senza subie tassi di assobimento quali quelli che subiscono allentando nel nocciolo. Quindi, in possimità di questultimo, si ilevano picchi come quello indicato in figua. 7

8 Fig. 5 8