La normativa prescrive di considerare un difetto di rettilineità dei pilastri e quindi una

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1 LEZIONE N 47 ELEENTI SNELLI Ci occupeemo, nell ambito del Coso di Tecnica delle Costuzioni, soltanto degli effetti indotti nei pilasti dalle defomazioni del secondo odine dovute alla cuvatua della linea d asse pe pessoflessione. Non tatteemo quindi degli effetti dovuti alle defomazioni indotte dal taglio e dalla tosione e dei fenomeni di instabilità locale delle paeti sottili. La nomativa italiana sul c.a. esclude pe i pilasti il caso della compessione centata, imponendo di consideae sempe, nei calcoli, almeno una eccenticità minima non intenzionale. E quindi sempe pesente un momento del I odine. La nomativa pescive di consideae un difetto di ettilineità dei pilasti e quindi una eccenticità non intenzionale della foza assiale pai ad della loo lunghezza. 3 Nel caso di pilasti singoli la nomativa consente di tascuae gli effetti del II odine se la snellezza,, calcolata come appoto ta la lunghezza libea di inflessione i ed il aggio d inezia della sezione di calcestuzzo non fessuato, non supea il valoe limite: lim 5,4 C dove: Ed c cd N A f è l azione assiale adimensionale; C, 7 m dipende dalla distibuzione dei momenti flettenti del I odine m (,7 C,7); è il appoto fa i momenti flettenti del I odine alle due estemità del pilasto, positivo se i due momenti sono discodi (con ). 8

2 Natualmente va definita sulla base dei vincoli di estemità e dell inteazione con eventuali elementi contigui. E oppotuno icodae che nel caso delle colonne di acciaio sottoposte a sfozo nomale ed al momento flettente dovuto alla pesenza della eccenticità del caico, l analisi della stabilità è stata eseguita consideando una configuazione petubata dell asta ed imponendo l equilibio ta momento esteno e momento inteno: int est d int est EJ dx N e Nel caso dei pilasti di cemento amato la valutazione del momento inteno è molto più complicata, in quanto il momento d inezia della sezione, cosi come il modulo elastico, dipende dall ascissa x: d EJ x dx int Difatti le vaie sezioni disposte lungo lo sviluppo della colonna pesentano un momento d inezia vaiabile in funzione della posizione dell asse neuto, che isente degli effetti della fessuazione del calcestuzzo teso. Inolte anche il modulo elastico è vaiabile con lo stato di sollecitazione. Di conseguenza la soluzione dell equazione diffeenziale dell equilibio d N Ne dx EJ x EJ x non può essee tovata in foma chiusa, ma occoe fae ifeimento a tecniche numeiche. 9

3 In ogni caso la cisi di un pilasto snello di c.a. può manifestasi in uno dei due modi seguenti: a) ottua della sezione pe aggiungimento della cu ( < cu 3.5 ) (punto B); b) instabilità dell asta pe divegenza dell equilibio (punto C). Natualmente si veifica la modalità di ottua cui coisponde il caico assiale N minoe. Consideiamo il dominio di inteazione della sezione più sollecitata, quella situata a metà altezza della colonna ed alla quale coisponde la defomata max. La cisi del pimo tipo diffeisce da quella dei pilasti tozzi (punto A) pe il fatto che il momento B è fonito dalla somma NBeNB B, in cui B è il valoe massimo della defomata dell asta. La cuva OB può essee costuita pe punti dal basso (N = ), facendo cescee lo sfozo nomale fino ad N B e deteminando pe ogni valoe di N la configuazione equilibata coispondente dell intea asta. Una volta nota la defomata si valuta il suo valoe massimo max ( a metà della lunghezza libea di inflessione) e quindi il momento flettente coispondente: B = N B (e + max ). I valoi,n individuano un punto sulla cuva OB.

4 Quando nella fiba più compessa (al bodo) della sezione più sollecitata il calcestuzzo aggiunge la defomazione di ottua cu, il punto appesentativo dello stato di sollecitazione (, N) tocca la fontiea del dominio di inteazione nel punto B. Il punto B, che coisponde alla ottua pe divegenza dell equilibio, non può essee aggiunto peché si veifica pima la ottua della sezione pe supeamento della esistenza del mateiale. La cisi del secondo tipo (punto C) è segnalata dall esistenza di un valoe di picco della foza N, cui fa seguito un amo cadente. Il punto C, che coisponde alla ottua della sezione pe supeamento della esistenza del mateiale, non può essee aggiunto peché si veifica pima la ottua pe divegenza dell equilibio. Pe descivee più in dettaglio il fenomeno può essee utilizzato il diagamma momento - spostamento massimo. Nel diagamma lo sfozo nomale N d è costante. Il momento esteno è appesentato dalla linea etta tatteggiata d = N d (e + max ); il momento inteno Rd dal diagamma cuvilineo. Se la etta del momento esteno inteseca la cuva del momento inteno nei punti e, il punto appesenta una condizione di equilibio stabile, poiché aumentando max

5 isulta d < Rd, mente il punto appesenta una condizione di equilibio instabile, peché aumentando max isulta d > Rd. Aumentando l eccenticità e i punti e si avvicinano ta loo, fino ad incontasi nel punto 3, in cui si veifica sempe una condizione di equilibio instabile, in quanto una qualsiasi vaiazione di max conduce a d > Rd. IL ETODO DELLA COLONNA ODELLO Un metodo di analisi semplificato pe la valutazione della stabilità dell equilibio di pilasti snelli in c.a. è quello detto della colonna modello. Consideiamo un pilasto singolo incastato al piede in A e libeo in sommità in B. Con ifeimento alla figua si adotta l ipotesi semplificata di descivee la sua defomata mediante la funzione: x sin Le condizioni al contono sono ispettate. Difatti: pe x si ha sin pe x si ha sin Calcoliamo quindi la cuvatua: ' x cos '' x sin ''

6 Pe x si ha sin, da cui si icava: Il pilasto AB, la cui defomata è espessa in modo esatto dalla elazione: si definisce colonna-modello. Il momento flettente totale alla sua base è: = I + II in cui I è il momento del pimo odine ed II è il momento aggiuntivo, del secondo odine, II = N. Note le caatteistiche geometiche e meccaniche della sezione di base e nota la elazione N coelativa, il momento massimo del I odine che il pilasto può soppotae è: max Rd Rd Nd in cui Rd è il momento esistente del I odine disponibile pe l assobimento della sollecitazione di calcolo Rd d ; è il momento esistente di calcolo della sezione citica, che è quella di base. Il momento Rd si individua là dove la diffeenza ta l odinata della cuva Rd, tacciata pe lo sfozo nomale di calcolo N d e quella appesentativa dell effetto del II odine aggiunge il suo massimo valoe (vedi figua alla pagina seguente). 3

7 Questa pocedua ichiede quindi la conoscenza del diagamma sezione di base pe N = N d. Rd della E da notae, comunque, la semplificazione ispetto al caso geneale, in cui la conoscenza del legame Rd integazione, alla deteminazione della linea elastica. è ichiesta in ogni sezione, al fine di pocedee, pe Pogammi pe la costuzione delle cuve ete. Rd sono disponibili gatuitamente in 4