Appendice 1: CINEMATICA LINEARE della TRAVE ESTENSIBILE e FLESSIBILE

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1 Capitolo I Cinematica Appendice 1: CINEMATICA LINEARE della TRAVE ETENIBILE e FLEIBILE i assuma la consevazione della nomalità ta la fiba D z a e il vettoe s tangente al suppoto nella foma attuale (tave indefomabile a taglio ); petanto, se θ è la vaiazione d assetto della fiba attuale ispetto a uella efeenziale, saà ancoa θ l angolo che il vettoe s tangente al suppoto attuale (cuvilineo) foma con il suppoto efeenziale (ettilineo), Fig. 31. a a D z θ θ -v a ds d z dz * =(1+ε) dz D z s w(z) w(z)+w dz dz Fig. 31 Consevazione della nomalità. Fig Defomazione estensionale. i può alloa definie una pima misua di defomazione della tave, la defomazione estensionale o assiale, illustata in Fig. 32, * ( z + dz) wˆ ds dz dz dz dz dz wˆ ε = = dz dz dz dz [ wˆ + wˆ dz] wˆ = = wˆ. dz (1)

2 2 Meccanica della Tave come il tasso di vaiazione di lunghezza del suppoto (=allungamento specifico pe unità di lunghezza dell asse), appossimando la lunghezza effettiva ds dell aco attuale con la lunghezza d z della sua coda e poiettando uest ultima sull asse z, cioè nella diezione del suppoto efeenziale. Questa appossimazione implica che la defomazione estensionale coincide con la vaiazione spaziale della componente assiale dello spostamento. e si pone ε =0 w =0, (2) si ottiene il modello di tave inestensibile; il modello di tave indefomabile a taglio e inestensibile, detto di Eule-Benoulli, pende il nome di puamente flessibile; la funzione v = vˆ, che descive la componente tasvesale dello spostamento dei punti sostanziali appatenenti al suppoto, pende alloa l evocativo nome di linea elastica della tave. Una seconda misua di defomazione della tave, la defomazione flessionale, può essee definita come vaiazione d assetto della fiba pe unità di lunghezza del suppoto efeenziale. Infatti, si consideino due posti = (z), η = (z+η z) = +η zk, 0 η 1, del suppoto efeenziale. Dopo il taspoto, le fibe ad essi associate subiscono le vaiazioni d assetto, Fig. 33, θ = θ (z), θ η = θ (z+η z). a) a θ η η z p p η η p η θ η -θ θ y>0 y<0 θ <0 θ > 0 θ >0 β =1/ >0 cento di cuvatua z b) Ugo A. Andeaus - CIENZA DELLE COTRUZIONI Pogetto Leonado - Editice Esculapio - Bologna

3 I. Cinematica 3 Fig. 33 Diffeenza locale della vaiazione d assetto. Fig. 34 Rotazione cescente e cuvatua positiva. Petanto, la vaiazione d assetto della fiba pe unità di lunghezza del suppoto efeenziale può essee calcolato come limite del appoto incementale della otazione della fiba: ( z + η z) θ θη θ θ χ : = Lim = Lim = θ. η 0 η 0 η z (3) η Nell ambito del modello di tave inestensibile sussistono le elazioni, App. 2, θ = - v θ = - v, (4) In vitù delle E. (3) e (4), la defomazione flessionale χ uguaglia - appossimativa- v = vˆ z mente - la cuvatua β della linea elastica ( ) v 1 β =, = β, vˆ 1 β v = χ, [ 1+ ( v ) ] (5) dove è il aggio di cuvatua della linea elastica, Fig. 33. Alla cescenza della vaiazione d assetto (θ >0 se oaio e θ >0) coisponde la positività della cuvatua della linea elastica, cioè la sua concavità è ivolta veso il semipiano delle odinate negative, Fig. 34. In definitiva, le E. (1,3 5) pemettono di fomulae il poblema cinematicodefomativo lineae: w = ε, (6a) v = χ, (6b) insieme alle condizioni al contono fonite dalle euazioni di compatibilità cinematica estena, E. (3.3), ( ) = d, θ ( 0) = θ, d( l) = d, θ ( l) = θ. d (7) l l i deve alloa deteminae il taspoto d(z), θ (z), assegnati i campi di defomazione ε, e χ pe z [0,l]. Le E. (6) pendono il nome di euazioni implicite di conguenza intena. e si adotta il modello di tave inestensibile, E. (2), il poblema cinematico-defomativo si iduce all unica euazione

4 4 Meccanica della Tave v = χ. (8) Appendice 2: LINEARIZZAZIONE del VETTORE TANGENTE ALL AE ATTUALE i consideino due posti =(z), η = (z+η z) = +η zk, 0 η 1, del suppoto efeenziale, Fig. 35. Dopo il taspoto, i punti sostanziali che li occupavano si tovano nei posti p = p(z) = + d, p η = p(z+η z) = η + d η, con d = d(z), d η = d(z+η z). Petanto, il vettoe tangente al suppoto nella foma attuale può essee calcolato come limite del appoto incementale p s = Lim η 0 η η p = Lim η 0 ( η + dη ) ( + d) ( η ) + ( dη d) = Lim = η z d = k + Lim η 0 ( z + η z) d. η 0 η z η z a p j,v i k,w a p z α v ˆ d p η d(z) vˆ s d η 0 η l 0 z k ŵ l Ugo A. Andeaus - CIENZA DELLE COTRUZIONI Pogetto Leonado - Editice Esculapio - Bologna

5 I. Cinematica 5 Fig. 35 Limite del appoto incementale. L uso della appesentazione catesiana Fig. 36 Vettoe tangente al suppoto attuale. consente di scivee: d(z) = w(z)k + v(z)j k + vˆ j = [ 1+ wˆ ] k + vˆ j. s = k + w ˆ Petanto, indicando con α, Fig. 36, l angolo che s foma con l asse z, l inclinazione della etta tangente al suppoto attuale si ottiene come appoto ta la componente tasvesale v e uella assiale (1+w ) del vettoe s : vˆ Tgα = 1+ wˆ. (1) Il pimo membo dell E. (1) può essee sviluppato in seie di Mac Lauin [13] Tgα = α + o (α), e pe piccoli valoi dell angolo α è lecita l appossimazione: Tgα α. Il secondo membo dell E. (1) può essee appossimato con v w ˆ 1 o coincide con v e la funzione vˆ è decescente [ v ˆ < 0 ˆ nell assunzione α v ˆ, (2) ˆ nel caso di tave inestensibile (w =0), E. (A.1.2). ], come ipotizzato in Fig. 36 allo scopo di fissae le idee, l angolo α è oaio e uindi positivo nella base kji; petanto si deve poe α - v. In tal modo si giustifica l appossimazione - coentemente adottata - di confondee l angolo ta la etta tangente al suppoto attuale con l opposto della deivata della componente tasvesale dello spostamento.

6 6 Meccanica della Tave Appendice 3: GEOMETRIA delle ROTAZIONI Con ifeimento alla Fig. 37, si definiscono i vettoi di posizione = -o, ρ = p-o, = ρ ; o θ finita (Cosθ -1)[-o] * e lo spostamento dovuto alla otazione 1 d R = p- = [ * -] + [p * -]. Dalla medesima figua isulta anche: ρ d R enθ {i [-o]} * - = -o - * -o = - * -o, p p * dove * -o = ρ Cosθ. Fig. 37 Rotazione di ampiezza finita [10]. Quindi, in definitiva: D alta pate è anche [ * -] = -/ * - = -/ (1-Cosθ ) = -(1-Cosθ ). (1) e p * - = p- * = ρ enθ, [p * - ]/ p * - = i / ; petanto [p * - ] = enθ i. (2) ommando i isultati foniti dalle E. (1) e (2) si ottiene infine: d R = (Cosθ -1) + enθ i = (Cosθ -1)(zk+yj) + enθ (yk -zj). (3) 1 Pe meglio fissae le idee, nella Fig. 37 si può immaginae che la diezione dell asse di otazione coincida con il vesoe i e sia otogonale (entante) ispetto al foglio; petanto è stata data una otazione oaia uindi positiva nella base kji (θ >0). Ugo A. Andeaus - CIENZA DELLE COTRUZIONI Pogetto Leonado - Editice Esculapio - Bologna