Appendice 2: TEORIA LINEARE della DEFORMAZIONE. ( ),

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1 Capitolo I Cinematica Appendice 2: TEORIA LINEARE della DEFORMAZIONE. Sia C la regione tridimensionale dello spazio occupata da una corpo B nella sua assegnata forma di riferimento. Si assuma che la sostanza costituente il corpo sia distribuita con continuità all interno della regione C e che ogni punto sostanziale p B occupi il posto q C. Si assuma una base ortonormale ij e si istituisca un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (o;x,z) ad essa associato. A seguito dell applicazione delle a- zioni esterne che l ambiente circostante esercita sul corpo, quest ultimo subisce un trasporto, assumendo al tempo t la forma attuale o corrente C t ; il generico punto sostanziale p 0, che nella forma di riferimento occupava il posto q 0 di coordinate x,z, viene ora ad occupare il posto p 0. Si definisce spostamento di p 0 il vettore che congiunge q 0 con p 0 : q = q p = : s = sˆ x, z = u i + v j + w le cui componenti ( ), p ( x, z) C, v = vˆ ( x, z) C, w = wˆ ( x, ) C ; ˆ 1 u = u z sono assunte godere di sufficiente regolarità. Le coordinate del posto p 0 C t sono allora date da: x + u, + v, z + w. Si consideri ora un secondo punto sostanziale p 1 occupante il posto q 1 (x+,z) in modo che il segmento referenziale q 0q1 abbia direzione i e lunghezza infinitesima L q =, Fig. 26a. Il punto sostanziale p 1 si porta nel posto p 1, subendo uno 1 = 0q1 spostamento s 1 che, in virtù delle assunzione di distanza infinitesima tra i due posti e di

2 2 Meccanica dei Solidi 3-D continuità delle componenti dello spostamento, differisce da quello di p 0 solo per quantità infinitesime: sˆ 1( x +, z) = s0 + ds = s0 + du i + dv j + dw, con 1 du = u,x + u, + u,z dz, dv = v,x + v, + v,z dz, dw = w,x + w, + w,z dz, che si riducono alle du = u,x, dv = v,x, dw = w,x, in virtù del fatto che al segmento q 0q1 sono state attribuite direzione i e lunghezza 0 (=dz=0). La lunghezza del segmento attuale p 0p1 può allora essere calcolata come: l 1 = p 0 p 1 = {[(x++u+du) (x+u)]2 + [(+v+dv) (+v)] 2 } ½ = = [1 + (u,x ) 2 + 2u,x + (v,x ) 2 ] ½ (1 + 2u,x ) ½, avendo sviluppato i quadrati e trascurato rispetto all unità i quadrati delle derivate spaziali delle componenti di spostamento. L espressione precedente può essere ulteriormente semplificata, sviluppando la radice quadrata in serie di Mac Laurin [18] in funzione dell argomento u/ x: l 1 (1 + 2u,x ) ½ (1 + u,x ). È ora possibile definire la variazione di lunghezza specifica, cioè per unità di lunghezza referenziale, subita dal segmento q 0q1 nella direzione i: ε xx := (l 1 L 1 )/l 1 [(1 + u,x ) - ]/ = u,x come rapporto tra la differenza delle lunghezze del segmento attuale p 0p1 e di quello referenziale q 0q1, e la lunghezza di quest ultimo. La quantità adimensionale ε xx ha il significato di tasso di variazione di lunghezza nella direzione i e prende il nome di deformazione estensionale o assiale nella direzione dell asse x, o anche dilatazione lineare. In maniera formalmente del tutto analoga si possono definire le deformazione assiali nelle altre due direzioni coordinate j e, cioè: 1 La virgola seguita dalla variabile a pedice indica derivazione rispetto alla variabile medesima. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Esculapio - Bologna

3 I. Cinematica 3 ε xx = u,x ε = v, ε zz = w,z x x v u p 0 u+du l 1 v+dv p 1 q 2 u α 2 p 2 α 1 p 1 v x x q 0 q 1 q 0 p 0 q 1 a) deformazione assiale, b) variazione angolare; Fig. 26 Piccola deformazione. Si consideri ora un altro punto sostanziale p 2, occupante il posto q 2 (x,+dz) nella forma di riferimento, in modo che il segmento q 0q2 abbia direzione j e la sua lunghezza sia infinitesima e uguale a d Fig. 26b. Il punto sostanziale p 2 subisce uno spostamento s 2 che, in virtù delle assunzioni di distanza infinitesima tra i due posti e di continuità delle componenti dello spostamento, differisce da quello di p 0 ancora solo per quantità infinitesime: con (=dz=0) ( x, + d z) = s + ds = s + du i + dv j + dw, sˆ du = u, dv = v, dw = w, A causa del trasporto, i segmenti referenziali q 0q1 e q 0q2 subiscono una variazione di direzione trasformandosi nei segmenti attuali p 0p1 e p 0p2. La lunghezza del segmento attuale p 0p2 può essere valutata in via approssimata, analogamente a quanto fatto per l 1 : l 2 = p 0 p 2 (1 + v,). Se si indicano con α 1 e α 2 gli angoli che i segmenti attuali formano con quelli referenziali, è possibile valutare tali rotazioni in via approssimata come:

4 4 Meccanica dei Solidi 3-D α 1 Tan α 1 = v,x /l 1 v,x / α 2 Tan α 2 = u, /l 2 u, / dove le lunghezze attuali dei segmenti p 0p1 e p0p2 sono state approssimate con quelle referenziali e rispettivamente, avendo assunto u,x «1 e v, «1. Si definisce allora q1 0 2 π variazione angolare γ x in q 0 e nel piano x la differenza tra l angolo q q = 2 e l angolo p p 1 0p2, cioè: γ x = α 1 + α 2 v,x + u, In maniera formalmente del tutto analoga si possono definire le variazioni angolari tra le altre coppie di direzioni coordinate j e i, cioè: γ x v,x + u, γ z w, + v,z γ zx u,z + w,x Per dare maggiore concisione alle precedenti misure di deformazione e poterle rappresentare mediante la medesima relazione formale, si introducono le semi-variazioni angolari: ε x := γ x /2 = (v,x + u, )/2 ε z := γ z /2 = (w, + v,z )/2 ε zx := γ zx /2 = (u,z + w,x )/2 Le definizioni delle deformazioni assiali e delle semi-variazioni angolari possono essere scritte in forma compatta usando la notazione indiciale: avendo effettuato le seguenti identificazioni: ε ij := (d i,j + d j,i )/2 (1) x 1 =x, x 2 = x 3 =z, d 1 =u, d 2 =v, d 3 =w. Le Eqq. (1) definiscono il tensore della deformazione, che è simmetrico (ε ji =ε ij ) e che può essere rappresentato come una matrice 3 3: ε xx ε x ε xz [ E] = ε x ε ε z. ε zx ε z ε zz Inoltre, le Eqq. (1) correlano le componenti di spostamento d i (i=1,2,3) con le componenti di deformazione ε ij. Se si suppone che gli spostamenti siano funzioni continue derivabili assegnate, allora Eqq. (1) assumono l aspetto di definizione per le componen- Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Esculapio - Bologna

5 I. Cinematica 5 ti di deformazione: e queste sono ottenibili effettuando le derivazioni indicate nelle Eqq. (1) stesse. Ci si può proporre però il problema inverso: siano assegnate sei funzioni come rappresentative di ε ij. È possibile associare ad esse tre funzioni d i continue e derivabili (delle variabili x,z) che soddisfino le relazioni precedenti? La risposta in generale è negativa. Se le funzioni ε ij non sono opportunamente scelte, le Eqq. (1), intese, questa volta, come sistema di equazioni differenziali nelle incognite d i, non ammettono soluzione. Le Eqq. (1) non esplicano dunque soltanto il ruolo di definizioni delle ε ij, ma indicano anche, implicitamente, che le quantità espressive delle deformazioni non possono essere assegnate arbitrariamente poiché sono legate alla integrabilità delle Eqq. (1). Se le ε ij rendono integrabili le Eqq. (1), si dice che esse sono congruenti e le Eqq. (1) vengono pertanto indicate con la denominazione di equazioni di congruenza. Si consideri ora una porzione di corpo contenuta in un parallelepipedo rettangolare i cui spigoli siano paralleli alle direzioni coordinate e i cui lati abbiano lunghezze infinitesime, d dz, Fig. 27a. La variazione specifica di volume, cioè per unità di volume di riferimento V, di tale elemento sostanziale è detta tasso di variazione di volume o dilatazione cubica, e può essere valutata in via approssimativa come: δv = (v-v)/v = [(1+ε xx ) (1+ε ) (1+ε zz )dz]/( dz) ε xx + ε +ε zz = = u,x + v, + w,z = d 1,1 + d 2,2 + d 3,3 = d i,i = Div d (2) avendo indicato con v il volume attuale, avendo trascurato i termini di 2 grado nel prodotto a numeratore del rapporto precedente e avendo ignorato il contributo delle variazioni angolari alla variazione di lunghezza dei lati dell elemento (approssimazione delle piccole rotazioni). In maniera del tutto analoga si può definire i tassi di variazione areolare di superfici aventi come normali le direzioni, Fig. 27b, j, i come: δa z = [(1+ε xx ) (1+ε )]/( ) ε xx + ε δa ε zz + ε xx, δa x ε + ε zz dove A e a rappresentano l area referenziale e attuale rispettivamente.

6 6 Meccanica dei Solidi 3-D (1+ε zz )dz i dz (1+ε xx ) (1+ε ) j i a) volumico, b) areolare; Fig. 27 Tassi di variazione. (1+ε xx ) (1+ε ) j Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrice Esculapio - Bologna