LEZIONE 36. si dice regolare se è. per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.

Transcript

1 LEZIONE La definizione di superficie. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Come già fatto per le curve, considereremo lo spazio S 3 con un fissato sistema di riferimento O ı j k e la sua usuale identificazione con R 3. Definizione Sia D R 2 un aperto. Ogni funzione f: D R 3 viene detta superficie parametrizzata. Un insieme di punti S R 3 si dice superficie se è l immagine di una superficie parametrizzata (cioè di una funzione) continua f: D R 3. La funzione f è anche detta rappresentazione parametrica o parametrizzazione di S. Si noti che una parametrizzazione di una superficie C può essere visto come un modo per definire un sistema di coordinate sulla superficie. Infatti si considerino per ogni (u 0, v 0 ) D le porzioni di rette x u0 = { (u 0, y) D } e y v0 = { (x, v 0 ) D }. Abbiamo allora due famiglie di curve parametrizzate su S le curve parametrizzate f xu0 : x u0 X u0 S R 3 t f xu0 (t) = f(u 0, t), f yv0 : y v0 Y v0 S R 3 t f xv0 (t) = f(t, v 0 ). Le curve X u0 e Y v0 ricoprono completamente la superficie S nel senso che per ogni suo punto passa una curva di ognuno dei due tipi: chiameremo tali curve curve coordinate. Si noti, però, che tali curve potrebbero non essere uniche: ciò accade, per esempio, se la parametrizzazione di S non è iniettiva. Anche per questo (ma non solo) si introduce la definizione di superficie regolare. Definizione Una superficie parametrizzata f: D R 3 iniettiva, f C 1 (D, R 3 ) e se rk(jf (u0,v 0 )) = 2 si dice regolare se è per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare. 1 Typeset by AMS-TEX

2 IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E) Si ricordi che, indicate con f x, f y, f z le funzioni componenti di f, si ha Si noti inoltre che df xu0 dt f x u (u 0, v 0 ) Jf (u0,v 0 ) = f y u (u 0, v 0 ) f y u (u 0, v 0 ) (v 0 ) = f v (u 0, v 0 ), df yu0 dt f x v (u 0, v 0 ) f y v (u 0, v 0 ). f y v (u 0, v 0 ) (u 0 ) = f u (u 0, v 0 ). Sia g = (g u, g v ): I D R 2 una curva parametrizzata di classe C 1 tale che g(t 0 ) = (u 0, v 0 ). Allora F = f g: I C R 3 è una curva parametrizzata contenuta in S e risulta df dt (t 0) = f u (u 0, v 0 ) dg u dt (t 0) + f v (u 0, v 0 ) dg v dt (t 0). Se sia g che f sono regolari, allora tale risulta F : infatti linearmente indipendenti, dunque df dt (t 0) = f u (u 0, v 0 ) dg u dt (t 0) + f v (u 0, v 0 ) dg v dt (t 0) 0. f u (u 0, v 0 ) e f v (u 0, v 0 ) sono Ritorneremo sulla nozione di superficie regolare e, in particolare, sul significato della condizione sul rango della jacobiana nelle prossime lezioni Il piano e la sfera come primi esempi di superfici(e). I primi esempi di superfici parametrizzate sono il piano e la sfera che descriveremo in questo paragrafo Il piano. Sia α R 3 un piano. Tale piano è sempre parallelo ad un unico piano passante per l origine α e rimane completamente individuata da essa e da un punto qualsiasi A α. z A α O q p y α' x Figura 36.1

3 LEZIONE 36 3 Quindi per descrivere α è necessario descrivere α. Siano p e q due vettori contenuti in α e non paralleli: allora la Proposizione assicura che P α se e solo se esistono u, v R tali che OP = u q + v w. Sia ora P α. Allora per definizione P A = OP OA: segue che OP = OA+(P A). Poiché P A è parallelo al segmento P A, dunque a α, esso è contenuto in α, quindi esistono, per quanto osservato sopra, u, v R tali che P A = u p + v q. Mettendo assieme quanto visto segue che P S 3 giace su α se e solo se ( ) OP = OA + u p + v q, per un qualche u, v R (si veda Figura 36.2). z A P α O q p P-A y α' x Figura 36.2 Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in R 3. Allora A = (x A, y A, z A ), sicché OA = x A ı + y A j + z A k, p = px ı + p y j + p z k, q = qx ı + q y j + q z k : indicando con (x, y, z) le coordinate del punto generico P R 3 si ha OP = x ı +y j +z k, dunque l Equazione (8.2.2) diviene x ı + y j + z k = x A ı + y A j + z A k + u(px ı + p y j + p z k ) + v(qx ı + q y j + q z k ), o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati, x = x A + p x u + q x v ( ) y = y A + p y u + q y v z = z A + p z u + q z v. u, v R Le Equazioni (8.2.4) vengono spesso chiamate equazioni parametriche del piano α passante per A = (x A, y A, z A ) e parallelo ai vettori p = p x ı + p y j + p z k, q = qx ı + q y j + q z k. In particolare il piano α è immagine della funzione f: R 2 R 3 (u, v) (x A + p x u + q x v, y A + p y u + q y v, z A + p z u + q z v).

4 IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E) Si verifichi, per esercizio, che tale funzione è iniettiva (questo dipende dal fatto che p q). Inoltre è evidente che f C 1 (R 2, R 3 ). Infine Jf (u0,v 0 ) = p x che ha rango 2 (sempre perché p q). Abbiamo perciò verificato che ogni piano in R 3 è una superficie regolare. Esempio Siano dati il punto A = (1, 2, 3) ed i vettori p = 2 ı 3 k, q = ı + j + k. I vettori p e q non sono paralleli, quindi i dati individuano un piano α le cui equazioni parametriche sono date da x = 1 + 2u + v ( ) y = 2 + v z = 3 3u + v. p y p z Si noti che la retta r di equazioni parametriche x = 1 + 2t y = 2 z = 3 3t, è contenuta in α: infatti i suoi punti si ottengono ponendo u = t e v = 0 nelle Equazioni ( ) Viceversa dati numeri reali fissati x A, y A, z A, p x, p y, p z, q x, q y, q z, si considerino il luogo α dei punti P = (x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma q x q y q z x = x A + p x u + q x v y = y A + p y u + q y v z = z A + p z u + q z v. al variare di u, v R. Allora, procedendo come nel caso della retta, è facile verificare che tale luogo è il piano α passante per il punto A = (x A, y A, z A ) e parallelo ai vettori p = p x ı + p y j + p z k, q = qx ı + q y j + q z k. È noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere un piano α è quello di dare tre suoi punti A, B e C non allineati. In tal caso ci si può ricondurre al caso precedente. Infatti un punto, per esempio A, l abbiamo: per costruire due vettori paralleli a α basta considerare B A e C A. Se, rispetto al sistema di riferimento O ı j k fissato in S 3, A = (x A, y A, z A ), B = (x B, y B, z B ), C = (x C, y C, z C ) allora B A = (x B x A ) ı + (y B y A ) j + (z B z A ) k e C A = (x C x A ) ı + (y C y A ) j + (z C z A ) k

5 LEZIONE 36 5 sicché sostituendo nell Equazione (8.2.4) otteniamo le equazioni parametriche del piano α passante per A = (x A, y A, z A ), B = (x B, y B, z B ), C = (x C, y C, z C ) x = x A + (x B x A )u + (x C x A )v ( ) y = y A + (y B y A )u + (y C y A )v z = z A + (z B z A )u + (z C z A )v. o anche x = (1 u v)x A + ux B + vx C y = (1 u v)y A + uy B + vy C z = (1 u v)z A + uz B + vz C (talvolta si scrive sinteticamente P = (1 u v)a + ub + vc). Se poi vogliamo descrivere le coordinate dei punti del triangolo ABC è sufficiente che ci limitiamo a considerare i punti le cui coordinate si possono esprimere tramite la Formula (8.2.6) con u, v [0, 1] e u + v 1, cioè P = (x, y, z) ABC se e solo se x = (1 u v)x A + ux B + vx C y = (1 u v)y A + uy B + vy C u, v, u + v [0, 1], z = (1 u v)z A + uz B + vz C o, equivalentemente, se x = λx A + µx B + νx C y = λy A + µy B + νy C λ, µ, ν 0, λ + µ + ν = 1. z = λz A + µz B + νz C Esempio Siano dati i puntia = (1, 2, 3), B = (2, 1, 1), C = (2, 2, 2): chiaramente A B, quindi esiste unico un piano α contenente A, Be C le cui equazioni parametriche si ottengono utilizzando la Formula x = 1 + u + v y = 2 u z = 3 + 4u + 5v La sfera. Sia S R 3 la sfera di centro l origine O = (0, 0, 0) e raggio ϱ > 0. Allora sappiamo che i punti P = (x, y, z) S sono tutti e soli quelli soddisfacenti l equazione x 2 + y 2 + z 2 = ϱ 2. Sia P xy la proiezione ortogonale del punto P sul piano xy. Indichiamo con v l angolo formato dai vettori OP e OP xy (quindi π/2 v è l angolo fra OP e k ) e con u l angolo formato da ı e OP xy.

6 IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E) z S ρ P O u P xy v y x Figura 36.3 Chiaramente P = (ϱ cos u cos v, ϱ sin u cos v, ϱ sin v). In particolare S è immagine dell applicazione f: R 2 R 3 (u, v) (ϱ cos u cos v, ϱ sin u cos v, ϱ sin v). Se pensiamo alla sfera come superficie di un pianeta che ruota intorno all asse z, allora i parametri u e v rappresentano rispettivamente la longitudine (distanza dal meridiano di riferimento) e la latitudine (distanza dal piano equatoriale cioè dal piano xy) del punto P. Tale funzione è C 1 e Jf (u0,v 0 ) = ϱ sin u 0 cos v 0 cos u 0 sin v 0 cos u 0 cos v 0 sin u 0 sin v 0. 0 cos v 0 Chiaramente, se v 0 π/2 + kπ, k Z, tale matrice ha rango 2. Se, invece v 0 π/2 + kπ, k Z, risulta rk(jf (u0,v 0 )) = 1. Ovviamente f non è iniettiva. Siano D = { (u, v) R 2 u ]0, 2π[, v ] π/2, π/2[ }. Allora è facile vedere che la restrizione di f a D è iniettiva, ma non suriettiva: infatti i punti che si possono ottenere in questo modo sono tutti e soli quelli che non giacciono nel piano xz (cioè quelli del meridiano di riferimento G = { (u, v) R 2 u = 0, 2π, v ] π/2, π/2 }). Deduciamo, da quanto visto, che S è una superficie regolare in tutti i punti di S \ { y = 0 }. In realtà, cambiando la parametrizzazione (per esempio considerando u ] π, π[) è facile vedere che anche i punti di S { y = 0 } possono essere considerati regolari ad eccezione di (0, 0, 1) e (0, 0, 1) (cioè dei poli, ovvero dei punti intersezione dell asse di rotazione della sfera con la sfera stessa). Per tener conto anche di questi punti bisogna cambiare ancora parametrizzazione (per esempio scegliendo v ]0, π[ o v ] π, 0[).

7 LEZIONE 36 7 Osservazione Si consideri ora l ellissoide S di semiassi a, b, c > 0. Tale ellissoide è il luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l equazione x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. Ragionando in maniera analoga a quanto fatto nell esempio precedente osserviamo che S è immagine dell applicazione f: R 2 R 3 (u, v) (a cos u cos v, b sin u cos v, c sin v).