Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea

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1 Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea Filippo F. Favale 4 marzo 04 Esercizio Si dica, per ciascuno dei seguenti casi, se A ha la struttura di spazio affine o euclideo su V. A R 3 con coordinate cartesiane ortonormali (x, y, z), V R con l applicazione φ : A A V che associa a due punti (P, Q) la proiezione del vettore P Q sul piano z 0. A {(x, y) R x y Q}, V Q inteso come spazio vettoriale su Q con l applicazione φ : A A V che associa alla coppia di punti ((x, y ), (x, y )) il numero razionale (x y ) (x y ). A {p(x) R deg(p) 3 e p(0) }, V {M Mat (R) M T M}. Definisco p(x) + M come il polinomio q(x) : p(x) + x M. Esercizio Sia A 3 lo spazio affine tridimensionale reale dotato di un riferimento cartesiano di coordinate (x, y, z) e origine O. Si considerino le rette r e r di equazioni parametriche { x + s { x + s r : y + s r : y s z + s z e la retta r 3 passante per il punto P (, 4, ) e Q (,, ). Dopo avere ricavato la giacitura delle tre rette, descriverne la posizione reciproca. Siano Π e Π rispettivamente i piani contenenti la coppia di rette parallele e la coppia di rette incidenti. Supponendo di essere in E 3 con un sistema di coordinate ortonormali, scrivere le equazioni cartesiani dei piani Π e Π e delle equazioni cartesiane per le rette s e s tali che s i è ortogonale a Π i e passa per il punto R (0,, ). Esercizio 3 Sia E 4 lo spazio euclideo di dimensione reale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y, z, w) e centro O. Si considerino il punto P di coordinate (, 0,, 0) e il vettore v di coordinate (0,, 0, ). Si considerino inoltre i punti Q ed R tali che Q O v e R P v.

2 Scrivere le coordinate di Q ed R e le coordinate del vettore P Q. Scrivere delle equazioni cartesiane per la retta r passante per Q e R. Si dimostri che O, P, Q e R sono complanari. Si scrivano delle equazioni parametriche e cartesiane per il piano Π che contiene i quattro punti. Dimostrare che il quadrilatero Γ OP RQ è un quadrato. Soluzione esercizio. Incominciamo a trattare il primo caso. Dobbiamo verificare che A R 3 è uno spazio affine su V R quando definiamo il vettore tra due punti come la proiezione di P Q, vettore tridimensionale, sul piano z 0 che identifichiamo con R. Se x (x, y, z) è il vettore P Q si ha quindi φ(p, Q) (x, y). Mostriamo che (A, φ) non è uno spazio affine. Mostriamo che φ(p, ) non è biettiva come applicazione da A a V. Si vede facilmente infatti che per ogni punto sull asse z si ha φ(p, Q) (0, 0). Anche nel secondo caso (A, φ) non è uno spazio affine. Infatti, malgrado la proprietà φ((x, y ), (x, y )) + φ((x, y ), (x 3, y 3 )) φ((x, y ), (x 3, y 3 )) sia banalmente vera, cade ancora la richiesta sulla biettività dell applicazione φ(p, ): φ((0, 0), (, 0)) 0 ( 0) 0 ((x + ) (x)) φ((0, 0), (x, x + )) per ogni x R. Mostriamo invece che nel terzo caso abbiamo una struttura di spazio affine. Ricordiamo che A {p(x) R deg(p) 3 e p(0) } {p(x) +ax+bx +cx 3 a, b, c R} e che V è lo spazio vettoriale reale delle matrici simmetriche x. Per ipotesi, se ] a a M a a si ha che p(x) + M : p(x) + x a ] ] a p(x) + x(a a x + a x + a x ). a Si vede facilmente che (p(x) + M) + N ( p(x) + x M + x N ) ( p(x) + x M + N ) ( p(x) + x (M + N) p(x) + (M + N) ) quindi rimane da dimostrare che, per ogni p (x) fissato, l applicazione che associa a M V il polinomio p (x) : p (x) + M è una biezione con A.

3 Mostriamo che questa ha un inversa: mostriamo che, fissato p (x) A per ogni p (x) A esiste un unico M V tale che p (x) + M p (x). Sapendo che p i A possiamo assumere p i + a i x + b i x + c i x 3 per opportuni valori reali. Dovendo essere otteniamo p (x) p (x) + M p (x) + x(a + a x + a x ) p (x) p (x) x((a a ) + (b b )x + (c c )x ) x(a + a x + a x ) da cui ricaviamo che l unica matrice in V tale che p(x) + M q(x) è ] b (a a M ) b b b (c c ) Di conseguenza A è uno spazio affine (di dimensione 3). Soluzione esercizio. Indichiamo con W i la giacitura di r i. La giacitura di r 3 è il sottospazio vettoriale di R 3 generato dal vettore P Q (,, ) (, 4, ) ( 3, 3, 0). Le altre due giaciture si deducono dalla forma parametrica di r e r : W < (,, ) > W < (,, 0) > W 3 < ( 3, 3, 0) >. Vediamo se le rette si intersecano o meno. r r : { + s + u + s u + s { u s 0 quindi r e r si intersecano. Essendo W W, concludiamo che r e r sono incidenti (e non coincidenti). Scriviamo una rappresentazione parametrica per r 3 : r 3 : { x 3s y + 3s z { x s y + s z riscalando il parametro per semplificare i conti. Possiamo quindi calcolare le intersezioni di r 3 con r e r : r r 3 : { + s u + s + u + s { 0 u u s quindi r e r 3 sono disgiunte. Siccome W W 3, concludiamo che r e r 3 sono sghembe. Notiamo che l equazione parametrica per r per la variabile z è z. Siccome per r 3 l equazione corrispondente è z possiamo subito concludere che r e r 3 sono disgiunte. Essendo W W 3 (poichè i generatori sono proporzionali) deduciamo che r e r 3 sono parallele. 3

4 Per descrivere il piano che contiene r e r possiamo scriverlo in forma parametrica. Sappiamo infatti che la giacitura di Π è generata dalle direzioni delle due rette (perchè sono incidenti). { x + s + u Π : y + s u z + s Non possiamo usare lo stesso metodo con il piano Π. Sappiamo però che (,, 0), un generatore di W W 3, è un vettore parallelo al piano e che i punti Q (,, ) e R (,, ) (punto che si ricava ponendo a 0 il parametro su r ) devono appartenere al piano. Di conseguenza anche QR (3,, ) è un vettore parallelo al piano. Delle equazioni cartesiane per Π sono quindi { x + s + 3u Π : y s u z + u Ricavando i parametri e andando a sostituire otteniamo le equazioni cartesiane per i due piani: Π : x + y z + 0 Π : x + y z + 0. Ricordando che (siamo in E 3 ) i coefficienti dei termini di x, y e z nell equazione cartesiana di un piano (in coordinate ortonormali) sono i coefficienti della normale al piano otteniamo le forme parametriche per le rette ortogonali passanti per il punto T (0,, ): { x s y + s z s e { x s y + s z s Soluzione esercizio 3. Per definizione, le coordinate di Q sono le coordinate del vettore OQ Q O v quindi Q (0,, 0, ). R è il punto tale che R P + v e quindi le sue coordinate sono (,,, ). Infine il vettore P Q ha coordinate date dalla differenza delle coordinate di Q e P : P Q (,,, ). Il vettore QR è R Q (, 0,, 0) quindi delle equazioni parametriche per r sono r : x a y z a w dalle quali si può ricavare il parametro (ad esempio, a x) andando ad ottenere { y 0 r : z + x 0 w 0 che sono delle equazioni cartesiane per r. Il piano Π per O, P e Q (univocamente determinato perchè i punti sono banalmente affinemente indipendenti) ha la seguente espressione parametrica: x a y b Π : z a w b 4

5 Si vede facilmente che delle equazioni cartesiane per Π sono x+z y w 0 (due perchè siamo in E 4 e il piano ha dimensione ). Per vedere se R (,,, ) appartiene a Π basta controllare che le sue coordinate soddisfino le equazioni cartesiane appena ricavate: è facile vedere che R Π e quindi che i quattro punti O, P, Q ed R sono complanari. Vogliamo mostrare che il quadrilatero OPRQ è un quadrato. Sappiamo che P R v (0,, 0, ) OQ e che QR (, 0,, 0) P O OP : w. La norma di v è v + e coincide con la norma di w quindi il quadrilatero è almeno un rombo. Per calcolare l angolo tra due lati possiamo calcolare il prodotto interno tra v e w. Si vede facilmente che < v, w > 0 quindi due lati adiacenti sono perpendicolari. Questo basta per concludere che Γ è un quadrato. 5