Equilibrio dei corpi rigidi- Statica

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Bruno Bucci
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1 Equilibio dei copi igidi- Statica Ci ifeiamo solo a situazioni paticolai in cui i copi igidi non si muovono in nessun modo: ne taslano ( a 0 ), ne uotano ( 0 ), ossia sono femi in un oppotuno sistema di ifeimento ineziale equilibio statico Dalla dinamica sappiamo che, pe un copo igido di massa M e momento di inezia I, ) le taslazioni sono egolate da ) le otazioni sono egolate da Ma F I quindi, affinché il copo sia in equilibio statico, deve isultae: F Due ossevazioni impotanti: F 0 0 equilibio delle foze equilibio dei momenti ) le pecedenti sono due equazioni vettoiali indipendenti, ossia non è possibile icavae da F ) pe calcolae seve un punto oigine O; ma si dimosta che se un insieme di foze ha F 0, alloa è indipendente dal punto ispetto al quale è calcolato e se isulta nullo pe un punto O lo è anche pe qualunque alto punto. Tovae le condizioni di equilibio di un copo equivale quindi a tovae le condizioni che soddisfano contempoaneamente le equazioni vettoiali: F 0 ovveo le seguenti a 6 equazioni scalai: 0 equilibio delle foze equilibio dei momenti F, =0, =0 F,y =0,y =0 F,z =0,z =0 Concettualmente è semplice, in patica può isultae molto difficile.

2 Il poblema si semplifica molto se le foze agenti sono tutte in un piano (assunto piano y). In tal caso i momenti hanno solo la componente z e quindi devono essee soddisfae solo le 3 seguenti equazioni:. F, =0 F,y =0,z =0. Giustifichiamo oa le pecedenti ossevazioni con un esempio: un insieme di foze costituito da due sole foze uguali in modulo, di veso opposto che agiscono lungo F F diezioni paallele distanti b; quindi F d F b Con ifeimento alla figua, F F F 0 F F O icodando che F F e posto d, si ha F F ( ) F dfsen ( dsen )F b F 0 isulta che quo insieme di foze ha: ) F 0 e 0, indipendente da e quindi non può essee calcolato da F, ovveo F come detto nell ossevazione. è ) b F non dipendente da O, in accodo all ossevazione.

3 oichè non può essee icavato fa saà iducibile al più in: F una sola foza applicata al esponsabile delle taslazioni F +, un insieme di foze applicate ad un copo un solo momento delle foze esponsabile delle otazioni. C è una eccezione (impotante peché è il caso della foza peso) quando le foze che agiscono sono tutte paallele fa loo. y y i m i b c.m. O i W O W z i i con M. F m g m g Mg.3 i i mi g mii g mii dalla. segue che F // g, mente dalla.3 su ha che g F. etanto potà esistee un punto, individuato da aggio vettoe tale che:.4 F Mg. z m i g, Confontando la.3 con la.4 segue: Mg mii g g mii / M g mii M cm Nel caso della foza peso, l azione dell insieme delle foze è equivalente a una sola foza isultante applicata al cento di massa (baicento). 3

4 Esempi di copo igidi in equilibio ) Scala (di massa m) poggiata a un muo (pivo di attito) con un pompiee di massa M a metà di essa. (dimensioni e posizione del cdm della scala in figua) N N f a N e N sono i vincoli nomali esecitati ispettivamente dalla paete e dal piano; f a è la foza di attito statico. Usando le condizioni di equilibio (eq..) e il punto O come punto di ifeimento pe il calcolo dei momenti otteniamo..5 F = 0, N f a = 0.6 F y = 0, N Mg mg = 0.7 z = 0, a a Mg mg hn 0 3 Nel calcolo dei momenti (pe il quale si è usato il metodo di moltiplicae la foza pe il baccio) si deve notae che il momento di N è opposto ai momenti delle foze peso, assunti positivi. La.5 mosta che la foza di attito statico è, in quo caso, indispensabile pe avee l equilibio 4

5 ) Massa m sostenuta da un asse e da un cavo. (dimensioni e posizione del cdm del asse in figua) Usando le condizioni di equilibio (eq..) e il punto O come punto di ifeimento pe il calcolo dei momenti otteniamo che pe l equilibio deve avesi: F = 0, F h T c = 0 F y = 0, F v T f mg = 0 (T f = Mg) z = 0, bt f +(b/)mg at c = 0. Nel calcolo dei momenti (pe il quale si è usato il metodo di moltiplicae la foza pe il baccio) si deve notae che il momento di T c è opposto al momento delle foza peso e al momento di T f. 5

6 Casi paticolai di copo igido in equilibio a) Copo con un solo punto di sospensione, pivo di attito W = foza peso N = vincolo foza isultante nulla W 0 τ 0 τ 0 U p min U p ma Non equilibio equilibio equilibio stabile instabile b) Copo con un solo punto di contatto su un piano pivo di attito W = foza peso N = vincolo foza isultante nulla W 0 τ 0 τ 0 U p min U p ma Non equilibio equilibio equilibio stabile instabile 6

7 C) Copo con una base di appoggio su un piano pivo di attito Dato un copo di massa M poggiato su un piano oizzontale, si dimosta che i vincoli che si sviluppano pe ogni punto di contatto all inteno della base di appoggio hanno una isultante N N Mg applicata: i a) nel punto di intesezione della veticale passante pe il ed il piano di appoggio, se è all inteno del peimeto dei punti di contatto, b) nel punto di contatto Q più vicino a, se è fuoi del peimeto dei punti di appoggio. W = foza peso N = vincolo foza isultante nulla caso a) caso b) Q 0 Q W 0 equilibio stabile non equilibio 7

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