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- Damiano Carlini
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2 PROBLEMA Si sciva equazione della ciconfeenza passante pe i punti A ( B ( ed avente il cento sulla etta e si calcolino le coodinate degli estemi del diameto paallelo all asse delle L equazione geneica di una ciconfeenza di cento ( a b H e aggio è a b Poiché il cento appatiene alla etta di equazione si deduce subito che b da cui l equazione della ciconfeenza diventa ( a ( Il passaggio pe i punti A ( B ( compota la isoluzione di un sistema di due equazioni nelle due incognite ( ( a ( a a : 6 6 Sottaendo la pima alla seconda pe cui l equazione della ciconfeenza diventa ( 5 ( a ( a a a 6 con H ( e aggio 5 Il diameto paallelo all asse delle ascisse ha equazione pe cui le intesezioni della etta con la ciconfeenza sono D ( 6 E ( 5 Si deteminino poi i coefficienti dell equazione a b c in modo che le paabole da essa appesentate abbiano in comune il punto C ( e siano tangenti all asse delle ascisse Il passaggio pe C(; compota c ; inolte la tangenza all asse delle ascisse compota che il vetice V V V della paabola appatenga all asse delle ascisse e quindi la sua odinata sia ( b nulla; in paticolae si deve impoe V c da cui icodando che c si icava a b a 6 b La famiglia di paabole saà b 6 Ta queste paabole si tovino quelle che passano pe l uno e pe alto degli estemi del diameto suddetto La paabola passante pe D (6 deve soddisfae la condizione pe cui escludendo la soluzione b la paabola ha equazione 8 b 6 b b b 8 La paabola passante pe E ( deve soddisfae la condizione b b b b pe cui escludendo la soluzione b la paabola ha equazione (
3 Si calcoli infine l aea della egione limitata dalle pedette paabole e dall asse delle L aea è appesentata in gigio nella figua sottostante:
4 Il valoe dell aea è: AREA ( d ( d 8 PROBLEMA Data una ciconfeenza di diameto AB si pendano su di essa da pate opposta di AB due punti C e D tali che ABC ˆ BAˆ D Si considei la funzione: AD CD espessa pe mezzo di tan e se ne studi il gafico BC Si considei la figua seguente: Pe il teoema dei tiangoli ettangoli si ha: ( ( AD sin ( AC sin( 6 BC sin Pe il teoema di Canot applicato al tiangolo ACD si ha: ( ( ( ( CD AD AC AD AC da cui sviluppando ulteiomente i calcoli si ha CD ( ( ( sin( ( sin( (
5 5 La funzione diventa alloa [ ] sin sin 6 sin 6 sin con Ricodando che tan tan sin tan tan posto tan la funzione diventa: La limitazione si taduce in Studiamo alloa la funzione senza la limitazione e poi selezioneemo la pate di gafico con la limitazione Dominio: la funzione è definita sull inteo asse eale; Intesezioni asse ascisse: ± Intesezioni asse odinate: ; Positività: ; Asintoti veticali: non ce ne sono visto il dominio di definizione; Asintoti oizzontali: l asintoto oizzontale desto e sinisto esiste ed è unico ed ha equazione lim ± ; Asintoti obliqui: la pesenza dell asintoto oizzontale esclude la pesenza dell asintoto obliquo tattandosi di una funzione azionale fatta; Cescenza e decescenza: la deivata pima isulta essee 6 pe cui pe cui la
6 funzione è cescente pe ( ( all ascissa ( massimo elativo all ascissa ( pesenta un minimo elativo; ( Flessi: la deivata seconda isulta essee pai a pesenta un e si può ( dimostae che si annulla te volte pe cui la cuva pesenta te flessi alle ascisse Il gafico è sotto pesentato: Tenendo pesente la limitazione geometica il gafico diventa: 6
7 PROBLEMA Si studi la vaiazione della funzione sin( ( Studiamo alloa la funzione sin( ( Dominio:[ ]; Intesezioni asse ascisse: sin sin ( ( ( ( Intesezioni asse odinate: ; nell intevallo nell intevallo Positività: sin( ( sin( ( sin( Asintoti veticali: non ce ne sono visto il dominio di definizione; Asintoti oizzontali: non ce ne sono visto che la funzione in esame è limitata; Asintoti obliqui: non ce ne sono; Cescenza e decescenza: la deivata pima isulta essee 6 ( ( sin( sin( ( ( [ ] [ ( ] ( ( 6( ( ( da pe cui 6( ( ( ( ( ; 7
8 8 cui ac ac ac ac Flessi: deivata seconda isulta essee ± ± ac ac ( sin( ( sin( sin( sin( ( 8 Pe cui le ascisse ± ± ac ac sono le ascisse dei cinque flessi: 7 7 ac 7 7 ac 7 7 ac 7 7 ac 5 F F F F F Inolte ac ac ac ± Pe cui ci sono te massimi alle ascisse ac ± e te minimi alle ascisse ac ac : ac ac ac ac m m m M M M
9 Il gafico è sotto pesentato: PROBLEMA Si detemini l altezza e il aggio di base del cono di volume minimo cicitto ad una data sfea di aggio Si considei la figua seguente: HB CH Il volume è V
10 Oa posto H CB ˆ si ha: ( sin CO HB CH tan tan sin sin Quindi il volume saà ( ( ( ( [ sin( ] ( sin( sin sin sin V pe cui la [ sin( ] [ sin( ] sin( minimizzazione del volume si iduce alla minimizzazione della funzione g ( con La deivata pima della funzione ( g( ( ( ( [ ] [ sin( ] [ sin( ] sin( g è [ sin( ] ( sin( sin ( [ sin ] [ ( sin( ( ] [ sin( ] sin ( ( sin( ( [ sin ( sin( ] [ sin( ] [ sin( ] sin ( [ sin( sin ( sin ( sin ( ] [ sin( ] sin ( [ sin( sin ( ] [ sin( ] sin ( [ sin( ] [ sin( ] [ sin( ] sin ( [ sin( ] [ sin( ] sin( [ sin( ] Oa pe g acsin pe cui il volume minimo lo si ha pe acsin e vale V 6 8 cui coisponde HB CH
11 Si dimosti poi che il suddetto cono è anche quello di minima supeficie totale La supeficie totale del cono è S T HB ( HB HB CH S T ( ( sin( sin( ( sin( [ sin( ] [ sin( ] sin( sin ( ( ( ( ( [ sin( ] ( sin( sin sin sin cioè pe cui la minimizzazione della supeficie totale si iduce alla minimizzazione della stessa funzione ( [ sin( ] [ sin( ] sin( g che minimizza il volume In paticolae la supeficie totale minima è S T 8
1) In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza nota r ed una parabola p che seca k nei punti A e B
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56 La ciconfeenza ed il cechio Ciconfeenza e cechio 01) Definizioni e popietà 02) Popietà delle code 03) Ciconfeenza passante pe te punti 04) Code e loo distanza dal cento 05) Angoli, achi e code 06) Mutua
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Esecitazione n. (svolimento). Essendo la unzione R con II. si ha a) Pe deinizione una unzione è inettiva se ovveo se posto quanto con isulta quindi posto che isulta in petanto positivi e quindi la unzione
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Il moto che ci accingiamo a studiae fa pate dei moti piani (moti che avvengono nel piano) Si dice moto cicolae unifome il moto di un copo (consideato puntifome) che avviene: su una taiettoia cicolae (una
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